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1、3 1卷第 9期 2 0 0 9年 9 月 物理教学 PHYS I CS TEACHI NG Vo 1 31 NO 9 Se p t 2 0 09 “ 斑马线形“ 场区问题赏析 姜玉斌( 淮阴中学江苏2 2 3 0 0 2 ) “ 斑马线形” 场区在空 间分布上具有周期性 ， 常常与多过 程 问题联 系在一起 ， 成 为近年高考命题 的热点 ， 如何分析 、 解 决这类 问题 ?下面通过实例谈谈笔者的思考 。 一 、电场 中的“ 斑 马线形” 场 区问题 问 题 1 一 个 质 量 为 m、 电荷量 为 一g的粒子 ( 不 上 一 J 一 一 计重力 ) 以初 速 度 功 水 平。 r T 一
2、 抛出， 在粒子经过的竖直平 l 一 J 一 ： 面内 ， 存 在着 若干 个 如 图 1 所示 的 有 理想 上 下 边 界 的 一 一 匀强 电场 区 和无场 区， 两 区 域相互 间隔 、 且 粒子通 过各 叵 二 二 二 臻陋 蘑 嘲 第1 个 无场区域 ： 口三 第2 个无场区域 图 1 个有场 区域或无场区域 的时 间相等 ， 都 为 t 。 ， 电场区域 水平 方 向无限长 。已知每一电场区域的场强大小相等 为 E、 方 向 均竖直 向上 ， 不计空 气阻力 ， 求 ： ( 1 ) 粒子 刚到第 k个 电场 区 域时的速度大小 ； ( 2 ) 粒 子刚 到第 +1个电场区域时 在
3、竖直 方向上发生的位移大小。 赏析 ： 粒子在水平方 向上做速度为 的匀速 直线运动 ， 在竖直方 向上 的有 电场 区域做匀加速 直线 运动 ； 无场 区域做 匀速 直线运动 。画出小球 在竖 直方 向上 的速度 时间 图象如 图 2所示 。 设粒子从第 1个 电场 区域 出来 时 ， 竖 直方 向 的速 度为 “01 在 竖 直 方向 上由 运 动 学 公 式 一 n 。 一 鱼 # - - & 粒子 刚到达第 k个 电场 区域 时 已经过 电场 k一1次 加 速 ， 竖直方向的速度为 一 l =( 一1 ) Emqt o一 所 以粒子刚到达第 k个电场区域时的速度 一、 解得 粒子经过第
4、一个 电场 区域时在竖 直方向上发生的位移 ，一 由图 2知 ， 以后每 t o时间内 竖直 方 向上 的分位 移 分别是 第 一个 时间 t 。内竖 直分位移 的 2 、 3 、 4 2 倍 ， 成 等差数 列。所 以， 小球 刚到 达 k +1个 电场 区 图 2 域在竖直方向上发生 的位移 ( i + 2 k ) ， ( 2 k + 1 ) k q Et 。 。 一 一 一 粒子在各 个区域的运动时间相等 ， 但各个 区域的宽度不 相等 ， 由上 向下 区域 的宽度逐 渐增加 ， 成 等差数 列 。将 粒子 的运动分解为 水平 方向和竖直方向 ， 并 画出竖直方 向速度 随 时间变化的图
5、象 ， 理清粒 子在各 个场 区的运动 情况 ， 归 纳 出 粒子 的运动规律成 为解题 的关 键 。如果 将粒 子在 电场 中的 运动轨迹拼接起来 ， 轨迹 是抛物线 。 二 、 磁 场中的“ 斑马线形” 场区问题 问题 2 如图 3所示 ， 磁感应强度为 B的条 形匀强磁 场 区域 的宽度都是 d ， 水平方向无限长 ， 相邻磁 场 区域 的 间距 均为 d ， X轴的正上方有一 电场强 度为 E、 方 向与 x轴和 磁 场均垂直 的匀强 电场 区域 。现将质量 为 m、 电荷 量为 +q的 粒子 ( 重力不计 ) 从 z轴 正上方 高 h处 自由释放 。求 ： ( 1 ) 粒 子在磁场区
