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1、19951995 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学三试题数学三试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 设1( )1xf xx,则( )( )nfx .(2) 设( )yzxyfx,( )f u可导,则xyxzyz.(3) 设(ln )1fxx ,则( )f x .(4) 设100220345A ,A是A的伴随矩阵,则1()A .(5) 设12,nXXX是来自正态总体2( ,)N 的简单随机样本,其中参数和2
2、未知,记22111,() ,nnii iiXX QXXn则假设0:0H的t检验使用统计量t _.二二、 选择题选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项只有一项符合题目要求符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1) 设( )f x为可导函数,且满足条件 0(1)(1)lim12xffx x ,则曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线斜率为()(A)2(B)1(C)1 2(D)2(2) 下列广义积分发散的是()(
3、A)111 sindxx(B)12111dx x(C)20xedx(D)221 lndxxx(3) 设矩阵m nA的秩为( )r Amn,mE为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是()(A)A的任意m个行向量必线性无关(B)A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足0BA ,则0B (D)A通过初等行变换,必可以化为(,0)mE的形式(4) 设随机变量X和Y独立同分布,记,UXY VXY,则随机变量U与V必然()(A) 不独立(B) 独立(C) 相关系数不为零(D) 相关系数为零(5) 设随即变量X服从正态分布2( ,)N ,则随的增大,概率P X()(A) 单调增大(B) 单调减少(C)
4、保持不变(D) 增减不定三、三、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设2202(1 cos ),0( )1,01cos,0xxxx f xxt dtxx ,试讨论( )f x在0x 处的连续性和可导性.四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )已知连续函数( )f x满足条件320( )3xxtf xfdte,求( )f x.五、五、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )将函数2ln(12)yxx展成x的幂级数,并指出其收敛区间.六、六、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )计算22()min , xyx y edxdy .七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分)
5、)设某产品的需求函数为( )QQ p,收益函数为RpQ,其中p为产品价格,Q为需求量(产品的产量),( )Q p为单调减函数.如果当价格为0p,对应产量为0Q时,边际收益00Q QdRadQ,收益对价格的边际效应00ppdRcdp,需求对价格的弹性1pEb.求0p和0Q.八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设( )f x、( )g x在区间, a a(0a )上连续,( )g x为偶函数,且( )f x满足条件( )()f xfxA(A为常数).(1) 证明 0( ) ( )( )aaaf x g x dxAg x dx ；(2) 利用(1)的结论计算定积分22sinarctan
6、xxe dx.九、九、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )已知向量组()123, ；()1234, ；()1235, ,如果各向量组的秩分别为(I)(II)3rr,(III)4r.证明:向量组12354, 的秩为 4.十、十、( (本题满分本题满分 1010 分分) )已知二次型22 12323121323( ,)43448f x x xxxx xx xx x.(1) 写出二次型f的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、十一、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )假设一厂家生产的每台仪器,以概率 0.70可以直接出厂； 以概率0.30需进一步
7、调试,经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2)n n 台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：(1) 全部能出厂的概率；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率；(3) 其中至少有两台不能出厂的概率.十二、十二、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )已知随机变量X和Y的联合概率密度为4,01,01,( , )0,xyxyf x y 其他,求X和Y联合分布函数( , )F x y.19951995 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学三试题数学三试题答案答案一、填空题一、填空题( (本题共本题
8、共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)12( 1)! (1)nnn x 解：由于112( )12(1)1,11xf xxxx 2( )2 ( 1)(1) ,fxx 3( )2 ( 1)( 2)(1) ,fxx 所以1( )(1)( )2 ( 1)!(2(1)1)! (1)nnnnnfxxn xn .(2)2yxyfx解：根据复合函数求导法则,22xyyyyyyzyfxyfyffxxxxxx ,1yyyyyzxfxyfxfyfxxxxx.所以222xyyyyyyyfy fxyfy fyfxxxxxxzyzxx .【知识点】复合函数求导法则
9、：( ( )yf x的导数为( ( )( )yf xfx.(3)xxeC解：在(ln )1fxx 中令ln xt,则( )1tf te ,从而( )1( )ttxf tedtteCf xxeC .(4)100122010345 解：由AAA E,有AAEA,故1AAA.而10022010345A ,所以1100122010345AAA .(5)(1)Xn nQ解：假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先提出原假设0H,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设0H是否成立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题.据此类型应该
10、选取t检验的统计量是0211()(1)ni iXXtS XXnn n,经过化简得(1)Xtn nQ.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)(D)解：因 00(1)(1)(1)(1)(1)limlim xxfxffxffxxxx 00(1)(1)lim(1)(1)2lim2,2xxffx x ffx x 所以应选(D).(2)(A)解：由计算知111211arcsin 1dxx x ,222111 lnlnln2dxxxx ,且泊松积分202xedx,故应选(A).注注：对于本题选项(A),由于当0x
11、时sin0x ,故在积分区间 1,1中0x 是瑕点,反常积分111 sindxx应分解为两个反常积分之和:101110111 sinsinsindxdxdxxxx,而且111 sindxx收敛的充要条件是两个反常积分011 sindxx与101 sindxx都收敛.由于广义积分1 10 01ln tansin2xdxx ,即101 sindxx发散,故111 sindxx发散.在此不可误以为1 sin x是奇函数,于是1110sindxx,从而得出它是收敛的错误结论.(3)(C)解：( )r Am表示A中有m个列向量线性无关,有m阶子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正确.经初等
12、变换可把A化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不一定能化为标准形.例如010001 ,只用初等行变换就不能化成2(,0)E的形式,故(D)不正确.关于(C),由0BA 知( )( )r Br Am,又( )r Am,从而( )0r B ,按定义又有( )0r B ,于是( )0r B ,即0B .故应选(C).(4)(D)解：( , )(,)Cov U VCov XY XY.(,)( ,)Cov X XYCov Y XY(,)(, )( ,)( , )Cov X XCov X YCov Y XCov Y YDXDY. .由于X和Y同分布, 因此DXDY,于是有( , )0
13、Cov U V .由相关系数的计算公式(, )Cov X YDXDY,所以U与V的相关系数也为零,应选(D).【知识点】协方差的性质：(,)(, )Cov aX bYabCov X Y；1212(, )(, )(, )Cov XXYCov X YCov XY.(5)(C)解：由于2( ,),XN 将此正态分布标准化,故0,1XN , 1211XP XP. 计算看出概率P X的值与大小无关.所以本题应选(C).三、三、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )解：这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导
14、数.222000122(1 cos )2lim( )limlim1 xxxxxf xxx,22 0000coscoslim( )limlim11xxxxt dtxf xx,故(00)(00)(0)fff,即( )f x在0x 处连续.2000422 0 20001cos1( )(0)(0)limlim0 1coscos12limlimlim0,22xxxxxxxt dtf xfxfxxxt dtxx xxx2002320002(1 cos ) 1( )(0)(0)limlim0 2(1 cos )2sin22(cos1)limlimlim0.36xxxxxxf xfxfxx xxxxx xxx 即(0)(0)0ff,故( )f x在0x 处可导,且(0)0f .四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )解：首先,在变上限定积分中引入新变量3ts ,于是3003( )3x
