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1、中考专题复习三 几何综合题复习北京师范大学附属实验中学数学组（ ） 张雁解决几何综合题， 需要厚积而薄发， 所谓 的“ 几何感觉” ， 是建立在足够的知识和能力积累的基础上的， 熟悉基本图形及常用的辅助线， 在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型， 找到“ 新” 问题与“ 旧” 模型间的关联， 明确探究方向， 才能进一步综合应用数学知识来解决问题， 所以在几何综合题复习中注重对基本图形及常用辅助线的积累是非常必要的解决几何综合题， 重点在思路， 对于较复杂的题目， 要根据题目条件结合图形分解出基本条件和图形， 将新题目与已有经验建立联系从而找到思路， 形成思路流程后， 就可以把握题目的脉络，
2、 在做完题之后， 要注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法， 将题目归类整理， 对于典型的题目， 可以解析题目条件， 通过拓展题目条件或改变条件， 形成题目的变式， 从而对于题目及相应方法有更深入的理解一、 几何综合题的主要类型有：直线形综合题中考直线形问题一般是考查逻辑证明、 考查线段与角度的计算以及对综合能力的考查，复习时要注意巩固基本概念、 定理、 图形、 辅助线、 结论 要能从复杂图形中分解出基本图形图形变换型综合题图形变换是通过平移、 轴对称、 旋转变换达到复杂图形简单化、 一般图形特殊化、 分散条件集中化的目的 从图形变换的角度思考问题， 可以整体把握图形的性质， 特别
3、是可以帮助我们从更高的层次理解平行线、 截长补短、倍长中线等常用辅助线的作用， 使问题解决更加简洁明确， 当图形运动变化的时候， 从运动变换的角度更容易发现不变量和特殊图形图形变换在考试中的呈现方式：显性： 题目以图形变换的语言叙述或图形本身具有变换的特征隐性： 在解决动手操作问题或几何计算证明题时， 利用图形变换的观点分析和思考问题， 并能适当添加辅助线构造所需图形解决问题图形操作型综合题 中考对图形操作型问题的考查往往与三角形全等、 相似和四边形性质等一起综合考查， 除了需要运用各种基本的图形变换（ 轴对称、 平移、 旋转） 外， 还需要综合运用数学知识对图形进行分析、 计算、 证明， 是
4、考察综合能力的一类题图形操作题一般可分为作图、 图形的折叠、 图形的分割与拼接等类型进行图形操作题专题训练时， 应立足于以下几点：要先对与操作类问题密切相关的已学 基础知识、 基本方法、 基本题型进行归纳总结（ 例如： 基本作图； 利用轴对称解决折叠、 最值问题； 基本图形分割、 正方形的拼接等） ， 这有助于将一些操作类问题抽象为更基本的几何问题， 从而找到突破口或解题思路， 甚至直接将新问题纳入熟悉的解题套路中很多图形操作题都有细致的背景说明 或知识铺垫， 进行例题分析时应注意分析这些提示文字， 学会思考“ 命题人希望通过这些话提示给我们什么？ ” ， “ 这些话与后面的问题有什么关系？
5、” ， 从而迅速完成新知识的构建和迁移要灵活地、 创造性地运用工具、 道具实 现实际操作， 并运用数学方法分析操作现象及其原理 简言之， 将“ 操作” 变成“ 思维”动态几何型综合题动态几何问题主要包括： 动点、 动线及图 网址： 电子邮箱： 专题复习形运动等问题 解决这类问题首先要定界点，其次要明确动点（ 或线、 图形） 运动的路径、 速度、 时间及其关系， 还要结合题目相关条件在点（ 或线、 图形） 运动到某一位置时能得出相应的结论 注意这类问题有些需要进行分类讨论动态几何问题常常集几何、 代数知识于一体， 数形结合， 有较强的综合性， 题目灵活、 多变， 动中有静， 动静结合， 能够在运
