教学方程的意义

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1、教学方程的意义，突出概念的内涵与外延 “含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵。 “含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征。在第 1 页的两道例题里，学生陆续写出了等式，也写出了不等式；写出了不含未知数的等式，也写出了含有未知数的等式。这些都为教学方程的意义提供了鲜明的感知材料。 教材首先告诉学生： 像 x+50=150、 2x=200这样含有未知数的等式叫做方程， 让他们理解 x+50=150、2x=200 的共同特点是“含有未知数” ，也是“等式” 。这时，如果让学生对两道例题里写出的 50+50=100、x+50100 和 x+50200 不能称为方程的原因作出合理的解

2、释，那么学生对方程是等式的理解会更深刻。教材接着安排讨论“等式和方程有什么关系” ，并通过“练一练”第 1 题让学生先找出等式，再找出方程，理解等式与方程这两个概念之间的包含与被包含关系。即方程都是等式，但等式不都是方程。这道题里有以 x 为未知数的等式，也有以 y 为未知数的等式，使学生对“未知数”有正确的理解，防止把未知数局限为 x，把方程狭隘地理解为“含有 x 的等式” 。 “练一练”第 2 题要求学生自己写出一些方程并相互交流，让它们在写方程时关注方程的本质属性，从而巩固方程的概念。 在过去的小学数学教材里， 学生是应用四则计算的各部分关系解方程。这样的思路只适宜解比较简单的方程，而且

3、和中学教材不一致。 标准从学生的长远发展和中小学教学的衔接出发，要求小学阶段的学生也要利用等式的性质解方程。因此，本单元安排了关于等式性质的内容，分两段教学： 第一段是等式的两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式；第二段是等式的两边同时乘或除以同一个不等于零的数，结果仍然是等式。在每一段教学等式的性质以后，都及时让学生运用等式的性质解方程。 在现实的情境中教学概念在现实的情境中教学概念 我在教学时先用长 3 厘米、宽 2 厘米的长方形纸片，分别铺边长 6 厘米和 8 厘米的正方形，发现正好铺满边长 6 厘米的正方形，不能正好铺满边长 8 厘米的正方形，并从长方形纸片的长、宽和正方形边长的关

4、系，对铺满和不能铺满的原因作出解释。再想像这张长方形纸片还能正好铺满哪些正方形，从倍数的角度总结规律，为形成新的数学概念积累丰富的感性材料。然后揭示公倍数与最小公倍数的含义，把感性认识提升成理性认识。 我在教学时选择长方形纸片铺正方形的活动教学公倍数，是因为这一活动能吸引学生发现和提出问题，能引导学生思考。学生用同一张长方形纸片铺两个不同的正方形，面对出现的两种结果，会提出“为什么有时正好铺满、有时不能” ， “什么时候正好铺满、什么时候不能”这些有研究价值的问题。他们沿着正方形的边铺长方形纸片，就会想到正好铺满与不能正好铺满的原因可能和边长有关，于是产生进一步研究正方形边长和长方形长、宽之间

5、关系的愿望。 分析正方形的边长和长方形长、宽之间的关系，按学生的认知规律，设计成两个层次： 第一个层次联系 铺的过程与结果，从两个正方形的边长除以长方形的长、宽没有余数和有余数的层面上，体会正好铺满与不能正好铺满的原因。第二个层次根据正好铺满边长 6 厘米的正方形、不能正好铺满边长 8 厘米的正方形的经验，联想还能正好铺满边长是几厘米的正方形。显然，前一层次形象思维的成分较大，思考难度较小，对后一层次的抽象认识有重要的支持作用。 让学生在现实情境中，通过活动领悟公倍数的含义，不仅体现在例题的教学中， 还落实到练习里。 第 23 页 “练一练”在 2 的倍数上画“ ” ，在 5 的倍数上画“”

6、。从数表里的 10、 20、 30 三个数既画了 “ ” 又画了 “” ，体会它们既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，是 2 和 5 的公倍数。练习四第 4、7、8 题都是与公倍数有关的实际问题，让学生通过涂颜色、填表格、圈日期等活动体会公倍数的含义。 认识分数认识分数 分数与除法的关系历来是教学难点。为了有效地突破难点，我在教学时安排两次分饼（纸片）活动，让学生充分体验每人分得的块数是饼的块数分饼的人数，从丰富的感性材料中发现规律。第一次分饼活动，把 3 块饼平均分给 4 个小朋友。在表现场景的图画里，能清楚看到饼的块数比分的人数少，每人分得的饼不满 1 块；在列出的算式里，被除数小于除数，

