《2009年中考数学试题分类解析(九)——相似和解直角三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2009年中考数学试题分类解析(九)——相似和解直角三角形（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 相似和解直角三角形是图形变换中的 一个重要内容，它与 “ 图形与证明”中的 相交线、全等关系等有着密切的联系，是 中考中的一个重要内容 一 、内容与考查要求 在 全 日制义务教育数学课程标准 ( 实验稿) ( 以下简称 标准 )之 “ 空间 与图形”部分的 “ 图形与变换”中对 “ 图 形的相似”提出了如下要求 ( 1 )了解 比例 的基本性质 、线段的 比、成比例线段；通过建筑、艺术上的实 例了解黄金分割 ( 2 ) 通过具体实例认识图形的相似 探索相似图形的性质，知道相似多边形对 应角相等、对应边成比例、面积的比等于 对应边比的平方 表 1 ： 标 对 “ 图形的相似”的要求 薛红霞 (
2、 山西省教育科学研究院) ( 3 ) 了解两个三角形相似的概念，探 索两个三角形相似的条件 ( 4 ) 了解图形的位似，能够利用位似 将一个图形放大或缩小 ( 5 ) 通过典型实例观察和认识现实生活 中物体的相似，利用图形的相似解决一些 实际问题 ( 如利用相似测量旗杆的高度) ( 6 ) 通过实例认识锐角三角函数 ( s i n A， C O S A，t a n A )，知道 3 0 。 ，4 5 。 ，6 0 。 角的 三角函数值；会使用计算器由已知锐角求 它的三角函数值，由已知三角函数值求它 对应的锐角 ( 7 ) 运用三角函数解决与直角三角形 有关的简单实际问题 上述要求可直观地用表
3、1 呈现需要 说明的是，由于 际 在内容标准中使 用了较多的动词描述知识相对应的学习水 平，读起来容易混淆，因此根据相关资料 对 “ 课程 目标的术语解释” ，将相同水平 的动词用大家熟悉的 “ 了解” 、“ 理解” 、 “ 掌握” 、“ 运用”4个水平进行描述 ，于 是形成了表 l中第 4列的 “ 学习水平” 各术语的含义如下： 了解：从具体事例中知道或举例说明 对象的有关特征；根据对象的特征，从具 体情境中辨认或者举例说明对象 理解：描述对象的特征和由来，阐述 此对象与相关对象之间的区别和联系 掌握：在理解的基础上，把对象用于 新的情境 运用：综合使用已掌握的对象，选择 或创造适当的方法解
4、决问题 序号 内容 准的要求 学习水平 l 比例 的基本性质 、线段 的比、成比例 的线段 了解 了解 2 黄金分割 了解 了解 3 图形的相似 通过具体实例认识 了解 4 相似多边形的性质 知道 了解 5 相似三角形的判定定理 探索 运用 6 图形的位似 了解 了解 7 位似的作用 能够利用 理解 8 利用图形的相似解决一些简单的实际问题 会 理解 9 锐角三角函数 ( s i n A，C O S A， t a n A ) 通过实例认识 了解 1 0 3 O 。 ，4 5 。 ，6 O 。 角的三角函数值 知道 了解 l 1 使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐
5、角 会 理解 1 2 用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 运用 运用 与大纲相比， 准降低了对相似 的要求 ，尤其是其在证 明方 面的要求 ， 但是提高了对相似的应用的要求 ，例如， 要求学生通过学习能达到理解 “ 利用图 形的相似解决一些简单的实际问题”的 目标 ，达到掌握 “ 解决与直角三角形有 关的简单实际问题”的 目标 ；而且从一 般图形出发研究三角形 的相似 ，甚至将 三角形相似的性质包含在一般图形性质 的研究中，没有单独提 出，这使得学习 的背景延伸 ，虽然 “ 图形 的相似 ”和 “ 图形的位似”都是了解水平，但是这种 变化给了学习者 、命题者一个更广 阔的 背景；
