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1、2004 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析经济数学四试题详解及评析 一、填空题填空题 (1) 若5)(cossinlim 0=bxaex xx，则 a = ，b = . 【答答】 1，4 【详解详解】因为5)(cossinlim 0=bxaex xx，且0)(cossinlim 0= bxx x，所以 0)(lim 0= aex x，得 a = 1. 极限化为 51)(coslim)(cossinlim 00=bbxxxbxaexxxx，得 b = 4. 因此，a = 1，b = 4. (2) 设1lnarctan22+=xxx eeey，则
2、1xdy dx=. 【答答】 21 1e e +【详解详解】因为) 1ln(21arctan2+=xxexey， 111222+=xxxxee eey， 所以，11 21+=ee dxdyx. (3) 设 DXXP . 【答答】 e1【详解详解】 由于21 DX =, X的分布函数为 =. 0, 0, 0,1)(xxexFx故 =DXXP1P XDX =11XP)1(1Fe1=. 二、选择题二、选择题 (7) 函数2)2)(1()2sin(|)(=xxxxxxf在下列哪个区间内有界. (A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). 【答答
3、】 A 【详解详解】 当 x 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 183sin)(lim 1= +xf x，42sin)(lim 0= xf x， 42sin)(lim 0= +xf x，= )(lim 1xf x，= )(lim 2xf x， 所以，函数 f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A). (8) 设 f (x)在( , +)内有定义，且axf x= )(lim， = 0,00, )1()( xxxfxg，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x
4、)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. 【答答】 D 【详解详解】因为 )(lim)1(lim)(lim 00ufxfxg uxx= a(令xu1=)， 又 g(0) = 0，所以，当 a = 0 时，)0()(lim 0gxg x= ， 即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a 0 时， )0()(lim 0gxg x ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点， 因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关，故选(D). (9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x
5、)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. 【答答】 C 【详解详解】 设 0 0， 而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ( , 0)时，f (x) = x(1 x)，02)(= xf， 当 x (0 , )时，f (x) = x(1 x)，02)(
6、=0,10,00,1)(xxxxf，=xdttfxF0)()(，则 (A) F(x)在 x = 0 点不连续. (B) F(x)在( , +)内连续，但在 x = 0 点不可导. (C) F(x)在( , +)内可导，且满足)()(xfxF=. (D) F(x)在( , +)内可导，但不一定满足)()(xfxF=. 【答答】 B 【详解详解】当 x 0 时，xdtxFx=01)(， 当 x = 0 时，F(0) = 0. 即 F(x) = |x|， 显然，F(x)在( , +)内连续，但在 x = 0 点不可导. 故选(B). (11) 设)(xf 在a , b上连续，且0)(, 0)(bfa
7、f，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0bax ，使得)(0xf f (a). (B) 至少存在一点),(0bax ，使得)(0xf f (b). (C) 至少存在一点),(0bax ，使得0)(0= xf. (D) 至少存在一点),(0bax ，使得)(0xf= 0. 【答答】 D 【详解详解】首先，由已知)(xf 在a , b上连续，且0)(, 0)(bfaf，则由介值定理， 至少存在一点),(0bax ，使得0)(0= xf； 另外，0)()(lim)(= +axafxfaf ax， 由极限的保号性，至少存在一点),(0bax 使得0)()(00 axafxf，即)()(0
8、afxf. 同理，至少存在一点),(0bax 使得)()(0bfxf. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). (12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必须 (A) 当)0(|=aaA时, aB = |. (B) 当)0(|=aaA时, aB= |. (C) 当0|A时, 0|=B. (D) 当0|=A时, 0|=B. 【答答】 D 【详解详解】 因为当0|=A时, nAr, 若xXP=. 故正确答案为(B). (14) 设随机变量nXXX,21?) 1(n独立同分布，且方差02令随机变量 =niiXnY11， 则 (A) 2 12)(nnYXD+=+ (B) 2 12)(nnYXD+=
9、 (C) nYXCov21),(= (D) 2 1),(YXCov= 【答答】 C 【详解详解】 由于随机变量nXXX,21?) 1( n独立同分布, 于是可得 ),(1)1,(),(11 111 =niiniiXXCovnXnXCovYXCov ),(1),(111 11XXCovnXXCovnnii= =2 11)(1nXDn=. 故正确答案为(C). 三、解答题三、解答题 (15) (本题满分 8 分) 求)cos sin1(lim2220xx xx . 【详解详解】xxxxx xx xxx2222202220sincossinlim)cos sin1(lim= =30422044sin
10、212 lim2sin41limxxxxxxxx =. 34 6)4(21lim64cos1lim22020= xxxxxx. (16) (本题满分 8 分) 求+Ddyyx)(22，其中 D 是由圆422=+yx和1) 1(22=+yx所围成的 平面区域(如图). 【详解详解】 令1) 1( | ),(,4| ),(22 222 1+=+=yxyxDyxyxD， 由对称性，0= Dyd. +=+21222222DDDdyxdyxdyx =cos20223220220drrddrrd. )23(916 932 316=所以，)23(916)(22=+Ddyyx. (17) (本题满分 8 分)
11、 设 f (u , v)具有连续偏导数，且满足uvvufvufvu=+),(),(. 求),()(2xxfexyx=所满足的一阶微分方程，并求其通解. 【详解详解】 2222( , )( , )( , )xxx uvyef x xefx xefx x= +， 222xyx e= + 因此，所求的一阶微分方程为xexyy222=+. yDOx解得 xdxxdxeCxCdxeexey232222)31()(+=+=(C 为任意常数). (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性dE(dE
12、0)； (II) 推导)1 (dEQdPdR=(其中 R 为收益)，并用弹性dE说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【详解详解】(I) PP dPdQ QPEd=20. (II) 由 R = PQ，得 )1 ()1 (dEQdPdQ QPQdPdQPQdPdR=+=+=. 又由120=PPEd，得 P = 10. 当 10 1，于是0=0,0,)(22xexexFxx ，S 表示夹在 x 轴与曲线 y = F(x)之间的面积. 对任何 t 0， )(1tS表示矩形t x t，0 y F(t)的面积. 求 (I) S(t) = S )(1tS的表达式； (II) S(t)的最小
13、值. 【详解详解】(I) 12 02 02=+xxedxeS， ttetS2 12)(=， 因此ttetS221)(=，t (0 , +). (II) 由于tettS2)21 (2)(=， 故 S(t)的唯一驻点为21=t， 又tettS2)1 (8)(= ，04)21(= eS， 所以，eS11)21(=为极小值，它也是最小值. (20) (本题满分 13 分) 设线性方程组 =+=+=+, 14)4()2(3, 022, 0432143214321xxxxxxxxxxxx已知T) 1, 1 , 1, 1 (是该方程组的一个解，试求 () 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； () 该方程组满足32xx =的全部解 【详解】 【详解】 将T) 1, 1 , 1, 1 (代入方程组，得 =对方程组的增广矩阵A施以初等行变换, 得 +=1212) 12(2001131012011422302112011A， () 当21时，有 21 2110021 2101001001A， 43)()(+YXP 【详解】【详解】 () X的概率密度为 +=+xx YXdyxdxdxdyyxfYXP 112111),(1 2ln1)12(121=dxx
