高考对函数考查形式转变的几点特色

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1、3 2中学数学教学2 0 0 6 年第6 期), - - 4 - - - 卜 ” 州 卜 州 卜 飞高考对函数考查形式转变的几点特色安徽省屯澳第一中学胡亚华操超群( 邮编: 2 4 5 0 0 0 )孟丫.土了名上丫了 与试 习 复考t 、 . 刊 卜 一 州 卜 . 叫 卜 一卜.函数是高中数学的主干内容， 是初等数学的基础，也是高考考查的重点内容之一 高考对函数的考察常考常新， 尤其在导数介人以后给函数问题开辟 了许多新的解题途径， 拓宽了高考对函数问题的命题空间. 分析近几年各地高考试题， 从中可发现对函数问题的考查， 其形式呈现出几个重要转变特色.1 由考查单一解析式函数转变为考查分段

2、函数分段函数在中学乃至在大学数学专业课中都是一 项十分重要的内容， 它形式特殊， 内涵丰富， 在实际生活中有广泛应用. 从2 0 0 0 年起， 高考试题中分段函数的比重明显增加， 之后分段函数就成为函数命题的一个方向. 2 0 0 6 年各地高考的试题中， 涉及分段函数的有十余道题， 分别考查了分段函数的求值、 解析式、 奇偶性、单调性、 反函数、 最值等方面， 题型多为选择、 填空题.新课标高中数学必修 1 教材中也特别强调加强分段函数的教学及分段函数的简单应用. 因此在平常的教学及复习过程中， 要注意研究分段函数的通性通法， 强化分段函数的基础知识. ( 注: 含有绝对值的函数， 虽然有

3、的在形式上没有表示为分段函数， 但它的性质、 研究方法与分段函数是一致的)那么a的取值范围是()A. ( 0, 1 )C . 冬， 粤、L 1 6 /B . ( 。 ，合 ) D . 令 ， )点评分段函数问题的最基本解题策略: 分段研 究， 综合结论.f ( x ) 在( 一0 0 , - - 00) 上为减函数， 则 f ( x ) 在 ( 一co, 1 ) 和 1 , +二) 上分别为减函数， 即3 a -1 , lo g I ， 解 得 答案为: C .例3 ( 2 0 0 6 浙江 卷) 对a , b E R ， 记m a x I a , b=， “， “ b产W9wll rkx )

4、 =m ax i ix 7- i i. i x 一z i I o , a久 。 ( x任R ) 的最小值是点评本题考查的新定义函数实质上可转化为分段函数和解 绝对值不等式.由 二 十1 I 二 一2 I = ( 二故1-2 妻+1 ) Z ) ( x一2 ) 2 = x了|之11|-一“ (2006 年 安 徽 理 函 数 ， 一 2 x ，二异0一x , ， x0 时， 由得f ( x ) =J ( 二 1 ) =x f ( 1 ) ， 取k = f ( L ) ， 则有f ( x ) =k x当s 0 时， 9 ( 二 ) 二兴 + J ( 二 ) jt . xik x+ 充 r ，g (

5、 x ) =一x 一 1令9 ( 二 ) =0 ， 得二k x 2 = 1 或 二=一1 ; 当x E ( 0 , 1 ) 时， b( 二 ) 09 ( 二 ) 是单调递增函数;所以当x=1 时， 函数g ( x ) 在( 0 , +-) 内取得极小值， 极小值为g ( 1 ) 二点评考查利用抽象函数的周期性求值. 求出周期为 4是关键. 由 f (x + 2 ， 一 志得 f (x + ，1f ( x ) ， 所以f ( 5 ) = f ( 1 ) =-5 ， 则f ( f ( 5 ) )J ( x十2 )= f ( 一5 ) =.f ( 一 1 )1 .f ( 一1 +2 )15 例 (