6、此外还增加了位似变换，这些都 是应该引起注意的 二、2 0 0 9年中考数学试题中本专题 所考查的知识情况分析 通过对部分地区中考试卷中关于 “ 图 形的相似”的考查情况进行统计可以得到 表 2和表 3 需要说明的是 ，表 2和表 3 中的考点编号与表 1 中的序号相对应 7 6 2 0 1 0 年 第1 2 期： 年国 数 孚敦育 表 2 ：2 0 0 9年部分地 区对 “ 图形的相似”的考查情况 分值所占总分 卷别 题号 题型 相似和解直角三角形考点 相关的其他考点 比例 ， 河北卷 8 ，2 0，2 6 选择题 ，解答题 8 3 3 4，5 ，1 2 圆，梯形 ，二次函数 辽宁 铁岭卷
7、2 2 ，2 3 解答题 1 l - 3 3 4，5 ，1 2 圆 吉林卷 2 2 ， 2 3 ，2 6 ，2 8 解答题 2 0 8 3 4 ，5 ， 9 ，l O ，1 2 三角形的面积，二次函数 代数式，其他直边形的证明， 黑龙江 哈尔滨卷 1 4，1 9 ，2 3 ，2 7 ，2 8 填空题 ，解答题 1 1 6 7 l ，4 ，5 ，9 ，1 2 一次函数，相似，锐角三角函数 安徽卷 1 3 1 8 2 2 填空题 ，解答题 1 6 6 7 4 ，5 ，7 ，1 2 安徽 芜湖卷 4 ， 6 ， 7 ，1 8 ，2 3 选择题，解答题 1 5 0 0 4 ， 5 ，6 ，9 ，1 2
8、 反比例函数，一元二次方程，圆 福建 福州卷 2 0 解答题 4 0 0 9 直线平行，勾股定理 菱形 ，二次函数 ，勾股定 福建漳州卷 5 ，l 6 ，2 6 选择题 ，填空题 ，解答题 9 -3 3 4 ，5 ，9 理，矩形 江西卷 2 3 解答题 7 5 0 8 课题学 习 圆 ，一次函数 ，反 比例 函 湖北武汉卷 l 0 ，1 6 ，2 2 ，2 4 选择题 ，填 空题 ，解答题 1 6 6 7 4 ，5 ，9 数，其他直边形的证明 湖北 荆门卷 2 3 解答题 2 5 O 4 ，5 圆 湖南 长沙卷 1 9 ，2 4 ，2 6 解答题 l 1 6 7 4 ，5 ，1 2 圆，直线与
9、圆相切，二次函数 圆 ，二次 函数 ，直 角梯形 、 湖南怀化卷 4 ，2 0 ，2 4 ，2 5 ，2 6 选择题 ， 填空题，解答题 1 5 0 0 1 ，4 ，5 ，1 2 等腰三角形等 广东卷 1 5 ，2 2 解答题 1 2 5 0 4 ，5 ，1 2 正方形 ，梯形 ，二次 函数 梯形，以二次函数为背景 ， 广东梅卅l 卷 l 9 ，2 1 ，2 2 解答题 1 0 8 3 4 ，5 与四边 形等综合，圆 广西 桂林卷 2 2 ，2 3 ，2 5 ，2 6 解答题，综合题 1 3 3 3 1 ，4 ，5 ，1 2 圆，二次函数 海南卷 2 ，6 ，2 3 选择题，解答题 8 1 8
10、 1 ，4 ，9 ，1 0 三角形全等，四边形等 甘肃 兰州卷 1 O ，1 2 ，1 6 ，2 0 ，2 9 选择题，填空题，解答题 1 2 6 7 4 ，5 ，8 ，9 ，1 2 二次函数，全等 甘肃 庆阳卷 8 ，1 9 ，2 7 ，2 8 选择题 ，填空题 ，解答题 I 8 o 0 4 ，5 ，7 正方形 ，圆 新疆 乌鲁木齐卷 9 ，1 3 ，1 8 ，2 0 填空题，解答题 1 6 0 0 l ，4 ，5 ，8 ，1 2 圆 综合表 2可得统计表 3 ，对考点等信息进行进一步分析 表 3 ：2 0 0 9年部分地区对 “ 图形的相似”的考查情况考点分布表 分值所占总分比例 考查方式
