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1、中学生数学 2 0 1 i 年 i月上 第 4 0 9期( 高 中) 概率统计中概念的对比分析 甘肃省渭源县第一 中学 ( 7 4 8 2 0 0 ) 曹平原 概率统计 在 日常生 活 、 生产实践 和科学 实验 中的应用是 非常广 泛的 概率统计 是新课程 改革 过程 中重点 加强 的内容之一 有关 概率统计 的各 种计算 问题 ， 既是 中学数 学 学 习 中的难 点 ， 也 是 高考数学试题 中考查的主要内容 解决这类 问题 的关键 ， 在 于对 概念 的理 解和掌握 为了有效 的帮助 同学们 解决 有关概 率 的 计 算 问题 ， 本 人 曾 写 了 概 率 问 题 中 的 概 念 辨
2、 析 ( 中学 生 理 科 应 试 2 0 0 7 2 ) ， 对 随 机 事 件 与 随机试验、 频率与概率、 互斥事件与对立事件、 互相独立事件与 独立重复试 验等概念进 行 了 辨析 但 是 ， 还 有 一 些 概 念 的 含 义 也 很 难 区 分 例 如 ， 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变 量 、 二 项 分布 B( ， p ) 与几 何分 布 g ( k ， 户 ) 、 期 望 E 与 方差 D 、 均方差与标准差 、 系统抽样 与分层抽 样 、 条形图与直方 图、 正态分布 N( ， 。 ) 与标准 正态分布 N( 0 ， 1 ) 等等 在学 习 中 同学
3、 们 很 难 搞 清 楚 上 述 概 念 的 含 义 和 区别 所 以 ， 有 必要 对 这 些 概 念 做 进 一 步 的对 比分析 一 、离散 型 随机变 量 与连续 型 随机 变量 如果 随 机 试 验 的 结 果 可 以 用 一 个 变 量 来 表示 ， 那 么 就 把 这 个 变 量 叫做 随机 变 量 随机 变量常用希腊字母 ， 刁 等表示 对于随机 变量所有 可能 的取值 ， 如果我们 能 按一定 的次序一 列出 ， 这样 的随机变量 叫做 离 散 型随机变 量 例如 ， 抛掷 一枚骰 子 ， 设 所 得点数 为随机变量 ， 则 所 有 可能 的取 值分 别为 1 、 2 、 3
4、 、 4 、 5 、 6 这些取值 ， 我们能够一一列举出来 这 时 ， 所得 的随机变量 就 是离散 型随机变量 如果随机变量所有 可能 的取值， 可 以是某 个 区间内的任何 一个值 ， 这时， 我们 就不能够 按 一定 的 次序一 一 列 出 ， 这 样 的随 机 变 量 叫做 连 续型 随机 变量 例 如 ， 对 某 班学 生 的身 高 ( 或 体重) 进行测量 ， 所得 的数据是随机变量 ， 则 所有可能的取值是某个 区间 内的实数 我们不 能够 把所 有 可 能 的 取 值 一 一 列 举 出来 这 时 ， 所得 的 随机 变量 就是 连 续 型随机 变量 二 、 二项 分布 B(
5、 ， P ) 与几 何分 布 G( k ， ) 在一 次试 验 中 ， 如 果 某 事 件 发 生 的 概率 是 P， 那么在 次独立重复试验 中， 这个事件恰好 发生 k次的概率为 P( 一k ) 一c o p ( 1 一 ) 一 由此得 到 随机 变量 的分 布列 O 1 P (1 一 p) C 户( 1一 ) 一 k P c t p ( 1 一 ) P 称 随机 变量 服 从二项 分布 ， 记 作B( ， ) 例 如 ， 设 某 人投 篮 时投 中 的概 率 为 0 8 ， 若 连续投篮 n次 ， 则投 中次数 恰好 为 k的概率 是 P( 一是 ) 一C ( O 8 ) ( 1 0 8
