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1、莫让数形结合能力培养机会流失 以椭圆标准方程推导教学为例洪昌强（ 浙江省台州市第一中学 ）笔者在过去教学时， 在得出椭圆定义后， 对于 椭圆标准方程的推导过程， 常常认为这部分内容纯粹是代数运算过程因此， 只关注式子变换， 单纯地在代数上研究， 课堂上常由教师“ 代言” 也正因此错失了数形结合教学的良机， 最终导致学生数形结合能力得不到提高数形结合不仅是由数到形的形象化， 也应该是由形到数的代数化 椭圆标准方程的推导， 表面上看是代数式的化简过程，其实， 每个等式的背后都蕴藏着丰富的几何意义本文以椭圆标准方程推导教学为例， 谈数形结合能力培养的实践和感悟 察形 从形发现量 人教 版教科书选 中
2、（ 以下简称教科书）， 椭圆是用几何形式进行定义的 当得出椭圆定义后， 学生觉得椭圆好“ 玩” ， 根据定义画椭圆很方便， 并且能画各种各样的椭圆 教师借此鼓励学生自己动手， 用绳子按定义画各种椭圆 通过画椭圆让学生自己发现椭圆几何特征 如封闭性、 对称性、 光滑性、 似“ 圆” 又不象圆等， 及绳子的长短和两定点距离远近都会影响椭圆的“ 扁平”问题 椭圆有哪些几何特征？椭圆的扁平决定谁？设计意图 表面上看椭圆是形的特征， 事实上， 椭圆也具有数的特征， 只不过“ 暗藏” 在图形背后 让学生先画不同的椭圆， 然后引导学生观察椭圆几何特征与量的变化关系， 从中产生对椭圆的性质或数量关系的直接感知
3、， 提高由形想到数的自觉性 也为研究椭圆的标准方程与图形之间的关系埋下了伏笔 量化 将形转化数 一种新的方法产生， 是为了适应解决新问题的迫切需要 教科书讲到“ 建立椭圆的方程， 并通过方程研究椭圆的性质” 那么学习椭圆方程就是为了研究椭圆的对称性、 封闭性、 顶点、 扁平性的需要而学习吗？事实上， 以上这些性质学生直接从画椭圆的过程容易得出， 无须一定要用到椭圆的标准方程 这样的教学似乎有点牵强附会， 不够自然， 有强加于之嫌问题 如图， 日常生活中见到“ 扁圆” 一定是椭圆吗？椭圆上哪一点到 点距离最远？如图， 残缺的曲线如何判断它属于椭圆的一部分？用“ 测 量” 方 法 精 确 度 高
4、吗？有 无 令 人 信 服 的方法？图图设计意图 思维源于行动中迫切需要， 发生于正在进行中的充满疑难、 困惑的悬而未决的情境 出现困难、 错误、 甚至失败， 这是获取探索新知识、 发现新问题、 创造新方法的必经之路， 教师的角色更应该是学生学习的推动者 通过以上问题提出， 让学生感到要进一步了解椭圆必须要精确化， 即将椭圆代数化是必然的选择 猜想 由形寻求式 结合椭圆的几何特征， 学生容易想到把坐标系的原点放在椭圆的“ 中心” 并根据条件得到 年 第 卷 第期 数学通报（）槡（）槡（）观察（） 式， 不难发现， 用代替， 或用代替， 等式都不变， 且两个根式和为定值 由此得出（） 式的结构具
5、有对称性、 和谐性若对式子进行两边平方， 原式的“ 美丽” 反而变“ 丑陋” 了那为什么要对（） 式进行化简？化简后能得到“ 更好” 的等式吗？化简的目的仅是为了研究椭圆的对称性、 范围、 封闭性等性质吗？其中的道理多数学生是不清楚的， 只是盲目跟老师的思路走 此时， 教师不能急于提化简， 应该先由学生猜想椭圆方程问题 在适当建立坐标系下， 椭圆方程为怎样的形式？设计意图 学生依据圆方程的学习经验， 猜想出椭圆方程的形式为 学生心中有了这个“ 好” 方程， 为等式化简找到了指向标，为克服运算困难增加了自信 若没有对椭圆方程的猜测过程， 等式变形就没有了更深远的目的， 化简就毫无方向 学生经历了
6、由椭圆猜想其方程的思维过程， 感到数与形是紧密相联的 这不仅对培养创新思维和批判性思维有好处， 而且对运用数形结合进行思考问题很有帮助 融合 由式构造形 问题 为什么要先移项再平方， 好处在哪？化简过程中每个等式所表示的图形保持一致性， 都代表同一个椭圆，各式所代表的几何意义又是什么？多数学生认为， 若两边直接平方， 等式中根式不仅仍然存在， 并且等式中出现次形式， 对运算带来不方便 因此先移项， 得（）槡（）槡（）两边平方， 则化简为 （）槡（）再平方后， 得 （） （）（）（）事实上， （） 式两边直接平方，得（） 槡 （）上式两边再平方， 得（） （）仅从运算角度上来看， 教科书上的处理
7、方式的优势并不明显 那么教科书上的这样处理有无其它意义呢？（） 式的几何意义是： 椭圆上点到（，） 距离等于长为的线段截去与椭圆上点到（，） 距离相同的线段的长度 即椭圆是： 以为圆心， 半径为的圆上动点， 与圆内定点连线段 的中垂线与线段交点的轨迹（） 式虽然变“ 丑” 了， 几何意义不明显， 怎样让式子的几何意义更明显？因为（）槡和的系数不是， 给构造图形带来困难 能否将它们的系数化为？经过变换，得（）槡（）（） 式的几何意义： 椭圆上点满足到定点（，）距离与到定直线的距离之比为常数（） 式虽然比较简洁了， 此式所表达的几何意义是什么？若 令 槡 烅烄烆， 则 （） 式 化 为 （） 这不