6、动变化中发展空间想象能力， 综合分析能力， 是近几年中考命题的热点解决动态几何问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形， 把握图形运动与变化的全过程， 抓住其中的等量关系和变量关系， 并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系； 在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解； 求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时， 通常建立方程模型求解分类讨论型综合题当问题具有不确定性时， 就需要进行分类讨论几何的分类讨论问题往往是关于以下几类的分类：（） 等腰三角形顶角顶点（ 或腰） 的分类； （） 直角三角形直角顶点的分类； （） 相似三角形对应点的分类； （） 圆中关于弧、 位置关
7、系等的分类； （） 已知两点或三点， 增加限制条件后确定平行四边形（ 或特殊梯形） 的分类注意： 分类要考虑周全， 做到不重不漏几何探究型综合题探究性问题涉及的知识非常广泛， 它既能充分地考查基础知识掌握的熟悉程度， 又能较好的考查观察、 分析、 比较、 归纳、 概括及发散思维能力， 题目类型有探究规律、 探究条件、 探究结论等， 复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究， 切实提高分析问题、 解决问题的能力二、 举例例 已知： 如图， 正方形 中， ， 为对角线， 将 绕顶点逆时针旋转（ ） ， 旋转后角的两边分别交 于点、 点， 交 ， 于点、 点， 联结 ， （
8、） 在 的旋转过程中， 的大 小是否改变， 若不变写出它的度数， 若改变， 写出它的变化范围；（） 探究 与 的面积的数量关第， 写出结论并加以证明图思路提示 此题是图形旋转问题， 要在旋转过程中寻找不变的量和结论解 （） 设对角线交于点， 先 证 ， 得 ， 即 ， 又 ， ， ，即 的度数不变；（） 由 （） ， 槡 同理 槡 槡 图如图， 作 于， 槡 槡 图例 在 中， ， 边上的高， 沿图中线段 、 将 剪开， 分成的三块图形恰能拼成正方 形 ， 如 图 所示请你 解 决 如 下 问 题：已 知：如 图 ，在 网址： 电子邮箱： 中， ， 边上的高请你设计两种不同的分割方法， 将 沿
9、分割线剪开后， 所得的三块图形恰能拼成一个正方形， 请在图、 图中， 画出分割线及拼接后的图形图图提示 图中要明确 的面积是，所以拼接后的正方的面积也是， 边长是答案 如图和所示图图图例 如 图，四边形 为矩形， ， 动点从点出发， 以个单位秒的速度沿向终点运动， 同时动点从点出发， 以个单位秒的速度沿 向终点运动当其中一点到达终点时运动结束 过点作 ， 交 于点， 连结 已知动点运动了秒（） 请直接写出的长（ 用含的代数式表示） ；（） 试求 的面积与时间秒的函数关系式， 写出自变量的取值范围， 并求出的最大值；（） 在这个运动过程中， 能否为一个等腰三角形 若能， 求出所有的对应值； 若不
10、能， 请说明理由分析 这是一个动点问题， 而且是两个动点同时运动 解题时首先要审清题， 明确两个点运动的路径、 速度不同， 但时间相同 第（）问可以用相似来解决， 第（） 问显然要对等腰三角形进行分类讨论答案 （） 图（） 如图 ， （） （） （）当时，最大值 （） 为等腰三角形， 有三种情况：若 ， 则 由 得，若， 由 ， 得（）（）（） （ 舍）若 ， 可得 ， 三、 复习建议对于几何综合题的复习， 要通过练习和总结， 来提高分析问题、 解决问题的能力， 适宜“ 以点带面” 、 “ 以问题带方法” 的方法即在分析理解典型的基础上， 将题目归纳， 提炼方法， 也可将问题适当进行变化、 类比， 力求进一步提高解题能力；可以将一道综合题拆分成若干个小问题， 将一个复杂图形拆分成若干个基本图形，这样做， 一方面可以提高分析问题的能力， 另一方面也可以掌握解综合题的方法；要重视轴对称、 平移和旋转变换在综合题中的应用；针对各类型综合题， 重点要掌握分析和解决这类问题的通用的、 简单易行的方法（ 责审 刘晓玫） 网址： 电子邮箱：
