MATLAB讲义第四章

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1、MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社第4章 MATLAB 的数学运算 MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社教学目标教学重点教学内容Date1MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社教学目标l掌握向量和矩阵的运算l掌握线性代数的基本函数和使用l掌握稀疏矩阵的操作l掌握多项式运算及插值l掌握函数操作Date2MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社教学内容l向量、矩阵及其运算 l矩阵和线性代数 l稀疏型矩阵 l多项式与插值 l函数运算 l微分方程 Date3MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社向量、矩阵及其运算l向量的点乘、叉乘和混合积

2、l矩阵的基本运算 l特殊矩阵生成 l向量和矩阵的范数 Date4MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社向量的点乘、叉乘和混合积l向量的点乘 向量的点乘又称为内积，是两个向量的模和两个向量之间的夹角余 弦三者的乘积。MATLAB 中，实现点乘的函数是dot。dot 函数的 用法为 dot(x1,x2)，其中 x1 和 x2 的维数必须相同。l向量的叉乘 向量乘法除点乘之外还有叉乘。两个向量叉积的几何意义是指以两 个向量模的乘积为模，方向和两个向量构成右手坐标系的向量。向 量的叉乘不可交换。在 MATLAB 中函数 cross 用于实现向量的叉 乘。l向量的混合积 向量的混合积的几何意

3、义是：它的绝对值表示以三个向量为楞的平 行六面体的体积，符号由右手法则确定。上面介绍了向量的点乘和 叉乘，向量的混合积由点乘和叉乘逐步实现。Date5MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社矩阵的基本运算 l矩阵与常数之间的四则运算 矩阵与常数的运算与数组运算相同l矩阵和矩阵之间的四则运算 矩阵和矩阵之间的加减运算与数组运算相同 设 A 是一个 mn 矩阵，B 是一个 pq 矩阵，当 np 时，两 个矩阵可以相乘，乘积为 mq 矩阵。矩阵乘法不可逆。在 MATLAB 中，矩阵乘法由“*”实现。 矩阵除法在实际中主要用于求解线性方程组l矩阵转置 符号“”实现矩阵的转置操作。对于实数矩阵

4、，“”表示 矩阵转置，对于复数矩阵，“”实现共轭转置。对于复数 矩阵，如果想要实现非共轭转置，可以使用符号“.”。l矩阵乘方Date6MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社特殊矩阵生成 （1/2）函数功能生成空白矩阵zeros生成全0矩阵eye生成单位矩阵ones生成全1矩阵tril triu生成上三角或下三角矩阵diag生成对角矩阵gallery生成一些小的测试 矩阵hadamard生成 hadamard 矩阵hankel生成 hankel矩阵hilb生成 Hilbert 矩阵invhilb生成反 Hilbert 矩阵magic生成魔术矩阵pascal生成 n 阶 Pascal

5、矩阵rand生成服从均匀分布的随机矩阵randn生成服从正态分布的随机矩阵rosser典型的对称矩阵特征值的问题测试toeplitz生成 Toeplitz 矩阵vander生成范德蒙矩阵wilkinson生成 Wilkinson 矩阵compan生成多项式的伴随矩阵Date7MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社特殊矩阵生成 （2/2）l1对角矩阵的生成l对角矩阵指除对角线以外其他元素为 0 的矩阵。函数 diag 可以生成对角矩阵。该函数的用法为： A=diag(V,K)，其中 V 是一个向量，K 是一个整数。该函数返 回一个矩阵，矩阵的第 K 个对角线为 V。K 在默认情况下为

6、 0 ，表示矩阵的主对角线，K 大于 0 时表示主对角线的上方，小 于 0 时为主对角线的下方。 V=diag(A,K)，其中A时一个矩阵。K 与上面的语句相同。该语 句返回矩阵 A 第 K 个对角线上的元素组成的矩阵。l2魔术矩阵的生成 魔术矩阵是一种经常遇到的矩阵，除了二阶方阵之外， 魔术矩阵的每一行、每一列以及每条主对角线的元素之 和都相同。在 MATLAB 中，magic 函数用于生成魔术 矩阵。其调用方法为 magic(N)，其中 N 为正整数，并 且 N2.Date8MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社向量和矩阵的范数 l向量的范数定义为 ，其中，最常用的值为 1、2

7、 和无穷大。矩阵 的范数定义为 ，其 中，最常用的值为 1、2 和无穷大。l向量和矩阵的范数可以通过函数 norm 求 解。该函数的调用格式为 n = norm(A,p) ，其中 p 用于指定范数的类型。p 可以为 所有大于 1 的常数，最常用的为 1、2、 inf 和 fro，fro 为求解矩阵 A 的 Frobenius 范数。当 p 省略时，默认值为 2。Date9MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社矩阵和线性代数 l线性方程组l逆矩阵和行列式 l 矩阵分解 l矩阵指数函数和幂函数 l矩阵特征值 l矩阵奇异值分解 Date10MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版

