《上极限和下极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上极限和下极限（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页*3 上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过一、上(下)极限的基本概念程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具.极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下二、上(下)极限的基本性质返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页一、上(下)极限的基本概念注注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于点集的聚点与数列的聚点之
2、间的区别在于: 定义定义1 若数列若数列nx满足满足: 在数在数0x的任何一个邻域内均含有中的的任何一个邻域内均含有中的无限多项无限多项, 则称则称 x0 是数列是数列nxnx常数列常数列()naa 只有一个聚点只有一个聚点: a . 的一个聚点的一个聚点. 限多个项限多个项”. 现举例如下现举例如下: 前者要求前者要求 “含有无限多个点含有无限多个点”, 后者要求后者要求 “含有无含有无返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页定理定理7.4 有界数列至少存在一个聚点有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大但作为数列来说并且有最大但作为数列来说, 它却有两个聚点它
3、却有两个聚点:11. 和和有五个聚点有五个聚点:1,2 2, 0,2 2, 1. sin4n数列数列0,.knxxk 从数列聚点的定义不难看出从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列的聚是数列的聚nx( 1) n作为点集来说它仅有两个点作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点故没有聚点; 点的一个充要条件是点的一个充要条件是: 存在的一个子列存在的一个子列,knxnx聚点和最小聚点. 聚点和最小聚点. 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页又设又设|,nEx xx是的聚点由于是的聚点由于 E 非空有界非空有界, 故由确界原理故由确界原理, 存在存在sup,inf
4、.AEAE下面证明下面证明A是是 xn 的最大聚点的最大聚点, 亦即亦即.EA证证 设设nx为有界数列为有界数列, 由致密性定理由致密性定理, 存在一个的一个聚点存在一个的一个聚点.0nxx是收敛子列是收敛子列0,(),kknnxxxk 于是首先于是首先, 由上确界的性质由上确界的性质, 存在存在,Ean 使使.Aan返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页, 11 存在存在,1nx使使;1|11 axn,21 2 存在存在221(),nxnn 使使221|;2nxa(,)iiaa nx内含有的无限多项内含有的无限多项. 现依次令现依次令,1 kk 存在存在1(
5、),knkkxnn 使使;1|kaxknk因为因为ia是是nx的聚点, 所以对任意正数在区间的聚点, 所以对任意正数在区间, .返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页这样就得到了这样就得到了 xn 的一个子列满足的一个子列满足:, knxlimlim()lim,kknnkkkkkxxaaA .EA 同理可证同理可证.EA定义定义 2 有界数列有界数列nx的最大聚点的最大聚点A与最小聚点与最小聚点A分别称为分别称为nx的上、下极限的上、下极限, 记为记为lim,lim.nnnnAxAx 即证得即证得,nAx也是的一个聚点 所以也是的一个聚点 所以返回返回返回返回
6、返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页注注由定理由定理 7.4 得知得知, 有界数列必有上、下极限有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列数列若有界但是有界数列数列若有界, 它的极限可以不存在它的极限可以不存在, 此时想通过这样此时想通过这样, 上、下极限的优越性就显现出来了上、下极限的优越性就显现出来了: 一个一个返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页例例1 考
7、察以下两个数列的上、下极限:考察以下两个数列的上、下极限:lim( 1)1,lim( 1)1.11nnnnnn nn 111limlim0 (lim); nnnnnn从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文. 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文. 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页二、二、上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义由上、下极限的定义, 立即得出立即得出:定理定理7.5 对任何有界数列对任何有界数列, nx有下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系有下