6、 ) 一 这时 ， 投 中次数 服从二项分布B( ， 0 8 ) 设某事件在一次试验 中发生 的概率是 P 在 次独立重复试 验 中这个 事件第一次发 生 时 ， 所作试验 的次数 志为随机变量 那么 ， 在 第 k次试验时事件第一次发生的概率为 P( 一 是) 一 ( 1 一 户) 一 户 由此得到随机变量 的分布列 称 随 机 变 量 服 从 几 何 分 布 ， 记 作 g ( k ， 户) 又例 如 ， 设 某 射击 手有 5发子 弹 ， 射击 一次 中靶的概率为 0 9 ， 若命中就停止射击 ， 否则一 直到子弹用尽 ， 求消耗子弹数 的分布列 因为 ， 当 4时 ， 消耗 子弹数 的
7、概 率P( k ) 一 ( 1 0 9 ) 0 9 ， 此 时 服 从 几 何 分 布 g( 愚 ， 0 9 ) ； 当 e 一5时 ， P( 5 ) 一( 1 0 9 ) 所 求分布列为 网址 ：Z X S S c h i n a j o u r n a 1 n e t C D 7 -n ajou 学 爹 基 础 _妻 管 t 黪 学 蜜 乡 基 山 留函 嚣 ； t 中学生数学 2 0 1 1 年 1 月上 第 4 0 9期( 高中) 1 2 3 P 0 9 0 O9 0 0 09 4 5 P 0 00 0 9 0 0 00 1 三 、 期望 E 与 方差 D 若随机变量 的所有可能取值分
8、别为 ， z z ， z s ， ， ， ， 相应的概率 P分别为 户 ， ， 户 s ， ， 户 ， 贝 0 称 E 一Lz 1 P 1 +z 2 2 +z3 3 + +z + 为随机 变量 的数学 期望或 平均 数 、 均 值 ， 简称 期 望 同时把 D 一 ( 1 E ) 1 + ( z2 一E ) 2 + + ( z 一 E ) + 叫做随机变量 的均方差， 简称方差 把均方差 的算术平方根 , b - g 叫做标准差， 记作 一 一 霹 例 1 ( 2 0 0 8年湖北理) 袋中有 2 0个大小 相同的球 ， 其中记上 0号的有 l 0个 ， 记上 号 的有 个( “ 一1 ， 2
9、 ， 3 ， 4 ) 现从袋 中任取一球 表 示所 取球 的标号 ( 1 )求 的分 布列 ， 期 望 和方差 ； ( 2 )若 一 6 ， E 一1 ， Dr =1 1 ， 试求 ， b 的值 解 ( 1 ) 的分 布列为 ： 0 1 2 1 1 1 P _ _ _ _。 一 2 2 O 1 O 3 4 3 1 P _ 2 o 5 联 一 0 丢 + 1 + 2 + 3 未 1 + 4 ： 1 15 0 n ，n 1 、 2 1 I， 1 1 r、 2 1 亏一 2 7 5 ( 2 )由 Dq n 。 D ， 得 2 7 5 =1 1 ， 即 a 一2 又 E7 7 一a E q - - b
10、 ， 所 以 ， 当 口一 2时 ， 由 1 2 1 5+ b ， 得 6 一一2 ； 当 a 一一2时 ， 由 1 = = = 一2 1 5 +b ， 得 6 = = ： 4 ： 2 ， a z-一， 即为所求 四、 系统抽 样与分 层抽样 系统抽样 与分层 抽样 都是从 总体 中抽出 一个 样本 的抽样方 法 如果总体中的个体数较多 ， 就将总体均衡 的分 成 几个 部 分 ， 按 事 先 确定 的规 则 ， 在 每 个 部分 中随机 抽取 数 目相 同 的个 体 ， 得 到所 需 样 本 这种抽样方法叫做系统抽样 如果总体由差异明显 的几个部分组成， 就 把总体按其差异分成几个层次 ，
