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1、2 0 1 6 年第 7 期 数 学教学 1 5 一次异彩纷呈的探究之旅 2 0 1 6 0 0 上海市松江二 中 张忠旺 在 平面向量的学习中， 一学生问如下 一个 问题 题 目 点 。在 ABC的 内部， 且满足0 +2 0B +4 0C = 0 ， 求 ( 二 ) 的面积 与AABC 的面积之 比 笔者感觉对于初学这部分知识的学生来 说， 解答会有一定的难度， 于是决定课上让学 生 们 一起 探 究 问题 的解 答 课 上 让大 家 思考 ， 然后让他们到讲台前一一讲解展示， 结果大大 出乎 笔者 的预料 ， 学生 们 的解法异 彩纷 呈， 让 人赞叹不 已， 同时在解法的探究中， 获得
2、 了一 般 性 的结论 下 面笔者将这 节课 的探 究过程整 理 出来 以飨读者 本题 的关键 是确定点 ( 二 ) 的位 置， 下面是确 定 点 ( 二 ) 的各种不 同思路 思路 1 ： 根据已知等式直接作图构造 解法 1 ：利用三角形法则作 图 根据已知等式 (二 ) +2 (二 ) 雪+4 (二 ) = 0 ， 作 A B =2 (二 ) JE ， 贝 0 B 0=4 0 C ， 如图1 设 S A 0 =S， 则 S AA O B= - S A A B ， 0 = 2 S， S A B O C= S A B ，O B 一 言 。 主 s ， 所 以 S A A B C = s ， 故
3、 S AA O C ： S A A B C= 2 ： 7 图 1 解法 2 ： 利用平行四边形法则作图 如图2 ， 作 ：2 ， ：4 ， 则 已 知条件化为 ：A 6： + S A 。 B ， = 们B一 A = s，sA。 = ， S A A O B =i 2s， BOC i2s 。 = 去 们 G = 一= 所 以 B = 一 ： S AA BC = 2： 7 A 图 2 解法3 ： 利用三角形的重心性质作图 作 ( = ) B 一 2 0B 0C = 4 ( 二 ) ， 连 结B ， 如 图3 因为 ( 二 ) +( = ) B +( = ) = 0 ， 所 以点 ( 二 ) 为 AB
4、 C 的 重 心 设 SAA OB，= SAB， OC，= S A C , O A =s ， 类似可得 A A O C： 1 s ， A。 B ： B OC = OB OC 。 ，=丢 去 s ， 所以 A B C= s ， A O C ： S A A B C= X 图3 C 思路 2 ：利用 平行 向量或 向量 终点共线 的 充要条件， 确定点(= ) 的位置 解法 4 ： 如 图4 ， 延长 0交 B 于点 ， 设 0 = 0D，DB = DC，将 O +2 ( 二 ) B + 4 (二 ) C= 0变形(二 ) +2 ( O D+DB) +4 ( OD+ DC ) = 0 ， 所以( 一
5、A + 6 ) OD + ( 2 +4 ) D =0 ， 因为 O D、DC不共线， 所以一 +6 =2 +4 = 0 ， 即 =6 ， = 一2 ， 所 以点 D 为 BC的靠近点 的三等分点， 点(二 ) 为A D的七等分点， S A A O C ：罢 s D c ： f A B 1 ： A B ， 所 以 I o SAAO C： f4 B C = 2： 7 一1 6 数 学教 学 2 0 1 6 年第7 期 教师点评： 类似地可以以点 为起点将已 知等式变形， 确 定点 0的位置 思路4 ： 坐标法 解法 8 ：以点( = ) 为坐标原点， 并使 A C平行 C 于X 轴， 建立直角坐标
6、系， 如图7 ， 则Y A=Y C 图 4 5 ：将 原式变 形为 ： + 詈 ， 设 = 击 + 詈 ， 则 点 D 与 点 B 、 C共 线，且 点D分有 向线 段BC的 比为 2 ： 1 又 = 6 ( 二 ) 同解法 4 得 S A A O C： S A A B C= 2： 7 教师点评： 类似地， 可以由OA、( 二 ) 表示 一兰 OJE i ， 确定点0的位置 思路 3 ： 转化 为以 AABC的顶点为起点的 向量， 确 定点 O的位 置 解法 6 ：以点 为起点， 将 已知等式变形 整理得 ： + ， 如图5 7 S A DG 0 7 S AA MN S AA BC SAAB
7、C 4 SAA C 7 AM A 7， ， 2 4、 2 百 _ ： = = = 整理得 ： + ， 延长B( = ) 交 于 点， 如图6 设赢 ： ： 4 入 B- - + 1 ， 因为点、 、c共线， 所以兰7 + = 1 ， = ，故 S A A 0 G： S A A B ： ON ： BN ：2： 7 图 6 y l、 i C 图 7 由题意得 姒 +2 y B+4 y c=0 ， 所以Y B= 一 ，S A A O C： S A A B C=I Y c I ： lY BY c l =2 ： 7 也有 同学 是 以点 为坐标 原 点， AC边所 在的直线为X 轴建立直角坐标系求解的，
