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1、 复习 拉普拉斯变换有关内容（1 ）1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复函数 复数例1 （2）模、相角 （3）复数的共轭 （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。 模相角 欧拉公式欧拉公式复平面上的一个单单位圆圆上的点，与实轴夹实轴夹 角为为时时， 此点可表示为为e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用 计算方法定义为欧拉公式与三角函数的关系欧拉公式与三角函数的关系 由泰勒级数展 开三角函数可表示三角函数可表示为为为为同同样样样样若若 展开展开，可得到，可得到4 4傅里叶生平傅里叶生平 17681768年生于法国年生于法国 180718
2、07年提出年提出“ “任何周期任何周期 信号都可用正弦函数信号都可用正弦函数 级数表示级数表示” ” 18291829年狄里赫利第一年狄里赫利第一 个给出收敛条件个给出收敛条件 拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表 18221822年首次发表在年首次发表在“ “热热 的分析理论的分析理论” ”一书中一书中5傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和”傅里叶的第一 个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” 傅里叶的第二个主要论点6变换域分析 频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：Z 变换，自变量为
3、z在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达 到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以 通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工 程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分 ）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使 得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的 方法之一定义- 傅里叶变换 若 满足傅氏积分定理条件，称表达式 为 的傅里叶变换式,记作 我们称函数 为 的傅里叶变换，简称傅氏变换积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛 的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力 学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为 一种
4、研究工具发挥着十分重要的作用复习拉普拉斯变换有关内容（2）2 拉氏变换的定义 （1）阶跃函数像函数原像原函数3 常见函数的拉氏变换（2）指数函数由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我们以简洁的复数形式（即指数形式）作为傅里叶变换的定义定义7.3.1 傅里叶变换 若 满足傅氏积分定理条件，称表达式 （7.3.1） 为 的傅里叶变换式,记作 我们称函数 为 的傅里叶变换，简称傅氏变换复习拉普拉斯变换有关内容（3）（3）正弦函数复习拉普拉斯变换有关内容（4）（1）线性性质4 拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理证明 ：0初条件下有： 复习拉普拉斯变换有关内容（5）例2 求解 . 例3 求
5、解 . 复习拉普拉斯变换有关内容（6）（3）积分定理零初始条件下有 ：进一步有 ： 例4 求 Lt=? 解 . 例5 求解 . 复习拉普拉斯变换有关内容（7）（4）实位移定理证明 ：例6解 . 令复习拉普拉斯变换有关内容（8）（5）复位移定理证明 ：令例7例8例9复习拉普拉斯变换有关内容（9）（6）初值定理证明：由微分定理例10复习拉普拉斯变换有关内容（10）（7）终值定理证明：由微分定理例11（终值确实存在时）例12复习拉普拉斯变换有关内容（11）5 用拉氏变换方法解微分方程L变换系统微分方程L-1变换控制系统的数学模型课程小结 (1)时域模型 微分方程 元部件及系统微分方程的建立 线性定常
6、系统微分方程的特点 非线性方程的线性化 微分方程求解课程小结 (2)1 拉氏变换的定义 （2）单位阶跃2 常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数课程小结 (3)3 拉氏变换重要定理（2）微分定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法第三拉氏逆变换第三拉氏逆变换拉 氏 逆 变 换 的 数 学 方 法有理函数法部分分式法查表法根据拉氏逆变换公式 求解。Laplace变换表查出相 应的原函。通过代数运算将一个复 杂的象函数化为数个简 单的部分分式之和。拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法只包含不相同极点的情况1拉氏逆变换的求解拉氏逆变换的求解拉氏逆变换的数学方法拉氏逆变换的数学方法只包含不相同极点的情况1包含多重极点的情况2线性定常微分方程求解（举例说明）例6 R-C 电路计算
