2011年中英数量方法笔记

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1、数量方法笔记数量方法笔记第一章 数据的整理和描述 通过本章的学习，考生应当理解和掌握如何对数据进行整理、分组、制表和画图，能够适 当地选择和解释数据的各种综合指标，以便能够突出地显示数据的本技和统计含义，从而 更有效地交流数据和使用数据。第一节数据的类型 不同分类型数据描述的是事物的品质特征 度量 尺度 数量型截面数据不同单位同一时间 时间的关系 时间序列数据同一单位不同时间平行数据不同单位不同时间 第二节 数据的整理与图表显示 一、数据的分组与频率直方图分组的标志及方法 频数与布表 1整理分组 分几个组单变量值分组离散型的变量 （数出来的不能再分割）如人口数 2分组的方法 数量表现比较小组距

2、分组条件：离散型变量但数量比较多 所有连续变量只能用组距分组 组距 ，组数 m 是根据实际情况而定的mabcminamaxb组数 最小值 最大值组中值=2下限上限二、图形显示：饼形图、条形图、柱形图、散点图、折线图、曲线图、茎叶图。 1饼图的作用：反映各个部分的构成各频率的总合是 100%。 2条形图和柱形图：信息的比较条形图：不同单位，不同信息的比较柱形图：同一单位不同时间信息的比较。 3折线图：同柱形图作用相似，对同一的数据折线图具有唯一性（两点间有且只有一条直 线） 。4曲线图：同折线图作用相似也是表示不同时间信息的比较，但不具有唯一性。 5散点图：表示两个变量之间的相互关系。 （两个变

3、量的任何一对取值都在平面直角坐标 系上代表一个点） 。6茎叶图：把每一个数据分解成两部分茎与叶它的优点在于它既保留了所有的原始数据又直观地显示出了数据的分布情况 （与条形图有相似） 第三节 数据集中趋势的度量一、平均数 数据的个数全体数据的总和平均数 1简单平均=（没有分组的数据）nxxxn12加权算术平均：（对于分组的数据）vxvx是频数也叫权数v 例如：求下列平均数：平均数= vxvx1359利用距中数计算的平均数不是精 确的而是近似的。 二、中位数先排队中间位置数值若 n 为奇数，则位于正中间的那个数据就是中位数，即 就是中位数。21nx若 n 为偶数则中位数为就是中值数。2122nnx

4、x例如： 12、4、5、7、8 中 5 是中位数，4、5、2、7、8 要先排序：2、4、5、7、8，中位数还是 5。 套公式=那么数是 5，n 表示数的位置21n321524、5、7、8、10 n 为 5，n+1 位是 76275 21 2nn三、众数 众数是出现次数最多的不受极端值的影响。众数的主要缺点是一个数据集可能没有众 数，或众数可能不唯一，而数据集的平均数和中位数都是存在且唯一的。 四、平均数，中位数和众数的关系： 1数据分布是对称分部时：众数=中位数=平均数X频数 vX.V3 4 5 6 73 4 3 2 133 44 53 62 712数据分布不是对称分部时：左偏分布时：众数中位

5、数平均数右偏分布时：众数中位数平均数 第四节 数据离散趋势的度量 一、极差：所有数据的最大值减去最小值的差，极差 R=最太值-最小值 极差容易受极端值的影响有时是无效的 二、四分位点和四分位极差四分位极差先排队再等分为 4 份 ，见课本 P26 图 1.19，其中对应 Q1，中位数为41nQ2，的对应 Q3，n 为总个数。Q3-Q1=四分位级差，这两个点上的数值叫四分位4) 1(3n点。 如果四分位点不是一个整数则将前后两位数相加除以 2 便是。三、方差和标准差（课本 P26）方差（）的计算公式为：222)(1xxni四、变异系数（课本 P29）变异系数是标准差与平均数的比值，即：%100xV

6、第二章 随机事件及其概率（课本 P33） 本章主要介绍随机试验和事件，事件间的关系及其运算，事件的概率与古典概型，最后是 条件概率与事件的独立性。 第一节 随机试验与随机事件 一、随机试验 1试验 2随机试验 可以在相同条件下重复进行。每次试验的结果可能不止一个，但所有可能出现的结果事先知道。试验结束之前，无法确定该次试验的确切结果。 二、随机事件 随机试验中各种可能出现的结果，称随机事件。 随机事件分： 1、基本事件（只出现一个结果） 。 2、复合事件（由若干个基本事件组成） 。 3、必然事件（把所有可能出现的结果都放在一起形成一个集合） 。 4、不可能事件（一定不会发现的事件） 。三、样本

7、空间（课本 P35） 1所有基本事件的全体所组成的集合称为样本空间，它是必然事件，因此我们也常常用 表示。 2样本空间中的每一个基本事件也称为一个样本点。 3由若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的子集。4不包含任何样本点的随机事件就是不可能事件。四、样本空间与随机事件的表示方法 1例举法 2描述法第二节 事件间的关系与运算（课本 P37） 1、包含关系：或（见课本图 2.1） 。BA BA 2、相等关系：A=B，A 与 B 完全重合。 3、事件的并：AB 例：C=AB 表示 A 或 B 至少一个发生，或 C=A+B。 4、事件的交：AB 或 A，B 表示 A 和 B 同时发生。 5、

