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1、1(1 points) 15 阶循环群. G=是 15 阶循环群. (1)求出 G 的所有生成元. (2)求出 G 的所有子群 解： （1）生成元: a,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14 （2）子群: , =e,a3,a6,a9,a12, =e,a5,a10, G 2(1 points) 置换群 设 , 是 5 元置换，且 =(1234521453), =(1234534512) (1)计算 ,1,1,1; (2)将 ,1,1 表成 不交的轮换之积； (3)将(2)中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。 解： （1） （2） （3） 为奇置换,-1 ,-1为偶
2、置换。 3(1 points) 循环群是阿贝尔群 证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定是循环群，并证明你的结论 4(1 points) 非 Abel 群 设 G 为非 Abel群，证明 G 中存在非单位元 a 和 b,a 不等于 b，且 ab=ba。 证 G 中必含 3 阶或 3 阶以上的元素。假设 G 中只有 1 阶或 2 阶元,那么 G 中任意元素 a 都有 a2=e. 根据第 7 题的结果,G 为 Abel 群,与已知矛盾。设 a 为 G 中元素,且|a|2,那么 aa-1,令 b=a-1,则有 ab=ba. 5(1 points) 正规子群 设 G 为群， a 为 G 中的给定元素， a 的正规化子 N(a)表示 G 中与 a 可交换的元素构成的集合， 即 N(a)=x|x Gxa=ax,证明 N(a)为 G 的子群 证明：证明：ea=ae,)(aNe yaayxaaxaNyx,),(,则 axyyaxayxyxayaxxya)()()()()()(,所以)(aNxy 由xaax ，得111111,eaxaexxaxxaxxx，即11 axax，所以)(1aNx所以 N（a）构成 G 的子群