6、2 0 0 6 安徽理) 已知函数f ( x ) 在R上有定 义， 对任何实数 a 0 和任何实数 x ， 都有 f ( a x ) =o f ( x ) .3由考贾函数解析式转为考查函数图像( 或图表)函数图像是函数的直观体现， 运用函数图像研究 函数性质非常方便. 对函数图像的考查是高考对函数考查的一个常见形式， 具体形式主要有: 知式选图， 知图选式， 图像变换， 图像应用. 在平常的教学中要加强识图读图能力; 熟悉常见基本函数的图像; 解题时能够及时捕捉图形所提供的信息， 以及注意选项所提供的 信息， 综合运用所学的知识， 把直觉思维和理性思维结 合起来， 利用直观性、 特例法、 赋值

7、法、 数形结合等思想方法来解决问题.( I ) 证明f ( 0 ) = “ ， 证 明 (x ， 一0 ;龙 万 , x) 0 ,h x, x。 时 ， 设9 行 ) 一兴 + 、 _，一 、 。， - ， - -， - 一 一f ( x )f ( x ) ( x 0 ) ， 讨论g ( x ) 在( 0 , +-) 内的单调性并求 极值.点评考查函数概念， 导数应用， 函数的单调区间 和极值问题. 其中第( I ) . ( n) 问主要考查抽象函数的赋值法及代数推理能力.证明( I ) 对于任意的a 0 和任何实数二 ， 都有f ( a x ) =a f ( x )令x二。 ， 则f ( 0

8、 ) 二a f ( 0 ) ，因为a 0 ， 所以f ( 0 ) = 0 .示， 则函数f ( x ) 在开区间( a , b ) 内有极小值点)A . 1 个B . 2 个C . 3 个D . 4 个点评考查极值概念， 导数与单调性关系.从单调性角度看， 若为极小值点， 此点附近图像应 左减右增. 在所给f ( x ) 图像中， 极小值点应位于图像与.z 轴的交点上， 而且在这点附近， 其左侧函数值为负，其右侧函数值为正. 答案为A .例 8) 与时间t平均气温为温 ， G ( t ) 与 t( 2 0 0 6 江西) 某地一年的气温t ( 月份) 之间的关系如图所示Q ( t ) ( 单位

9、:， 已知该年的1 0 C， 令 G ( t ) 表示时间段( O , t ) 的平均气之间的函数关系用下列图像表示， 则正确的应该是(点评结合平均数的定义用排除法求解. 选 A .3 4中学数学教学2 0 0 6 年第6 期1 0c :消去， n , n 得( x 一8 ) 2 + ( y + 2 ) 2 =9 .点评由于三次函数的导数是二次函数， 所以， 三 次函数在高考试题中出现的几率是比较高的. 在 2 0 0 6年各地高考试卷中导数有关综合题占有半壁江山.例 1 0 ( 2 0 0 6 全国 1) 已知函数f ( x )=4 由考查低次函数转化为高次函数， 由考查初等函数转化为考查超

10、越函数高考函数试题更加关注知识的整体性和综合性， 常在知识网络的交汇点处命题. 导数进人新课程后， 为 研究函数提供了更有力的工具和更广阔的空间. 导数 可以有效而彻底地解决很多初等数学问题， 如在函数单调性方面、 求函数的极值和最值方面、 与函数图像特征的关系方面. 导数又能有效地衔接起初等数学和高 等数学， 高考对函数的考察重点也随之向用导数研究 函数的问题转移. 在2 0 0 6 年各地的高考试题中， 从导数人手， 将函数与方程、 不等式、 三角、 数列、 解几相结合 的解答题共有 1 4 道. 这些试题的典型特征是所考查函 数的次数多为三次函数及较复杂的超越函数. 因此要求我们在平时的

11、教学中能将导数与函数部分融为一体 进行整合， 构成以求导法为主导手段的新知识体系， 形成更有效的认知结构.例， ( 2 0 0 6 年广东) 设函数1 ( x ) =-x 3 +3 二 十2分别在二 ， 、 ， : 处取得极小值、 极大值. .m y 平面上点A, B的坐标分别为( 二 、 , f ( x l ) ) , ( 二 : , f ( x 2 ) ,) ， 该平面上动 点尸 满 足 献 棘 一4 ， 点6 是 点P 关 于 直 线y =2 ( x 一4 ) 的对称点. ( I ) 求点A, B的坐标;( n) 求动点 Q的轨迹方程.墓本思路由导数与单调性的关系确定极大值、极小值点.

