锐角三角函数[1]

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1、 问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井 房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对 坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的 度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准 备多长的水管？这个问题可以归结为，在RtABC中，C90， A30，BC35m，求AB的长.ABC思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情境探究根据“在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜 边的一半”，即ABC在RtABC中，C90，A30，BC 35m，求AB的长.可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的 水管。在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？结论：

2、在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 。ABC50m30mB C 即在直角三角形中，当一个锐角等于45时 ，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的 对边与斜边的比都等于 。如图，任意画一个RtABC， 使C90，A45，计算 A的对边与斜边的比 ，你 能得出什么结论？ABC综上可知，在一个RtABC中，C90，一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？当A30时，A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当A45时，A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.探究ABCABC任意画RtABC和RtA

3、BC，使得CC90，AA ，那么 与 有什么关系你能解释释一下吗吗？由于CC90， AA 所以RtABCRtABC这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与 斜边的比都是一个固定值探究如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对 边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记作sinA， 即例如，当A30时，我们有当A45时，我们有ABCcab对边斜边在图中A的对边记作aB的对边记作bC的对边记作c正 弦 注意 sinA是一个完整的符号，它表示A的正 弦，记号里习惯省去角的符号“”； sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中A的对边与斜边的比； s

4、inA不表示“sin”乘以“A”。例1 如图，在RtABC中，C90，求 sinA和sinB的值ABC34例 题 示 范ABC135(1)(2)试着完成图（2）练习AC35B2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)和B(0，-4)，则sinOAB等于_.3、在RtABC中，C=90，AD是BC边上的中线，AC=2，BC=4，则sinDAC=_.4、在RtABC中, C=90, ,则sinA=_.1、如图，求sinA和sinB的值5、如图，在ABC中， AB=CB=5，sinA= ， 求ABC 的面积。 BAC5528.1锐角三角函数（2）正弦 正切复习与探究： 1.锐角正弦的定义 在 中

5、， A的正弦：2、当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之 确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为 什么？新知探索:1、你能将“其他边之比”用比例的式 子表示出来吗？这样的比有多少？2、当锐角A确定时，A的邻边与斜边的比， A 的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并 说出理由。方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相似三角形的性质来说明。如图，在RtABC中，C90，ABC斜边c对边a邻边b我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦（cosine），记作cosA， 即我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切（tangent），记作tanA， 即rldmm8989889

6、注意 cosA，tanA是一个完整的符号，它表示 A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符 号“”； cosA，tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中A的邻边与斜边的比、对 边与邻边的比； cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表示 “tan”乘以“A”rldmm8989889对于锐角A的每一 个确定的值，sinA有 唯一确定的值与它对 应，所以sinA是A的函 数。同样地， cosA， tanA也是A的函数。锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做A的锐角三 角函数.rldmm8989889ABC6例1 如图，在RtABC中，C90， BC=6， ，求cosA和tanB的值rldm

7、m8989889例2 如图，在RtABC中，C90，BC=2， AB=3，求A，B的正弦、余弦、正切值ABC23延伸：由上面的计算，你能猜想A，B的正弦、余弦值 有什么规律吗？结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的 余弦等于它余角的正弦。rldmm8989889练习 课本P78 练习1，2，3. 补充练习1、在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6 ，求sinB，cosB，tanB.ABCDrldmm8989889补充练习2、如图所示，在ABC中，ACB 90，AC=12，AB=13， BCM=BAC，求sinBAC和 点B到直线MC的距离3、如图所示，CD是RtABC的斜边AB上

8、的高， 求证：28.1锐角三角函数（3）rldmm8989889ABCA的对边aA的邻边b斜边crldmm8989889请同学们拿出 自己的学习工具 一副三角尺，思 考并回答下列问题 ： 1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如 果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边 的长度。306045121145新知探索:30角的三角函数值sin30=cos30=tan30=rldmm8989889cos45=tan45=sin45=新知探索:45角的三角函数值sin60=cos60=tan60=新知探索:60角的三角函数值rldmm898988

9、930、45、60角的正弦值、余弦值和正切值 如下表：锐锐角a三角函数304560sin acos atan arldmm8989889例1 求下列各式的值：（1）cos260sin260（2）rldmm8989889求下列各式的值：rldmm8989889例2 （1）如图，在RtABC中，C 90， ，求A的度数ABCrldmm8989889（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆 锥的底面半径OB的 倍，求 a ABO当A，B为锐角 时，若AB，则 sinAsinB, cosAcosB, tanAtanB.rldmm89898891、在RtABC中，C90， ，求A、B的度数BACrldmm89

10、898892、求适合下列各式的锐角rldmm8989889ABCD4、如图,ABC中,C=900,BD平分ABC,BC=12,BD= ,求A的度数及AD的长.rldmm8989889小结 :我们学习了30, 45, 60这几类 特殊角的三角函数值 rldmm8989889作业 课本P82 第3题 同步练习P51-52（四）（五）28.1锐角三角函数（4）rldmm8989889DABE1.6m20 m42C引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼 。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42（如 图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出 旗杆AB的高度吗？这里的ta

11、n42是多少呢？rldmm8989889前面我们学习了特殊角304560的三角 函数值，一些非特殊角(如175689等)的三 角函数值又怎么求呢？这一节课我们就学习借助计算器来完 成这个任务.rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：（1）我们要用到科学计算器中的 键：sincostan（2）按键顺序如果锐角恰是整数度数时，以“ 求sin18”为例，按键顺序如下： 按键顺键顺 序显显示结结果sin18sin18sin180.309 016 994 sin18= 0.309 016 9940.31rldmm89898891、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：如果锐角的度数

12、是度、分形式时，以“求tan3036” 为例，按键顺序如下： 方法一： 按键顺键顺 序显显示结结果tan3036tan3036tan3036 0.591 398 351 tan3036 = 0.591 398 3510.59方法二： 先转化， 3036 =30.6,后仿照 sin18的求法。如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的 方法一求解。rldmm8989889（3）完成引例中的求解：tan2042 +1.619.608 080 89 AB = 19.608 080 8919.61m即旗杆的高度是19.61m.rldmm8989889练习:使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0

13、.01 ）（1）sin20，cos70；sin35，cos55；sin1532，cos7428；（2）tan38，tan802543；（3）sin15+cos61tan76.rldmm8989889按键键的顺顺序显显示结结果SHIFT20917.30150783 4sin7=已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的 第二功能键“sin Cos，tan”键例如：已知sin 0.2974,求锐角按健顺序为：如果再按“度分秒健”就换算成度分秒 ，即 17o185.43”2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：rldmm8989889例 根据下面的条件，求锐角的大小（精确到1） （1）si

14、n=0.4511；（2）cos=0.7857；（3） tan=1.4036. w按键盘顺序如下:按键键的顺顺序显显示结结果2604851”0.sin115=4SHIFT即 2604851”rldmm8989889驶向胜利 的彼岸练习:1、已知下列锐角三角函数值，用计算 器求其相应的锐角：（1）sinA=0.627 5，sinB=0.054 7；（2）cosA=0.625 2，cosB=0.165 9；（3）tanA=4.842 5，tanB=0.881 6.rldmm89898892、已知tanA=3.1748，利用计算器求 锐角A的度数。(精确到1) 答案:A7252练习:3、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确 到1） （1）sin a=0.2476；（2）cos a=0.4；（3）tan a=0.1890. 答案: (1)1420;(3)1042.(2)6520;rldmm89898894、一段公路弯道呈弧形，测得弯道AB两端的距离为200米，AB 的半径为 1000米，求弯道的长（精确到0.1米)ABOR