8、就是圆方程上每一点 横坐标和纵坐标缩短（ 或伸长） 所得的方程 也就是说， 椭圆可以由圆压缩（ 或伸长） 所得对于（） 式有无其它的变换方式？仔细观察此式的每项都是一个平方数， 是否与平方差公式有关联？（） 式可化为 （）（） ， （）（） 式的几何意义： 椭圆上点到（，） 和（，） 的连线斜率之积为常数设计意图 由以上各个等式变换产生形式不同的数学式子， 不同的等式具有不同的数学内涵，由此滋生出不同的几何意义， 但它们都代表同一个图形 椭圆 学生不仅仅得到了椭圆的方程，还理解了椭圆不同描述， 较完整地了解椭圆标准方程的真实意义， 丰厚了椭圆的内容， 提升了椭圆的品质， 对椭圆方程各种的式子留
9、下较为深刻的印象， 对椭圆的参悟更透彻了 学生感到椭圆的标数学通报 年 第 卷 第期准方程不是故意造作的，式子的结构与完美的图形紧密相伴 这样单调、 繁琐的运算过程就会变得生动而有活力 这为之后椭圆方程的灵活运用打下了坚实的基础 更重要的是让学生享受到数形结合的乐趣， 活跃了学生的思维， 促进了学生形象思维和抽象思维的和谐发展， 并让学生明白， 变的是形式， 不变的是本质的科学道理 延伸 提升数形结合 问题 以上推理过程中， “ 数” 与“ 形” 是通过哪些方式进行联结？回顾总结椭圆标准方程的推导过程中， 各等式几何意义的思维探究过程， 概括联结“ 数” 和“ 形” 之间对应关系的常见示例：两
10、点间距离（）（）槡或；点到直线距离 槡或；斜率 ； 图形的对称性、 ；椭圆常数（ 根式和， 斜率积、 根式比、 平方和）设计意图 由于学生储备的“ 数” 与“ 形” 信息不对称， 导致数和形失去联结， 这是影响数与形结合能力的主要原因之一通过归纳总结提炼， 将常用到的“ 式” 与“ 形” 建立一种对应关系， 这样可以优化知识结构， 便于信息储存和提取， 有利于沟通数式与图形的认知联结， 并能准确地选择合适的途径实现数与形的相互转换， 对解题的思路的发现具有一定启示效果， 对学生以后能否以简捷的方法处理问题都起着至关重要的作用 感悟 从教学实际情况来看， 数学学习困难的学生，他们数形结合能力相对
11、薄弱数形结合能力强的学生， 他们比较喜欢数学， 学得也较轻松因此，教师不 要 让 数 形 结 合 的 教 学 机 会 在 眼 皮 底 下流失 数形结合处处常在 解析几何虽然是用代数方法研究几何， 但并不是单纯是由“ 形” 到“ 数” 的单向联结， 反过来， 各个代数式都蕴藏着几何意义， 因为它源于几何。解析几何还有一个任务， 引导学生将代数的结果对几何进行解释， 即要重视由“ 数” 到“ 形” 的转换教师在平时教学中， 往往把解析几何教学的重心放在繁杂的运算过程中冲淡了数形结合思想， 曲解了学习解析几何的意义， 严重脱离了数学的本质 法国数学家拉格朗日说： “ 只要代数同几何分道扬镳， 它们的
12、进展就缓慢， 它们的应用就狭窄但当这两门科学结合成伴侣时， 它们就互相吸取新鲜的活力， 从而以快速的步伐走向完善” 数形结合时时常用 平时在数形结合思想的教学中， 往往到了高三专题复习讲座时， 数形结合才获得暂时的优惠待遇 这种临时抱佛脚， 为了“ 数” 和“ 形” 结合而结合的教学， 完全出于考试的功利需要， 学生所获得的所谓“ 数形结合思想” ， 在新的情境下显得苍白无力数形结合能力的培养需要一个十分漫长的过程， 是一项长期的教学任务 数形结合需要常在心中留， 在数学学习过程中不能轻易地放弃数形结合的好机会 数与形是“ 永远联系” 数形结合需要“ 慧眼” 在处理数学问题时， 常要“ 数”
13、和“ 形” 之间的相互转换 但实现数和形转换并不是一件轻而易举的事 式子和图形所呈现的不同形式都会影响转换的速度和效果 代数式具有抽象性， 式子的结构有时缺乏明显几何的特征， 或与常规的式子有较大差异， 几何意义被“ 杂乱” 的式子所掩饰， 需要解题者将式子作适当的调整， 使几何意义浮出水面 几何问题转化为代数问题， 最关键的是从图形中挖掘出有用的几何特征， 然后将这些特征转换成代数问题， 要求学生具有敏锐观察、 分析、 综合、判断等能力数形结合能力的培养， 教师要对学生起到一定的辅助和指导作用 首先， 教师要研究学生数形结合心理需求及软弱点， 不同的人对“ 数” 和“ 形” 有不同的偏好， 教学时要分层要求其次， 充分挖掘教材中数形结合内容， 纵横拓展，重视变式 让学生亲身经历由形到数， 由数造形的活动过程， 提高数形结合的敏感度， 增强运用数形结合的自觉性， 积累数和形相互转换的经验， 让数形结合时时保持旺盛状态， 处处感知学习数学的快乐， 时刻尽享数形结合的美好 这是调动学生数形结合的内在动因较为有效的方法参考文献 人民教育出版社中学数学室普通高中课程标准实验教科书数学 选修 （ 版）北 京： 人 民 教 育 出 版社， 年 第 卷 第期 数学通报
