《抛物线焦点弦的性质及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线焦点弦的性质及其应用（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、科技信息我们知道用一个平面去截一个圆柱体所成的截面是椭圆、双曲线 以及抛物线，而平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线， 直线 l 叫做它的准线， 经过焦点 F 的直线与抛物线 相交与 A， B两点， 线段 AB就叫做抛物线的焦点弦。 正因为焦点弦过焦 点， 所以出现了不少特殊的性质。 本文首先列举出有关抛物线焦点弦的 一些重要性质并且给出这些性质的简单证明，然后介绍了这些性质的 证明以及解法在定值问题、 求轨迹方程问题和最值问题上的应用， 同时 给出了例题说明， 以便更加深刻说明研究这些性质的好处。 这些性质和 问题时常会出现在教学与高考题中，本文将着重针对
2、这些性质的应用 进行探讨。 一、 抛物线焦点弦的性质 设线段 AB为过抛物线 y2=2px(p0)焦点 F 且倾斜角为 的焦点弦， 中点为 Q， l 为准线， 其中 A(x1,y1),B(x2,y2)。 过 A， B分别作 AA1l， BB1l， 垂足分别为 A1和 B1。性质归纳如下。 性质 1AB =x1+x2+p。2 证明因为 AB = AF + BF ， 而AF = AA1=x1+p2，BF = BB1=x2+p2，故 AB = AA1+ BB1=x1+x2+p。 例 1过抛物线 y2=8x的焦点作一条直线， 直线交抛物线于 A(x1,y1), 和 B(x2,y2)两点， 其中当 x1
3、+x2=12 时， 求 AB 的值？ 分析 在没有学习抛物线焦点弦性质 1 的时候， 最容易想到的一种 方法是将抛物线方程和过 A,B的直线方程联列方程组，利用韦达定理 进行解题。而当我们学过这条性质以后， 就很容易知道结果了， 解题过 程如下。 解 由抛物线的焦点弦性质可以知道：AB =x1+x2+p， 而这里 p=4， 所以 AB =16。性质 2AB =2p sin2。证明 设直线 AB的方程为 y=k(x-p 2)， 由抛物线与直线联列得方程组 y2=2pxy=k(x-p 2)(1)消去方程组(1)中的 x得： ky2- 2py- p2k=0。根据韦达定理得到 y1+y2= 2p k，
4、 y1y2=- p2,则(x1- x2)2=(y1k+p2)- (y2k+p2)2 =(y1- y2)2 k2(y1- y2)2=(y1- y2)2- 4y1y2=(2pk)2- 4(- p2)=4p2+4p2k2k2 那么此时AB =(x1- x2)2+(y1- y2)2姨=(1+1k2)(y1- y2)2姨=(1+1k2)4p2+4p2k2 k2姨=2pk2+1 k2=2p(1+1k2)而 k=tan， 所以 AB =2p(1+cot2)=2pcsc2=2p sin2。例 2线段 AB是过抛物线 y2=2px的焦点的弦， 其中 A(x1,y1)， B(x2,y2)， 求证： 当 AB垂直于
5、 x轴时， AB的长度最短。证明 当直线斜率存在时， 由题意知直线 AB 的方程为 y=(x-p 2)k。由抛物线与直线联列得方程组y2=2pxy=k(x-p 2)(2)消去方程组(2)中的 y得： k2x2- (k2p+2p)x+p2k24=0。根据韦达定理得到：x1+x2=k2p+2p k2故 AB=x1+x2+p=k2p+2p k2+p=2k2p+2p k2=2p(tan2+1) tan2。又因为tan2 tan2+1=sin2 AB =2p sin2， 而 sin20,1， 则 AB 2p,。当直线斜率不存在时，即直线过焦点且垂直于 x轴时，焦点弦是抛物线的通 经， 长度为 2p。性质