6、域做圆周 运动 的轨 道半径 r ； ( 2 ) 若 粒 子只 经过 第 1 个 和第 2 个磁场 区域 回到 X轴 ， 则 粒子从释 放到 回到 X 轴所需要 的时间 t 为多少 ； ( 3 ) 若粒 子以初速度 V o从高 h处 沿 轴正方 向水平射 出后 ， 最远 到达第 个 磁场区域并 回到 z轴 ， 则 d 、 d 应该满足什么条件 。 d l 一 域 X X： X ： 第2 个 磁 场 区 域 X X ： ： ： ： ： ： ： ： ： ： 第3 个 磁 场 区 域 X X X 图 3 赏析： ( 1 j 粒子在电场中加速， 获得速度设为 。 由 动 能 定 理 得 g E 一 m
7、 扩 粒子在磁场 中做 圆周运动 ， 由洛仑兹力提供 向心力 得 口 v B= m - 解 得 厄 、 ( 2 ) 设粒 子在电场 中运动时间 t - 由牛顿第二定律得 q E=m a 运动学公式得 ： 1 n 。2 41 解得 将粒子在磁场 中的运动轨迹拼接起来 ， 刚好 是完 整的半 圆 ， 粒子在磁场中运动时间 专 T 4篓 如 图 所 示 l 则 sina- _JV -dl 2 2L 路程 面2 d 2 = + 十 一 十 ( 3 ) 粒 子 经过 第 k个 磁 场 区域 回到 z轴 ， 则 粒 子在 磁场 中的 运 动 由 2 一 1个 圆 弧 组 成 ， 并 且 2 k 一1个 圆
8、弧 合 并 为 一段 圆 弧 。如 图 5所 示 ， 粒 子 经类平抛运动进 入第 一个磁 场 2 md2 丽。 0 图 5 时 ， 设 速 度 为 ， 与 水 平 方 向 的 夹 角 为 ， 则 = ， c。 s 一詈， r ， 由几何关 系得 ( 一1 ) d 1 r t ( 1 一c o s O ) k d 1 解得 最( 。 + 一 v o ) d l ( 。 + 一 ) 粒子 回到 z轴 的条 件与 d z 无关 。 编者将匀强磁场分开 ， 让有场 区与 无场 区相互 间隔 ， 将 一个常见 的带电粒子在 磁场 中的偏 转 问题赋 予 了新 意。粒 子在磁场 中偏转 ， 而在无场 区
9、做匀 速直线运 动 ， 将 粒子 在磁 场 中的运动轨迹拼接起 来 ， 刚好 是完 整的 圆弧 ， 这 便成 为解 题的关键 。 三 、 复合 场中的“ 斑马线形” 场区问题 问题 3 如 图 6所示 ， 空 间存 在交 替 的磁场 和 电场 ， 磁 感应 强度为 B， 电场强 度为 E， 场区在水 平方 向无限长 。已 知质量为 m、 电荷量 为 +q的带 电粒子 ( 不计 重力) ， 以初 速 度 V o = 曷 正射入磁场， 之后带电粒子交替在磁场和 电场 中运动 ， 求粒子运动过程中的最大速率 。 赏析 ： 带电粒子交替在磁 场和 电场 中运 动 ， 越往 下粒子 速率越大 ， 在磁场
10、中偏转亦 越大 ， 在某一层磁场 ， 粒子将无法 继续向下运动 ， 而是再从磁场上方穿出， 开始与下降过程对 称 的上升 运动 。由于磁场力不对粒子做功 ， 故只需要知道粒 42 第 1 个磁场区域 第 1 个电场区域 第 2 个磁场区域 第 2 个电场区域 第 3 个磁场区域 图 6 子到达 的最低 电场 区域就可求 出粒子 的最 大速率 了。 如图 7所示 ， 设 带电粒 子进入第 愚 层 ( 从上 向下 ) 磁场 上 边界 时， 速度 与竖直 方向夹角 为 ， 射出此层 时 与竖 直方 向 的夹 角为 ， 粒子 刚进入第 1 个磁场 区域 时 n 一0 ， =v o 粒 子 做 圆 1吉