11、 ( ( 题目个数 题 目总数 ) X 1 0 0 ) 项目 最小 最大 单独考查 与其他知识综合考查 数值 2 5 0 2 0 8 3 4 0 0 0 6 0 0 o 考点 项 目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 l l l 2 考查次数 次 5 0 O 3 3 2 7 1 2 3 9 2 0 l l 2 表 3中的考点分布是对总体分布的一 个估计，并不能完全代表所有省市的考点 分布，但是体现了中考对这部分内容考查 的规律其中有些知识点在上述省市的试 卷中没有出现 ，但是并不代表这些内容没 有考查 ，如知识点 l 1 等，在后面的亮点 分析中可以见到相应的试题由上述数据 还可
12、以看出，不同省市对这部分内容的考 查就内容而言差别较大，因此不同省市的 教师引导学生备考时要注意学习本省市的 考试说明 三、亮点扫描 与近几年各地的中考试卷相比，2 0 0 9 年各地中考数学试卷中对相似和解直角三 角形的考查总体上呈现出紧扣 标准、 考查基础、注重联系、学以致用等特点， 其中的亮点阐释如下 1 紧扣 际准 ，考查基本知识、基 本技能和基本数学思想方法 例 1 ( 山东 济宁卷)如图 1 ，在长 为 8 c m、宽为4 c m的矩形中，截去一个矩 形，使得留下的矩形 ( 图中阴影部分)与原 矩形相似 ，则留下矩形的面积是 ( ) 图 t ( A)2 c m ( B)4 c m
13、( C)8 c m ( D)1 6 c m 简解：根据相似多边形的性质以及原 矩形边长的关系，可以设出阴影矩形的边 长分别为 ，2 x ，于是可得 2 x=4 ， ：2 ， 所以阴影矩形的面积是 24=8 ( e m ) 因 此选择选项 C 【 评析】 此题的特点在于从图形的相 似性出发考查相似的基本知识，而不是局 限在相似三角形，体现 了 标准 的要 求，有益于促进教学时将相似知识的产生 和应用范围扩大，关注 一般的相似 ，体现 数学学习的意义所在 例 2 ( 山东 滨州卷)如图 2所示 ， 给出下列条件： 曰= A C D； L AD C=L AC B ； = ； A C= A D。 A
14、B A B C 图 2 两 j 7 7 其 中能够单独判定AA B C A C D 的个 数为( ) ( A)1 ( B)2 ( C )3 ( D)4 简解 ：根据三角形相似的判定定理解 答 选择选项 C 【 评析】 此题的特点是在一个三角形 中通过分割得到 3个三角形，依托这些三 角形本身具有的边角关系考查了三角形相 似的判定，学生要通过旋转或者翻折将静 态的图形转化为定理的基本图形，对应求 解，考查了模型 ( 基本定理及其对应的图 形)的思想，避免了 机械的记忆，又将对 学生空间观念的考查融合在其中 例 3 ( 内 蒙 古 包 头卷 ) 已知 在 R t AB C A 中 ， C=9 0
15、。 ，s i n A= ，则 ) t a n B的值为( ) ( A) ( B ) j ) ( c ) ( D ) 简解：根据锐角三角函数的定义及已 知条件构建出相应的直角三角形，画出图 形，求出一组边长值，如 3 ，4 ，5 ， 再根 据定义求出t a nB 选择选项 A 【 评析】 此题考查 了模型的思想和数 形结合的思想这是求解此题比较简捷的 一种思路，如果引导学生用同角三角函数 关系求解那就超越了 衔 准 的要求利 用模型的思想，首先要将定义中用到的基 本 图形画出来 ，之后利用勾股定理求 出直 角三角形三边长度的一组值，再结合 图 形，根据定义求解此题充分挖掘了定义 和相应的基本技能的关系，这正是数学教 育心理学和 准所要求的 2 与其他知识有机结合，考查综合 应用知识解决问题的能力 例 4( 广东 广州卷) 已知圆锥 的底 面半径为 5 c m，侧面积为 6 5 w c m ，设圆 锥的母线与高的夹角为 0( 如图3所示) ， 则 s i n 0 的值