8、面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.定理定理7.6有界数列有界数列nx存在极限的充要条件是存在极限的充要条件是:limlim.nnnnxx (1)limlim.nnnnxx (2)返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页limlim.nnnnxx 证证设设lim.nnxA 对于任意正数在对于任意正数在, ( ; )U A 之外只有有限项之外只有有限项. 这样这样, 对任意的若对任意的若,BA nx0( ;)U A 在之外在之外只有有限项只有有限项. 这就是说这就是说, Bnx不是的聚点不是的聚点, 故仅有一个聚点故仅有一个聚点 A, 从而从而nxnx那么
9、在内那么在内( 此时必此时必0|0,2BA 0( ;)U B 取反之取反之, 若上式成立若上式成立, 则的聚点惟一则的聚点惟一 (设为设为 A) , nx返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页一的假设相矛盾.另一聚点, 导致与聚点惟性定理, 这无限多项必有一的假设相矛盾.另一聚点, 导致与聚点惟性定理, 这无限多项必有nx的无限多项. 由致密的无限多项. 由致密0( ;)U A 之外含有使得在之外含有使得在00, 倘若不然,则存在倘若不然,则存在lim.nnxA 此时易证此时易证返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页定理定理7
10、.7设设nx为有界数列为有界数列, 则有则有1limnnxA 的充要条件是的充要条件是: 对于任意的对于任意的, 0 (i) 存在存在 N, 当当 n N 时时, ; Axn(ii),1, 2,.kknnxxAk 存在存在lim2nnxB 的充要条件是的充要条件是: 对于任意的对于任意的0, (i) 存在存在 N, 当当 n N 时时, ; Bxn(ii),1, 2,.kknnxxBk 存在存在证证在形式上是对称的在形式上是对称的, 所以仅证明所以仅证明.12和和1 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页.limAxn n 必要性必要性 设因为设因为 A 是是
11、nx的一个聚点,使得所以存在的一个聚点,使得所以存在, knx(),knxAk 故对于任意的存在故对于任意的存在0, 0,K 当当 k K 时，时，.knAx 将将knx中的前面中的前面 K 项剔除项剔除, 这样就证明了这样就证明了(ii).,)A 上上, 至多只含至多只含nx的有限项的有限项. 不然的话不然的话, 因为因为nxnx有界有界, 故在上故在上,)A 还有聚点还有聚点, 这与这与 A 是最大聚点相矛盾是最大聚点相矛盾. 设这有限项又因设这有限项又因 A 是是nx的最大聚点的最大聚点, 所以对上述在区间所以对上述在区间, 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前
12、页前页前页的最大下标为的最大下标为 N, 那么当那么当 n N 时时,.nxA 充分性充分性任给任给,0 综合综合 (i) 和和 (ii), 在在),( AA上含有上含有 xn 的无限项的无限项, 即即 A 是是 xn 的聚点.而对于任意的的聚点.而对于任意的0,2AAAA 令由于满足 令由于满足02nAAxA 的项至多只有有限个,这说明在的项至多只有有限个,这说明在),(00 AA返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页lim.nnxA 定理定理7.8 (保不等式性保不等式性)设设 xn , yn 均为有界数均为有界数 xn 的有限项的有限项, 故不是故不是
13、xn 的上也至多只有的上也至多只有A 从而有聚点,所以从而有聚点,所以A 是的最大聚点是的最大聚点 .nx.nnxy 列,并且满足: 存在当列,并且满足: 存在当n N0 时,有时,有00,N 则取上则取上(下下)极限后极限后, 原来的不等号方向保持不变原来的不等号方向保持不变:返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页证证 设设lim, lim,nnnnxAyB 因为因为B 是是 yn 的聚点的聚点, 所以存在所以存在, knylim.kknnkyBx 又有界，又有界，特别若则更有特别若则更有,nnaxyb 故存在的一个收敛子列故存在的一个收敛子列,knxkjnxlim.kjnjxA limlim,limlim.nnnnnnnnxyxy (3).limlimbyxannnn (4)返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页.AAB 同理可证关于上极限的不等式同理可证关于上极限的不等式; 而而 (4) 式则可由式则可由,kkjjnnxy 又因又因(1) 与与 (3) 式直接推得式直接推得. nx的最小聚点的最小聚点A 理应满足的聚点, 它与理应满足的聚点, 它与BA nxj A 也是. 由于的极限,便得取也是. 由于的极限,便得取返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前