7、商比 1 小。这些矛盾激起学生动手分一分的愿望。交流两种分法，不仅得出每人分得 34 块的结论，还要在第一种分法中理解 3 个14 块是 34 块，在第二种分法中理解 3 块的 14 是 34 块。这些是分饼活动里的数学问题，是两种分法的本质区别。理解数学问题，能使分饼活动在头脑中留下清楚的印象。第二次分饼，把 3 块饼平均分给 5 个小朋友。这次活动的特点是“想”出每人分得的块数，要在前一次分饼经验的基础上，通过每人分得 3 个 15 块或 3 块的 15 结果。 让学生观察 34=34 和 35=35， 从数学现象里发现规律，用两种形式表达分数与除法的关系。先用语言讲述和用数量关系式表示，

8、在充分的交流中理解新知识。再写成字母组成的等式，并从除数不能是 0，推断分数的分母不能是 0，建立新知识的数学模型。两种表达形式，前一种具体详细，后一种概括简明，可以看成理解分数与除法关系的两个层次。 由于问题不同，两个除法算式的被除数不同。在解答第 5 题时，联系已有的经验学生能直接写出得数。题目要求先填出得数，再根据分数与除法的关系列出算式，是让学生体会求一个数是另一个数的几分之几的问题都能用除法计算。在此基础上，第 53 页第 10 题就提出了列式求出答案的要求。 找规律 得出规律是本单元最关键的教学环节。带着教材里的两个问题逐行观察表格里的数，研究平移次数与每次框的数的个数之间的关系，

9、以及得到不同和的个数与平移次数的关系，找到的共同特点就是这类现象的规律。平移次数与每次框的数的个数的关系，在表格中能看到的是： 它们相加的和都是 10（数表里有 10 个数） 。由此推理，10 减每次框的数的个数等于平移的次数。如果联想平移红框的操作，就能体会这个关系是合理的。如在数表左端框出 3 个数，数表里还剩 7 个数，红框还能向右平移 7 次。发现和的个数与平移次数的关系比较容易，表格里能看到平移的次数加 1 等于得到的和的个数，在几次操作活动中都有这一体会。发现的规律要用自己的语言，顺着填的表格，从左到右概括地讲述。如数表里有 10 个数，减每次框几个数等于平移次数，平移次数加1 得

10、到几个不同的和。 看着表格讲述比较方便， 关系清楚，也有助记忆。 “试一试” 增加了数表里的数 （从 10 个变成 15 个） ，“练一练”把数表换成正方形图案连成的花边。要求利用例题里的规律，说出几个问题的答案，在应用中进一步体会和巩固发现的规律。还要注意的是， “试一试”直接说出可以得到多少个不同的和， “练一练”直接说出有多少种不同的盖法，它们都没有问“平移多少次” 。这是因为平移是解决这些问题的手段，平移次数是解决问题时应该主动思考的中间数量。 例 2 的素材是在墙面上贴瓷砖，每块瓷砖都是大小相同的正方形。 4 块花色瓷砖拼成正方形， 组成一个图案。把这个图案贴在墙面任意一个位置，称为

11、一种贴法。要解决的问题是图案在墙面上一共有多少种贴法？显然，图案在墙面上的位置，可以在同一行左、右移动，还可以在同一列上、下移动，这是例 2 比例 1 复杂的地方。但是，无论图案从左往右移动，还是从上往下移动，计算平移次数的方法与例 1 是一致的。所以，这道例题要以例 1 的规律为基础，构建稍复杂一些的规律。 在现实的情境中教学规范地确定位置的方法 例 1 呈现一幅教室里座位的图画，让学生说说画面里的小军坐在哪里。他们凭自己的感受和经验，在交流中出现了不同的表述，如小军坐在第 4 组第 3 个、小军坐在第 3 排第 4 个甚至会出现有争议的描述。由此产生共同的需要： 怎样正确、简明地说出位置？