11、 1 运 动 的半 径 R-= s i n0 l d, s i na 1 O 然后 粒 子进 入 电场 加 速 区 ， 水 平速率保 持不 变 ， 即 1 一口 l s i n O l ， 竖 盲方 向加 速 。 设 粒 子 刚 到 达 第 2个 磁 场 区 域 图 7 的上边界 时， 其合速度为 ， 与竖直方向夹角为 a 。 s 一 一逊“02= 1 2 口 2 由 R k 一 得 鲁 = ，所 以 sim 。 一 番 由几何关系得 R 2 s i n 一尺 2 s i n a 2 一d 解得 s i t 一 2 d 以后粒子又进人电场加速 ， 类似 可得 s i n = 3 d， 类推粒子
12、到达第 个磁场有 i n O 若粒子可 以从 ( n -1 ) 个 磁场区域射到第 个磁场 ， 而不 能从 第 个磁场射 出 ， 则有 s i 1 n d(n N ) R 等 其 中 一 + 一 解 得 器 器+ l ( N ) ， 满 足 此 式 时 粒 子 的 最 大 速 率 一 粒子在磁场 中偏转 ， 在 电场 中要 加速 ， 再 进入 下一个 磁 场时速度 的大 小发 生变 化 ， 在磁 场 中偏转 的半 径 发生 了变 化 ， 此时将粒 子在磁场 中的运动轨迹 拼接 起来 ， 不再 是一 段 圆弧 。分析粒子在各个场 区的运动 ， 归纳出粒子刚进入各 个 磁场 区域时速度方 向与竖直
13、方 向夹角 的规 律 找到粒 子到达 最 低 审 场 的临 界 条 件 是 解 题 的 突破 日 。 疆崩 T + 一 T ； 一 一 l l l 总结 1 ： 带 电体在“ 斑 马线形” 场 区中的运动 是多过 程的 复杂问题 ， 处理好这类 问题 的关键是 理清 区域分 布的 特点 ， 区域是电场 、 磁场还是无场 ； 是宽度相等 ， 还 是带 电体在其间 的运动 时间相等 。画出带 电体 的运动 图景或物理 图象 ， 依次 分析带 电体 在各 个区域 的运动 形式 ， 符合 的物理 规律 ， 在不 同区域运动 的联 系。灵活运用数学知识归纳物理规律 、 分析 物理 问题 。 四、 电磁感
14、应 中的“ 斑马线形” 场 区问题 问题 4 ( 2 0 0 7年江苏高考物理试题) 如 图 8所示 ， 空间 等间距分布着水平方向的条形匀强磁场 ， 竖直方 向磁 场区域 足够长 ， 磁 感应 强度 B一1 T， 每一条形磁 场 区域 的宽度 及相 邻条形磁场区域的间距 均为 d=0 5 m， 现 有一 边长 z =0 2 m、 质量 一0 1 k g 、 电阻 R一0 1 Q的正方形线框 MNOP， 以 v o =7 m s 的初 速从 左侧 磁场边 缘水平 进入 磁场 ， 求 ： ( 1 ) 线 框 MN边刚进入磁场时受到安 培力的大 小 F； ( 2 ) 线 框从 开 始进入磁场到竖直
15、下 落的过程 中产生 的焦 耳热 Q； ( 3 ) 线框 能穿过 的完整条形磁场区域 的个数 n 。 d d d d d d 图 8 赏析 ： 线框 在水平方 向进 、 出磁 场 区时 ， 受安 培力作 用 ， 做变减速运动 ； 线框完 全在磁 场 中或 无场 区中时 ， 线框 中没 有电流 ， 不受 安掊力 作 用。线框 在 竖直 方 向做 自由落体 运 动 。 ( 1 ) MN 边刚开始进入磁场区域时 ， 感应 电动势 E= Bl v o 感应 电流 一 E，安培力 FBI l 一2 8 N。 ( 2 ) 设线框下落 了 H， 速度为 口 由能量守恒定 律得 m g H+ 1 m 2 一Q+ 1 诒 2 由 自由落体规 律得 。 一2 g H 解得 Q一 m 。 一2 4 5 J 。 ( 3 ) 线框 部分进人磁 场区域 2时， 由牛顿第二定律得 B0 I z A口 一1 m 变形并两边求和得 三里 v X f =m v o 解 得 警z = 7tt*Oo 穿过条形磁场 区域