12、从而得出A, B坐标.( I ) 令f “ ( x ) =( 一x 3 +3 x +2 ) = 一3 x 2 + 3 = 。 ， 解得二=1 或x=一1 .当二 。 ， 当x 1 时. 厂( x ) 0 ， 讨论y二J ( x ) 的单调性;( II ) 若对任意x E ( 0 , 1 ) 恒有f ( x ) 1 ， 求a 的取值范围.基本思路先求出函数f ( x ) 的导数， 通过分类讨 论判断导数与。 的大小关系， 可判断函数的单调性.( I ) f ( x ) 的定义域为( 一-, 1 ) U ( 1 , +-) ,f , ( x )a _r 2 十2 一a ( 1 一x ) ,e ,u

13、(U ( 1(I ) 当。 O , f ( 二 ) 在( 一00， 1 ) +co) 上为增函数;II ) 当。 2 时 ， 。 O , f ( x ) 是增函数.当 ， E ( -a一 2aa一 2时， 厂( x ) f ( 0 ) = 1 ， 符合题意.( 、。 ) 当 。 2 时 ，取 了 。 一 合/ ( 二 。 ) 1 a,+ 号 一 C # 、 一 1 12 G_r 2+ - 1域为正整数集( 或它的有限子集 1 , 2 , - . , n ) 上的离散 函数， 因此， 数列与函数有着密切的联系. 用函数思想 去处理数列问题 ， 或将定义域为整数集( 或它的有限子 集 1 , 2

14、, “ , n ) 上的函数问题转化为数列问题来思考， 这也是我们应加强的一种知识的迁移能力.例1 1 ( 2 0 0 6 江苏) 对正整数n ， 设曲线y =x “ ( 1 - 二 ) 在x=2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为“ ， ， 则数列 an + 1 的 前 ” 项 和 的 公 式 是 点评本题考查应用导数求曲线切线的斜率， 数 列通项公式以及等比数列的前n 项和的公式. 注意应用 导数求曲线切线的斜率时， 要首先判定所经过的点为 切点. 否则容易出错.了二n x “ 一( n + 1 ) x “ ， 曲线y =x “ ( 1 -x ) 在.X -题的能力和推理能力.解( I ) 设

15、这二次函数 ( x ) 一二2 十b x ( a 7L0 ) , 则f ( x ) = 2 a x + b ， 由于f ( x ) = 6 二 一2 ， 得“=3 , 6 =一2 ， 所以f ( x ) =3 x 2 一2 x .又因为点( n , S) ( n E N ) 均在函数y = f ( x ) 的 图 像上， 所以S “ =3 矿一2 n .当n 2 时， a “ =S 。 一S 、一 ; 二( 3 n ， 一2 n ) 一 3 ( n 一 1 ) 2 一2 ( n 一1 ) =6 n 一5 .当n =1 时， a , =S , =3 X1 ， 一2 =6 X1 一5 ， 所以，

16、a = 6 n一5 ( n E N“ ) .( II ) 由 ( I ) 得 知。 ， 一一 鱼 一a 以n +13 ( 6 n 一5 兀6 ( n +1 ) 一5 1 ( 12 6 7 - 5 一16 n + 1 )一-艺间得前 o的 -一、12 处的切线的斜率为k一2 “ ) ， 所以切线方程为= n 2 “ - ， 一( n 十1 ) 2 “ ， 切点为( 2 y +2=k ( .r 一2 ) ， 令x故 T n =缸( 一 韵 + ( 专 一 1 T 3 a=( ， +1 ) 2 “ ， 令。 。 = :一刀 十I=2 - . 数列n+ 1:. +( 护 共 一 梦 牛; 、 几 o n一 Z) o n十 1/ n 项和为 2 +2 Z - F 2 3 - 1 - . . . +2 0 =2