6、 3x1x2=p2 4。1证明 同性质 2， 当直线斜率存在时， 设直线方程为：y=k(x-p 2)由抛物线与直线联列方程组可以得到 y2=2pxy=k(x-p 2)(3)消去方程组(3)中的 y 得： k2x2- (k2p+2p)x+p2k2 4=0， 由韦达定理可以知道： x1x2=p2 4。性质 41 AF+1 BF=2p。3证明 当直线斜率存在时， 由题意知直线 AB的方程为y=k(x-p 2)由抛物线与直线联列方程组得 y2=2pxy=k(x-p 2)(4)消去方程组(4)中的 y得 k2x2- (k2p+2p)x+p2k2 4=0， 由韦达定理可以得到：x1+x2=k2p+2p k
7、2, x1x2=p2 4。则 1 AF+1 BF=AF + BF AFBF=x1+x2+p(x1+p2)(x2+p2)=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p2 4=x1+x2+p p2 4+p2(x1+x2)+p2 4=x1+x2+p p 2(x1+x2+p)=2p若直线斜率不存在。 那么 x1=x2=p2， y1=p， y2=- p。 即 AF =1p，BF=1p。则1 AF+1 BF=2p。例 3 （2000 年全国高考题） 过抛物线 y=ax2(a0)的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P,Q 两点， 若线段 PF 与 FQ 的长度分别为 p,q， 则1 p+1 q= （） 。抛
8、物线焦点弦的性质及其应用江苏省盐城中学高中部数学组杨丽摘 要抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分， 在高中教学与高考中经常出现。本文介绍并证明了有关抛物线焦点弦的 九条重要性质， 并且介绍了这些性质的解法在 3 个常见的重要问题， 定值问题、 求轨迹方程问题以及最值问题上的应用并给出了例 题说明。关于这些性质的研究可以开发学生的思维以及让学生体会研究问题的一般过程， 以便于学生更能掌握抛物线的这些性质 以及解法应用。 关键词抛物线焦点焦点弦倾斜角基础教育293科技信息（A ） 2a（B ）12a（C ） 4a（D ）4a 分析 1 （一般情形 ） 将抛物线的方程转化为标准方程形式为x2=
9、1ay其焦准距为1 2a， 设 P,Q 两点坐标分别为 P(x1,y1)， Q(x2,y2)， 根据性质1 知道：p=x1+1 4a， q=x2+1 4a。则1 p+1q=p+qpq=x1+x2+1 2a(x1+1 4a)(x2+1 4a)=x1+x2+1 2ax1x2+1 4a(x1+x2)+1 16a2又由性质 3 知道： x1x2=p2 4=1 16a2， 则1 p+1q=x1+x2+1 2a 1 16a2+1 4a(x1+x2)+1 16a2=x1+x2+1 2a 1 4a(x1+x2+1 2a)=4a故选 （C ） 。 分析 2 （特殊情形） 假定直线 PQ 正好垂直于 y 轴， 那
10、么此时， 直线PQ 的方程就为 y=1 4a， 则 P,Q 两点的坐标就为 P(1 2a,1 4a),Q(-1 2a,-1 4a)， 所以 p=1 2a， q=1 2a。故1p+1q=4a。选择 （C ） 。性质 5y1y2=- p2。证明 1在直线方程 y=k(x-p 2)中， y1y2=k2x1x2-p 2(x1+x2)+p24， 由性质 4 的证明过程可以知道： x1+x2=k2p+2p k2， x1x2=p24。那么y1y2=k2x1x2-p 2(x1+x2)+p2 4=k2p2 4-p 2k2p+2p k2+p2 4=k2p2(p-k2p+2p k2)=p2k2(-2p k2)=-
11、p2证明 2 由抛物线方程 y2=2px(p0)， 可以知道： y12=2px1， y22=2px2。则y1y2=-4p2x1x2姨=-4p2p24姨=- p2。性质 6 SAOB=p2 2sin。证明 过原点 O作直线 OMAB， 垂足为 M， 则在 RtOM F中，OM = OF sin=p2sin。由性质 2 知道： AB =2p 2sin，所以 SAOB=12OMAB =12p 2sin2p sin2=p2 2sin。例 4过抛物线 y2=- 4x的焦点， 引倾斜角为 120的直线， 交抛物线 于 A、 B两点， 求OAB的面积。解（法一 ） 由 y2=- 4x得 p=2， 焦点 （-
