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1、马继峰的工作室http:/ 1 点子大王评选记（B 版选修） 山东省汶上县圣泽中学 马继峰 该文于 2008 年发表于数学辅导报 为了让同学们全面掌握抛物线问题的解答技巧，数学老师在高二（1）班举行了一次点子大王评选活 动.本次活动由同学们推选出来的四名同学参加，他们谁的点子最好，谁就被评为点子大王.下面就是活动 实况. 李聪的点子李聪的点子：巧用定义 巧用定义 例例 1 （2008 年海南、宁夏高考题）已知点P在抛物线 x y 4 2 = 上，那么点P到点 ) 1 , 2 ( Q 的距离与 点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ） A. ) 1 ,4 1( B. ) 1 ,4
2、 1( C. ) 2 , 1 ( D. ) 2 , 1 ( 点子：点子：本题是求抛物线上的一点到两个定点距离之和的最值问题，用代数法很难求解.可考虑先利用 抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，然后利用几何法求最值. 解解：如图，设抛物线的焦点为F ，准线为l，过P作 l PM ，垂足为M . 由抛物线的定义可得 | | | | PM PF = ， | | | | | | | | PM PQ PF PQ + = + . 过点Q 作 l QM ，垂足为M ，QM 与抛物线交于点P，则该点就是使得 | | | | PM PQ + ，即 | | | | PF PQ + 取得最小值的点. 把
3、1 = y 代入 x y 4 2 = ，得 4 1 = x ，故点P的坐标为 ) 1 ,4 1( .选 A. 评注评注：上述最小值取得的依据是：两点之间线段最短和直线外一点到直线上一点 连线中垂线段最短.其中抛物线的定义把点点距转化为点线距，为求最值作铺垫. 赵明的点子赵明的点子：巧用公式 巧用公式 例例 2 斜率为 2 的直线经过抛物线 x y 4 2 = 的焦点，且与抛物线交于 B A、 两点.则 = | | AB . 点子点子：设抛物线 ) 0 ( 2 2 = p px y 的一条焦点弦为 AB， B A、 两点及 AB中点的坐标分别为 、 ) , ( 1 1 y x ) , ( ) ,
4、 ( 0 0 2 2 y x y x 、 ，直线AB的倾斜角为 ) 90 ( o ，则 2 0 2 1 sin 2 2 | | p p x p x x AB = + = + + = ，当 = 90 时（即当焦点弦和x轴垂直时）焦点弦叫做通径，此时 p AB 2 | | = .这组公式可称为焦点弦长公式.其中前两 个公式可用抛物线的定义推导， 第三个公式的推导过程是： 联立直线AB和抛物线的方程， 将其化为关于x 的一元二次方程，用韦达定理得出 2 1 x x + ，代入公式一结合三角函数知识化简即得.其它形式的抛物线也 有相应的结论，请同学们自己推导.解答本题有两个思路：一是利用第一个公式，一
5、是利用第三个公式. 解法一解法一：抛物线 x y 4 2 = 的焦点 ) 0 , 1 ( ，直线 AB的方程为 ) 1 ( 2 = x y ， 由 = = x y x y 4 ) 1 ( 22 得 0 1 3 2 = + x x ， 3 2 1 = + x x ， 5 2 3 | | 2 1 = + = + + = p x x AB . 解法解法二二：设直线 AB的倾斜角为 ， 直线 AB的斜率为 2， 2 tan = ， 4 tan 2 = 即 4 sin 1 sin cos sin 2 2 2 2 = = ，解得 5 4 sin 2 = ， P F Q x y O P M M l 例 1
6、图马继峰的工作室http:/ 2 5 5 4 4 sin 2 | | 2 = = = p AB . 评注评注：这两种解法都避免了求 B A、 两点的坐标. 孙睿的点子孙睿的点子：巧用点差法 巧用点差法 例例 3 已知直线l与抛物线 y x 8 2 = 交于点 B A, ，线段 AB的中点为 ) 1 , 1 ( ，求直线l的方程. 点子：点子： 设出 B A, 两点的坐标， 把它们代入抛物线方程， 两方程相减， 即可得关于直线l的斜率和线段AB 的中点的一个等式，由此等式可求直线l的斜率，进而求直线方程.这种方法叫做点差法. 解：解： 设 ) , ( ), , ( 2 2 1 1 y x B y
7、 x A ， 代入抛物线方程得 = = 2 2 2 1 2 1 8 8 y x y x ， 两式相减得 ) ( 8 ) )( ( 2 1 2 1 2 1 y y x x x x = + ， 整理得 4 1 8 2 1 2 1 2 1 = + = x x x x y y ，即直线l 的斜率 4 1 = k ，由点斜式得直线l 的方程为 ) 1 (4 1 1 = x y ，即 0 3 4 = + y x . 评注：评注：运用点差法解答本题，避免了联立直线与抛物线方程、运用韦达定理及消参的过程.此法常用 于与曲线的弦的中点及斜率有关的问题. 王智的点子王智的点子：巧用定值结论 巧用定值结论 例例 4
8、 设坐标原点为O ，抛物线 x y 2 2 = 与过焦点的直线l交于 B A、 两点，则 OB OA 等于（ ） 点子：点子：设抛物线 ) 0 ( 2 2 = p px y 的一条焦点弦为AB， B A、 两点的坐标分别为 、 ) , ( 1 1 y x ) , ( 2 2 y x ，则 2 2 1 2 2 1 , 4 p y y p x x = = ，对于抛物线 ) 0 ( 2 2 = p py x 有 4 , 2 2 1 2 2 1 p y y p x x = = .利用此点子解答本题，只 需设出 B A、 两点的坐标，表示出 OB OA 即可求其值. 解解：设 B A、 两点的坐标分别为 、 ) , ( 1 1 y x ) , ( 2 2 y x ，则 1 ,4 1 4 2 2 1 2 2 1 = = = = p y y p x x ， 4 3 1 4 1 2 1 2 1 = = + = y y x x OB OA . 评注评注：本题应用的定值结论，可通过通径这种特殊情况来记忆. 比赛结束后，老师让同学们推选出这场比赛的点子大王.留个悬念，结果在此就不公布了，你猜一下 谁能获此殊荣呢？