8、社线性方程组（1/2）l利用矩阵求逆的方法求解方程组 我们首先求系数矩阵的逆，然后利用矩阵 的逆求解方程组的解。 l利用矩阵的左除符号“”或者右除符号“/” 求解方程组Date11MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社线性方程组（2/2）l利用左除符号和右除符号求解线性方程组，避免了矩 阵求逆操作，因此系数矩阵 不必为方阵。如果系数矩 阵 的维数为 ，则有三种情况： ，此时方程组为超定方程组，MATLAB 将给出最小二 乘解； ，此时方程组为方阵系统，MATLAB 给出精确解； ，此时方程组为欠约束方程组，MATLAB 将给出一组 基解，该解中包含最多 个非零元素。l在采用除法符号

9、（包括左除和右除）求解线性方程组 时，MATLAB 采用 因式分解法求解方程组。尽管 MATLAB 提供了两种方法，一般更倾向于采用第二种 方法，该方法用到较少的浮点数运算，执行速度较快 ，另外，由于采用 分解法，得出的结果要精确的多。Date12MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社逆矩阵和行列式 l矩阵行列式 在 MATLAB 中，矩阵的行列式用函数 det 求解。调用格式为 det(A)，其中 A 为 方阵。l矩阵求逆 对于非奇异方阵，如果存在方阵，满足 并 且 ，则称为矩阵的逆，记为，在 MATLAB 中，用 inv(A) 来实现矩阵逆的 求解。 Date13MATLAB

10、2006a 简明教程 清华大学出版社矩阵分解 lCholesky 分解lLU 分解 lQR 分解（正交分解） Date14MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社Cholesky 分解 lCholesky 分解将对称矩阵表示为一个三角矩阵 与其转置的乘积的形式，即，其中为对称矩阵 ，为上三角矩阵。并非所有的对称矩阵都能进 行 Cholesky 分解，只有正定矩阵能够进行 Cholesky 分解，如 Pascal 矩阵。在 MATLAB 中 Cholesky 分解由函数 chol 实现 ，该函数对输入矩阵进行 Cholesky分解，返回 其对应的三角矩阵。 lCholesky 分解同样

11、适用于复数矩阵。如果复数 矩阵满足，其中表示矩阵的共轭转置。如果矩 阵存在 Cholesky 分解则称其为 Hermitian 正 定。Date15MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社LU 分解 l矩阵的 LU 分解将一个方阵表示为一个下 三角置换矩阵和一个上三角矩阵乘积的形 式。如，其中为下三角置换矩阵，为上三 角矩阵。MATLAB 中 LU 分解可以通过 函数 lu 实现。通过矩阵的 LU 分解，可 以实现线性方程组的快速求解。l另外矩阵的 LU 分解可用于矩阵快速求逆 和求行列式，有 det(A) = det(L)*det(U) 和 inv(A) = inv(U)*inv(

12、L)。Date16MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社QR 分解（正交分解）（1/2）l如果矩阵 满足 ，则为正交矩阵。正交矩阵为实矩阵，其 每列为单位向量，并且各列互相正交。正交矩阵最简单的例子为 二维旋转矩阵：l对于复数矩阵，对应的概念为酉矩阵。l在数值计算中正交矩阵有着重要的应用，因为正交矩阵具有长度 不变性、角度不变性，并且不会扩大误差。l矩阵的正交分解将矩阵表示为正交矩阵（或酉矩阵）和上三角矩 阵的乘积。如 或 ，其中 为正交矩阵或酉矩阵 ， 为上三角矩阵， 为置换矩阵。正交分解有四种形式，包括完 全分解、简化分解、带置换矩阵的分解和不带置换矩阵的分解。Date17MA

13、TLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社QR 分解（正交分解）（2/2）l 完全分解 过约束线性系统的系数矩阵函数超过列数，为一个矩阵并且，记为 ，则完全正交分解产生一个的正交矩阵和一个的上三角矩阵，满足 。MATLAB 中矩阵的完全分解由函数 qr 实现。l简化分解 矩阵的简化正交分解可以节省存储空间和运算时间。正交分解可以 通过在 qr 函数中设置第二个参数为 0 实现。l与 LU 分解不同，QR 分解不需要对矩阵进行旋转或者置换，如上 面的两个例子。但是如果对矩阵进行置换可以避免由于矩阵奇异造 成的误差。选择置换后，在分解的每一步，选择剩下列中范数最大 的一列作为分解的基。这样得到的结果中，R 的对角线元素按照降 序排列。包含置换的正交分解可以通过增加 qr 函数的输出参数得 到。Date18MATLAB 2006a 简明教程 清华大学出版社矩阵指数函数和幂函数 l矩阵的正整数幂 如果 A 为方阵，p 为正整数，则 Ap 表示 p 个 A 相乘。l矩阵的负数幂与分数幂 如果 A 为非奇异方阵，则 A(-p) 等价于 inv(A)p。lMATLAB 中，允许对矩阵进行分数