12、为教学新知识营造了良好的氛围。 我在接着教学“列” “行”的知识，因为数对是按列与行确定位置的。竖排叫做列，横排叫做行都是规定。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数，都是人们的约定。正是这些规定与约定，人们在确定位置时才有一致的思考和结论，才能避免争议和混乱。因此，教学列、行的知识绝不能含糊。还要通过适当的练习，帮助学生巩固对列、行的认识。并用先说列数、再说行数的方法表示出小军的位置。 然后教学用数对确定位置的方法。 “小军坐在第 4 列第 3 行，可以用数对表示为（4，3） ”这句话表明了三点： 一是“数对”指两个数，即列数与行数。二是在数对中先表示第几列，再表示第几行。这个顺

13、序不能颠倒，它和直角坐标系中确定点的位置，先写出 x 轴上的数量，再写出 y 轴上的数量的次序是一致的，不会和中学里的数学知识发生矛盾。三是用数对确定位置有规定的书写格式，要用括号把列数与行数括起来，并在列数和行数之间写个逗号，把两个数隔开。 “练一练”在例题的情境中进行。以数对知识为重点，设计了“列、行位置数对表示列、行位置”的线索，把例 1 教学的各个知识组成系统的结构。第 1 题先在图中找出第 2 列第 4 行的位置，巩固列与行的知识；再用数对表示第 2 列第 4 行，进一步明确在数对中先写什么、再写什么，巩固数对的知识。第 2 题通过在图中寻找（6，5）的位置，具体解释这个数对的含义，

14、加强对数对的理解，体会它能清楚、简要地表示出物体的位置。例 1 的情境图中，每个学生的座位都可以用数对表示， 确定各个人位置的数对都不相同。 图中有 6 列、 5 行，任何一个列数不超过 6、 行数不超过 5 的数对都有一个学生的座位相对应。 分数的基本性质分数的基本性质 我在教学时分三步引导学生发现分数的基本性质。第一步研究例 2 每个等式中的两个分数，它们的分子、分母是怎样变化的，感受变化是有规律的。在记录变化的方式时，教材写出了乘号或除号，启示学生从分子、分母乘或除以一个数的角度去观察。让学生在括号里填数，体验分子、分母乘或除以的是相同的数，有助于发现规律。对每个等式的研究，既从左往右观

15、察，也从右往左观察，充分利用了素材，从中获得尽量多的感性知识。填写连等式 12=（） （）=（） （）=（） （） ，把 12、24、 48、 816 有序地排列起来， 能从中得到许多感受。 如，12 的分子、分母都乘 2 得到 24，24 的分子、分母都乘 2得到 48，48 的分子、分母乘 2 得到 816，照这样还能写出 1632、3264这些分数的大小都相等。又如，与 12大小相等的分数有无数多个，每个分数的分子、分母除以相同的数都能得到 12。 第二步利用例 2 的经验观察例 1 等式中的三个分数的分子、分母是怎样变化的，体会这些分数相等的原因和例 2 一样。而且分子、分母乘或除以的

16、数，除了 2、4、8，还可以是 3 和其他的数。这样，对分数基本性质的感受就更丰富了。 第三步概括两道例题中分子、分母变化但分数大小不变的规律。在充分交流之后，阅读教材里的叙述，理解“同时”乘或除以“相同”的数这些规范的语言，知道这个规律叫做分数的基本性质。联系除数不能是 0，明白分数的分子、分母同时乘或除以的数不能是 0，使得到的规律更严密。 在得出分数的基本性质后，我还安排了两项活动： 一是根据分数的基本性质写出一组分数，要先任意写一个分数，再把它的分子、分母同时乘或除以相同的数，得到大小不变的分数。写出的一组分数，可以是两个分数，也可以是几个分数。这项活动起巩固分数基本性质的作用，还渗透了通分、约分所需要的思想。 体验策略与方法的多样性体验策略与方法的多样性 我在教学通分时，重点放在通分的含义和方法上。把 34 和 56 改写成分母相同而大小不变的分数，是一个具有挑战性的问题。学生对分数改写成大小不变的另一个分数并不陌生，在学习分数的基本性质的时候，曾经多次进行过这样的改写。把两个分母不同的分数改写成分母相同的分数，是首次遇到的新问题