《常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 线性非齐次常系数方程线性非齐次常系数方程的待定系数法. 在第2节给出的常数变易法比较繁琐，本节将给出比较简单的解法.1考虑常系数非齐次线性方程 (3.4.1 ) 当 是一些特殊函数，如指数函数，正余弦函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。 2一、非齐次项是多项式（3.4.2） 当 时,零不是方程的特征根 . 可取特解形式为（3.4.3） 其中 是待定常数. 比较方程 同次幂的系数 解出3当 时, 零为方程的单特征根，令 当 时, 零为方程的二重特征根， 直接积分得方程的特解4综合情况, 我们得到特解形式:通过比较系数法来确定待定常数5例1 求方程 的一个特解.解: 对应的齐次方程
2、的特征根为零不是特征根,因此, 设方程特解的形式为将 代入方程得比较上式两端的系数, 可得因此, 原方程的一个特解为6例2 求方程 的通解.解: 对应的齐次方程的特征根为齐次方程通解为:因为零是特征方程的单根,将 代入方程得:原方程的特解为:原方程的通解为:故特解形式为7二、非齐次项是多项式与指数函数之积做变换则方程变为: 8(1) 当 不是特征根时, 方程的特解形式为 (2) 当 是单特征根时, 方程的特解形式为 (3) 当 是二重特征根时, 方程的特解形式为 对应的齐次方程的特征方程9例3 求方程 的一个特解.解: 对应的齐次方程的特征根为二重根因此, 该方程特解的形式为将 代入方程, 可
3、得因此, 原方程的一个特解为10例4 求 的特解.解 :做变换则原方程变为 对上面方程积分得到一个特解因此, 原方程的特解为11例7 求方程的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通解为:再求非齐次方程的一个特解. 因为方程的右端由两项组成, 根据解的叠加 原理, 可先分别求下面两个方程的特解.解: 先求对应齐次方程的的通解.12这两个特解之和为原方程的一个特解.对于第一个方程, 设特解代入第一个方程得:对第二个方程, 设特解代入第二个方程得:原方程的通解为13三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积当 不是对应齐次方程的特征根时,取 .当 是对应齐次方程 的特征根时,取 .方程的特解 形式为 14例5 求 的通解.解：先求对应齐次方程 的通解 特征方程 的根为 所以齐次方程的通解为 再求非齐次方程的一个通解，15不是特征根，故 代入原方程得到得 A=2，B=1，故原方程的特解为 于是通解为 16例6 求方程的通解.解: 先求对应齐次方程的的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通解为:再求非齐次方程的一个特解. 是特征根, 故原方程特解的形式为17代入原方程得比较方程两边的系数得:故原方程的特解为:因而原方程的通解为:例6 求方程的通解.方程特解的形式为18作业: P149 2，3，6，7，8 (1)，9, 1019