12、 1， 0 ） ， 直线 AB:y=3姨(x+1)。 由直线与抛物线联列方程组可以得到： y2=- 4xy=-3姨(x+1)(5)消去方程组(5)中的 y 得： x2+10 3x+1=0， 易求得 AB =16 3。所以OAB的面积S=121163sin120=433姨（法二 ） 直接由性质 6 可以得到： OAB的面积 S=p2 2sin=423姨 2=4 33姨。性质 7 以 AB为直径的圆与准线相切。 证明已知点 Q为线段 AB的中点，设点 Q到准线 l 的距离为 d，那么在梯形 ABB1A1中， 有 d=AA1+ BB1 2， 而 AA1= AF ，BB1=BF ， 则 d=AF +
13、BF 2=AB 2。由直线与圆相切的定义可以知道： 以线段 AB 为直径的圆与准线 l 相切。性质 8 A1FB1=2。证明 （法一） 因为 AA1= AF，BB1= BF， 所以AA1F 与 BB1F均为等腰三角形， 则 AA1F=AFA1, BB1F=BFB1 A1AF=- 2AA1F, B1BF=- 2BB1F故AA1F+BB1F=2。即AFA1+BFB1=2， 所以A1FB1=2。（法二 ） 容易知道： 抛物线焦点 F 的坐标为 F(p2,0)， 准线 l 的方程为x=-p 2， 则A(x1,2px1姨), B(x2,-2px2姨)A1(-p 2,2px1姨), B1(-p 2,-2p
14、x2姨)因为 kA 1F=2px1姨-p 2-p 2=2px1姨 - p， kB 1F=-2px2姨-p 2-p 2=2px2姨 p，所以kA 1F kB1F=-2px1x2姨 p2。由性质3 知道： x1x2=p2 4， 那么 kA 1F kB1F=-2px1x2姨 p2=-2pp2 p2=- 1。则 A1FB1F， 即A1FB1=2。性质 9点 A， B1， O三点共线。证明因为 A(x1,2px1姨), B(x2,2px2姨)， 所以有kB 1O=-2px2姨-p 2=-2px2姨 y1-p 2y1=- y1y2-p 2y1又因为 y1y2=- p2， 所以 kB 1O=2p y1=2p
15、x1 x1y1=y21 x1y1=y1x1， kOA 1=y1 x1， 那么kB 1O=kOA 故有点 A， B1， O三点共线。 类似地可以证明： 点 A1， B， O三点共线。 例 5（2001 年全国高考题） 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F， 经过 焦点 F 的直线交抛物线与 A,B两点， 点 C在抛物线的准线上， 且 BCx 轴。证明： 直线 AC经过原点 O。解抛物线的焦点为 F(p2,0)， 准线为 x=-p 2。 设 A(x1,y1)， B(x2,y2)。 我们知道： y1y2=- p2， 则 y1=-p2 y2。因为 BCx轴， 所以点 C的坐标为 C(-p 2,y
16、2)。那么直线 OC的斜率为kOC=y2-p 2=y2 y1-p 2 y1=- p2-p 2 y1=2py1=2px1 y1x1=y21 y1x1=y1x1而 kAO=y1x1， 那么有 kOC=kAO。故 A,O,C三点共线， 即直线 AC经过原点 O。 二、 焦点弦性质的应用 抛物线的这些性质的应用也非常灵活， 出现的频率也很高， 下面将 对有关性质的应用简单地举出一些例子加以说明。 1.定值问题 我们知道在解析几何中， 涉及的定值问题的例子有很多， 而解题的 思路与方法也比较灵活多变，尤其是圆锥曲线里的定值问题一直是教 学与高考中的热点问题。 其中， 本文所研究的抛物线焦点弦性质在定值 问题里的应用也是经常出现的类型。本文举出几个例子加以说明。 例 6若抛物线 y2=2px(p0)上的两个动点 A,B 的纵坐标分别为 y1 和 y2， 且满足 y1y2=- p2。求证