8、 这里 不再赘述 当大家展示后， 还有一位同学利用练习册 上一道习题的结论直接得到了答案 解 法 9 ： 若 点( = ) 在AB 的 内 部，则 SABO C OA+SAC OA OB +SAA OS 0C = 0 由此得 S A B O C： S A C O A： S A A O B = 1 ： 2： 4 ，从 而直接得到 S AA O C： S A A B C=2 ： 7 这 时有 同学对解 法 9 指 出两 点， 一是 习题 的结论需要证明， 不能直接应用； 二是上述结 论只说 明 S A B O C OA+S AC O A OB+S A O B O = 0 ， 并没有说明 1 0 +
9、A 2 0B+A 3 0C =0一 定 有 A 1 ： 入 2 ： A 3 = S A B O C： S A C O A： SAA OB 针对上述 问题， 有学生指 出仿照 以上解法 ， 可以直接证明， 于是得到如下一般结论 定 理若 点 ( 二 ) 为 A日 内一 点，且 满 足 1 (= ) + 2 OB+A 3 0 C= 0( A I 、A 2 、A 3 0 ) ， 则有 A I ： 2 ： A 3 =S A B O C： S A C O A ： S A A O B 在平时的数学教学中， 一些教师总是埋怨 学生学习数学的积极性不高， 成绩差， 而许多 学生也认为数学难学 面对这种现象，
10、作为一 线教师， 我们应该反思教学中存在的问题： 一 是在备课时素材的选取是否做到了精选，即选 ( 下转 第7 2 0 页) 7 2 D 数学教学 2 0 1 6 年第7 期 拓展 3 已知定点 D 到 AA BC三个顶点 的距离分别为 X 、Y 、 ， 求作 AA BC， 使 AB： J E C ： CA = C： a ： b 分析： 如 图 1 0 ， 假 设 AB 已经作 出 以 AB 为边顺 时针作 BE ACD， 则BE =； 连结 DE， 得到 ABDE由几何模 D n 型知 A ED AA BC， 所 以 DE = 而 D DB =Y ， 所以 ABDE 是一个确定的三角形 又
11、D E = ； ， 故 A A D E 也是一个确定的三角形， 因此得到下面的作法 图 1 0 作法：如 图 l 1 ，作 ABDE，使BD = Y ， D E = 詈 ， E B = c 以 D E 为 边 作 D E 和 ADE F， A D =FD =X ， A E =F = ； = ， 以 A B 为一边， 连结 B、BF 作 AA BC， 使 ( 上接第7 - 1 6 ) 图 1 1 取的素材是否具有典型性、探究性和思维的开 阔性； 二是课堂上我们是否创造了开放民主的 教学氛围， 让学生 自由、积极表达 自己的想法； 三是教师对学生的思路能否进行高屋建瓴的引 导点拨， 帮助学生实现解
12、题 目标； 四是课堂为 教师和学生互相启发互相学习的一个平台， 教 D C =AEAB， AC = 2 AB 且 点 、E 分 别位于 B 两侧以 FJE 为一边作 F G， 使 A DF G=Z EF B， FG=2 FB， 且点 G、E 分别位于 FJE ； 两侧 则 AB 和 FBG 即 为所求作 的三角形 义务教育数学课程标准( 2 0 1 1年版) 在“ 课程 内容” 部分要求“ 在尺规作图中，了解 作图的道理， 保留作图的痕迹， 不要求写出作 法 ”在“ 实施建议” 部分明确表述“ 对于尺规作 图， 学生不仅要知道作图的步骤， 而且要能知 道实施这些步骤的理由”因此我们要重视尺 规
13、作图的教学 教学时， 教师应帮助学生规范 数学语言， 提供有条理地叙述操作过程的机会， 使其语言简洁、严谨、规范 把动手操作、动 脑理解、动 口表达有机地结合起来， 做到尺规 作图与语言训练的统一； 对于 比较复杂的作图， 要先画出草图、严格分析， 找到作图的依据和 方法， 并从演绎的角度进行说理， 积累数学活 动经验， 做到合情推理与演绎推理的有机结合， 提升思维含量尺规作 图还能体现数学的和 谐美和奇异美， 激励学生不怕困难、勇于攀登， 用数学的眼光理性地分析问题， 逐步养成科学 严谨和 良好的学习习惯 参考文献 1 华漫天 从正方形内一点问题谈起 J 中学数学杂志， 2 0 1 5 ( 1 0 1 ： 4 4 _ 4 5 2 向中军 一道经典问题的解法探索 J 中学数学教学参考， 2 o 1 5 ( 4 ) ： 3 2 3 3 3 蔡清怀 借助几何直观解决尺规作 图 中国数学教育( 初中版) ， 2 0 1 5 ( 7 8 ) ： 1 0 1 一 】 0 3 师不仅要教， 还要虚心 向学生学习， 正所谓教 学相长我们只有精选素材， 引导学生积极探 究， 才能让他们不断涌现充满智慧的想法和批 判精神， 形成学习兴趣和数学能力的良性互动， 让数学成为学生乐学、爱学的有趣学科