11、分别在每一层 中， 按一定的 比例 随机抽取个体 这种抽样 方 法 叫做分层 抽样 例 2( 2 0 0 9年广 东卷 文) 某单位 2 0 0名 职 工 的年龄分 布情 况如 图 1 ， 现 要从 中抽取 4 O名 职工样本 ， 用系统抽样法 ， 将全体职工随机按 1 2 O O编 号 ， 并按 编 号顺 序平 均 分 为 4 0组 ( 1 5号， 6 1 0号 ， 1 9 6 2 O 0号) 若第 5组 抽出的号码为 2 2 ， 则第 8组抽 出的号码应 是 若用 分层抽 样 方 法 ， 则 4 O岁 以下 年 龄 段应 抽取 人 图1 解 析 根 据 系统 抽 样 的 方 法 ， 先 均
12、 匀 分 组 ， 然后 规则抽 取 由分 组可 知 ， 抽 号 的 问 隔为 5 ， 又因为第 5 组抽出的号码为 2 2 ， 所 以第 6组 抽出的号码为 2 7 ， 第 7组抽 出的号码为 3 2 ， 第 8组抽 出的号码为 3 7 由于分层抽 样 是 在 不 同层 次 中， 按 比例 抽 取 4 0岁 以 下 年 龄 段 的 职 工 数 为 2 0 0 0 5 一 A 九 1 0 0 ， 则应抽取的人数为 -k k )l O 0 2 0人 厶 V U 分 析要 特 别 注 意 系 统 抽 样 与 分 层 抽 样 的区别与联系 系统抽样要求将 总体均衡的分 8 电 子 s箱 ： 。 ina
13、j。u rna n etcn 寸 中学生数学 2 0 1 1 年 1 月上 第 4 0 9期( 高中) 成几个 部分 ， 从 每部分 中抽 取相 同个 数 的样 本 ； 分层抽样要求 各层有明显 的差异 ， 在每一 层 中按 比例抽 取个 体 五 、 条形 图与 直方 图 条形 图 和直 方 图 ， 都 是用 来 表示 试 验 结 果 的频 率分 布情 况 的 图形 如果 相 应 的 随机 变 量 是离 散型 的 ， 就可 以用 高 度来 表 示各 个 随机 变 量取值的频率( 或频数) 相应的图形就是频率 分布条形图 例 3 ( 2 0 0 7年 北 京 理 ) 某 中 学 号 召 学 生
14、在 今 年 春节 期 间 至 少 参加 一次 社会 公 益 活 动 ( 以 下 简 称 活 动 ) 该 校 合 唱 团 共 5 0 40 3O 2O l O 1 2 3 图 2 次数 有 1 0 0名学 生 ， 他 们 参 加 活 动 的 次 数 统计 如 图 2所示 ( 条形 图) ( I)求 合 唱 团学 生 参加 活动 的人 均次 数 ； ( 1 I )从合唱团中任意选两名学生 ， 求他们 参加活动次数恰好相等的概率 ； ( )从合唱团中任选两名学生 ， 用 表示 这两 人参 加活 动 次 数 之差 的绝 对 值 ， 求 随机 变 量 的分 布列 及数 学期 望 解 由图可知 ， 参加 活 动 1次 、 2次 和 3次 的学生人数分别为 1 0 、 5 O和 4 0 ( I)人均次数为 ： Q 一2 3 0 9 1 O O 1 0 0 “ ( I I )选 出 的两 名 学生 ， 参加 活动 次数 恰 好 相等的概率为 P 。 一C 。 +C +C 一4 1 ( )P( ) _P( A)+P( 十 一器 ； 一 P ( C ) - 一 ； 的分 布列 ： O 1 2 4 1 5 0 8 P _ _ _ 一 _ _ 。一 9 9 99 99 的数学期望 ： 一 o 器 + 1 器 + 2 =：= -三 I 如果 随机 变量 是 连 续 型 的 ，
