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1、 2012 年高考福建理科数学- 1 - 2012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 福建理科数学福建理科数学 参考公式：参考公式： 样本数据12,nx xx?的标准差 锥体体积公式 222 121()()() nsxxxxxxn=+? 1 3VSh= 其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 VSh= 2344,3SR VR= 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第卷第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
2、求的 1若复数z满足1zii= ，则z等于： A1 i B1 i C1 i + D1 i+ 【答案】A 【解析】1zii= ，(1)()1ziii= . 【点评】本题考查复数的四则运算，意在考查复数的概念 2等差数列na中，1510aa+=，47a=，则数列na的公差为： A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】153210aaa+=，35a=，所以432daa= 【点评】本题考查等差数列的中项公式，定义 3下列命题中，真命题是： A 0 0,0xxR e B2, 2xxRx C0ab+=的充要条件是1a b= D1,1ab是1ab 的充分条件 【答案】D 【解析】xR ，0xe ，所以
3、A 错；当2x =时，22xx=，因此 B 错；0ab+=中b可取0， 而1a b= 中b不可取0，因此，两者不等价，所以 C 错 【点评】了解全称命题和特称命题的辨证关系，要证明全称命题正确，要进行严谨的全面证明；而要证明其错误，只要举一反例即可；相应地，要证明特称命题正确，只要举一例即可，而证明其不对，要证明所有对象都在所给属性的对立面；同时要注意充分条件和必要条伯的判断方法 4一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是： A球 B三棱柱 C正方形 D圆柱 2012 年高考福建理科数学- 2 - 【答案】D 【解析】圆柱的三视图，分别矩形，矩形，圆，不可能三个视图都一
4、样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形. 【点评】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力. 5下列不等式一定成立的是： A21lg()lg(0)4xx x+ B1sin2(,)sinxxkkZx+ C212|()xxxR+ D211()1xRx+【答案】C 【解析】2211lg()lg(2)lg44xxx+=，当且仅当21 4x =时，即1 2x =，因此，A 错；当sin0x ，设( )(21) (1)f xxx=，且关于x的方程为( )()f xm mR=，恰有三个互不相等的实数根123,x x x，则123x x x
5、的取值范围是_ 【答案】13(,0)16【解析】当当0x 时，(21)(1)xx， 则22( )(21) (1)(21)(21)(1)2f xxxxxxxx= 当0x ，(21)(1)xx， 则22( )(21) (1)(1)(21)(1)f xxxxxxxx= + 画图，可知当1(0, )4m时， ( )()f xm mR=恰有三个互不相等的实数根123123()xxx xxx 02x 轿车数量 (辆) 2 3 45 5 45 每辆利润 (万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： () 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； ()
6、 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为1X，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X，分别求1X，2X的分布列； () 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经 济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由 【解析】()设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则 ( )231.5010P A+= ()依题意得1X的分布列为 1X 1 2 3 P 1 253 509 102X的分布列为 2X 1.8 2.9 P 1 109 10()由()得()11391232.86255010E X= + + =(万元)， ()2191
7、.82.92.791010E X=+=（万元）. 因为()()12E XE X，所以应生产甲品牌轿车. 【点评】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想. 17(本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数 (1)22sin 13cos 17sin13 cos17+ (2) 22sin 15cos 15sin15 cos15+ (3) 22sin 18cos 12sin18 cos12+ (4) ()()22sin18cos 48sin18cos48+ (5) ()
8、()22sin25cos 55sin25cos55+ （）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 【解析】（）选择(2) 式，计算如下： 2012 年高考福建理科数学- 7 - 2213sin 15cos 15sin15 cos151sin30.24+= = （）三角恒等式()()223sincos30sincos 30.4+= ()()()()22222222sincos30sincos 30sincos30 cossin30 sinsincos30 cossin30 sin33131sincossincossins
9、incossin42422 3.4+=+=+=【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系、 两角和与差的三角函数公式、 二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查特殊与一般思想，化归与转化思想. 18(本小题满分 13 分) 如图，在长方体1111ABCDABC D中11AAAD=，E为CD中点 () 求证：11B EAD； () 在棱1AA上是否存在一点P，使得DP?平面1B AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由； () 若二面角11AB EA的大小为30，求AB的长 【答案】 【解析】 ()以A为原点，1,AB AD AA? ? ? ? 的方向分别为
10、, ,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系. 设ABa=，则 ()()()()110,0,0 ,0,1,0 ,0,1,1 ,1,0 ,0,1 ,2aADDEABA故 ()10,1,1AD=? ? ，1,1, 1 ,2aB E= ?()1,0,1ABa=? ，,1,02aAE=? ? . 因为()110,1,1,1, 102aAD B E= =? ? ? ， 所以11.B EAD A BCDD1C1B1A1E2012 年高考福建理科数学- 8 - ()假设在棱1AA上存在一点()00,0,Pz，使得DP ?平面1B AE，此时()00, 1,DPz=? ?. 又设平面1B AE的法向量(),
11、,nx y z=? ，由1,nAB nAE? ? ? 得002axzaxy+=+=， 取1x =，得平面1B AE的一个法向量1,2ana=? ， 要使DP?平面1B AE，只要nDP? ? ，有0010,.22aazz= 又DP平面1B AE,所以存在点P，满足DP?平面1B AE，此时1.2AP= ()连结11,AD BC,由长方体1111ABCDABC D及11AAAD=得11ADAD. 因为11B CAD?,所以11ADBC. 由()知11B EAD，且1AD? ? 是平面11AB E的一个法向量，此时()10,1,1AD=? ? . 设1AD? ? 与1,2ana=? 所成的角为，则
12、 2 22cos.2 14aan ADnADaa= +? ? 因为二面角11AB EA的大小为30， 所以coscos30 ,= 即 23 32,2.252 14aa a=+所以AB的长为2. 【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. 19(本小题满分 13 分) 如图，椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左焦点为1F，右焦点为2F，离心率1 2e=过1F的直线交椭圆于,A B两点，且 2ABF的周长为8 () 求椭圆E的方程 () 设动直线l：ykxm=+与
13、椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线4x =相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在， 说明理由 【答案】 A BOxyF2F12012 年高考福建理科数学- 9 - 【解析】()由椭圆的定义可知2ABF的周长为4a，所以2.a = 1,1.2ceca= 2224 13,bac= = 所以椭圆E的方程为22 1.43xy+= ()由22 143ykxmxy=+=得()2224384120.kxkmxm+= 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点()00,P xy，所以0m 且0. = ()()()22284 434120,km
14、km+=化简得22430.km+= 此时0244 43kmkxkm= = +，003ykxmm=+=，所以43,kPm m. 由4ykxm x=+ =得()4,4Qkm+. 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上. 设()1,0M x，则0MP MQ=? ? ? 对满足22430km+=的,m k恒成立. 因为()1143,4,4,kMPxMQxkmmm= =+? ?所以()1143,4,40,kMP MQxxkmmm= +=? ? ?21 1141612430,kxkkxxmmm+= 整理得()2 11144430.kxxxm+= 由于上式对满足22430km+=的,m k恒成立， 所以1 2 11440 430x xx= +=，解得11.x= 故存在定点()1,0M，使得以PQ为直径的圆恒过点M. 【点评】本小题主要考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考