8、互斥事件：表示 A 发生时 B 不会发生。 6、对立事件：首先 A 与 B 是互斥的，同时 2 者形成整个样本空间。7、事件之差：表示事件 A 发生时 B 不发生。BABA第三节 事件的概率与古典概率（课本 P42） 一、频率与概率 频率：是某个变量在数据中出现的次数（是用%表示的） 。 概率：经过试验，稳定的频率是概率二、概率的性质：1任何事件的概率都不会是负的，非负性；0P(A)2规范性；1)(0AP3完全可加性，必需是 AB 互斥时才成立；)()()(BPAPBAP4不可能事件概率为零，；0)(p5两个事件差的概率；6对立事件概率，；)(1)(APAp7广义加法公式：。)()()()(A

9、BPBPAPBAP三、古典概型与计算 （一）古典概型试验 条件：1、它的样本空间只包含有限个样本点 2、每个样本点的发生是等可能的。 （二）古典概率的计算N 为样本空间的点数NNAPA)(例：有 100 个产品，其中 6 个次品，94 个正品，抽一个产品抽到次品的概率。%61006)(AP排列组合的有关知道 1两个基本原理 （1）加法原理； （2）乘法原理。 2排列数。从 n 个不同的元素中任取 m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从 n 个不同的元素中取 m 个元素的一个排列。 3组合数。从 n 个不同的元素中，任取 m（mn）个元素成为一组，称为从 n 个不同的元 素中取出 m

10、 个元素的一个组合。第四节 条件概率与事件的独立性 一、条件概率：1、，B 条件下 A 发生的概率)(BAP2、)()()(BPABPBAP二、概率的乘法公式（B 发生的概率B 发生条件下 A 也同时发生)()()()()(ABPAPBAPBPABP的概率）)()()(APABPABP)()()(ABCPABPPAABCP三、事件的独立性：若 P(AB）=P(B)P(A)则 A、B 两事件之间为独立性 若 AB 之间是独立的，则 P(AB)=P(A)P(B) 四、贝叶斯（Bayes）公式与全概率公式 全概率公式：)()()()()()()()(221121iinnnABPAPABPPAABPP

11、AABPPABAPBAPBAPBP）（贝叶斯公：)()()()(iiii iABPAPABPAPBAP）（第三章 随机变量及分布 为了更好地理解随机试验的客观统计规律性，深入研究不同随机试验的特性，我们在 这一章里介绍随机变量的概念，常用随机变量及其分布，随机变量的数字特性以及它们的 应用。第一节 随机变量 按照随机变量的取值情况，一般把随机变量分为两类，即离散型（可以列举出来的） 随机变量和连续型（算出来的）随机变量。第二节 离散型随机变量 一、离散型随机变量及其分布 列举随机变量的所有取值 每个概率元素 1、0P1；2、所有概率元素之和为 1，P=1。 二、离散型随机变量的数学期望期望值：

12、iiPXXE)(三三三三XEPXXE22)2(三三三三XEXE3232 )()(XbEabxaEpXXEii三三例：若，求，的期望值。20三三 XE三三42xE 523xE5 . 520415 . 0415 . 0415 . 0415042三三三三三三三三XEXEXEXE6 . 82052 53)(52 53 52 53 523XEXEXE三三三三三、离散型随机变量的方差2222)()()()()(EEpxXD第一节 随机变量 按照随机变量的取值情况，一般把随机变量分为两类，即离散型（可以列举出来的） 随机变量和连续型（算出来的）随机变量。 第二节 离散型随机变量 一、离散型随机变量及其分布

13、列举随机变量的所有取值 每个概率元素 1、0P1；2、所有概率元素之和为 1，P=1。二、离散型随机变量的数学期望期望值：iiPXXE)(例：X 取 1、2、3 它的概率分别为 0.5、0.3、0.2。求 X 的期望值，X2的期望值。2 . 033 . 025 . 01三三 xE2 . 093 . 045 . 01)(2xE三、离散型随机变量的方差2222)()()()()(EEpxXD随机变量函数的方差计量 a+bx 方差的计算 D（a+bx）=b2D(X) D（x）=3 求 D（3-2x） E(X)=3 =43=12 =(-3+X)=0 所有变量值减这组变量值的平均数,它的期望值结果为 0

14、E(X)=3 D(X)=4 求 =0 =1)23(XE)23(XD四、常用离散型随机变量 1两点分布或（0-1）分布 两点颁布特征值：E(X)=P P(X)=P(1-P)数学期望值为 P,方差为 P(1-P)。 2.二项分布 例:次品率为 0.05 从中抽取 10 个 1 个为次品,其余为正品995. 005. 0P10 个中有 1 个正品，第 2 个为次品，其余为正品的概率 P(概率) 911 1095. 005. 0C10 个中有 2 个次品次品位置固定时前两个为822 1095. 005. 0C8295. 005. 0knkk nPPCkP)1 ()(X=K 表示做几次试验,有 K 次出

15、现的概率为多少。 二项颁布率为 XB（n、p） 二项颁布期望值 E(X)= np 方差 D(X)= np(1-p)3泊松公布：XP（）单位时间内某事件出现的次数三 kekXPk e 为自然数=2.71828 当 n 很大并且 P 很小时，可以利用泊松分布来近似地计算二项分布。泊松分布特征值：E(X)=(期望值) 标准差 D(X)=课本 P73(例 3.14) 3泊松公布三 keppCk knkk n )1 (当 n 很大并且 P 很小时，可以利用泊松分布来近似地计算二项分布。泊松分布特征值：E(X)=(期望值) 标准差 D(X)=第三节 连续型随机变量 一、连续型随机变量及其概率密度函数 连续型随机变量的分布函数：F(X) F 表示累积概率F(a)a 的概率 F(a)=