《北京大学1996-2009历年数学分析_考研真题试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京大学1996-2009历年数学分析_考研真题试题（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 北京大学北京大学 1997 年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析考试科目：数学分析 一、一、 （10 分）将函数22( )arctan1xf xx=在0x =点展开为幂级数，并指出收敛区间。 二、二、 （10 分）判别广义积分的收敛性： 0ln(1)dpxxx+。 三、三、 （15 分）设( )f x在(), +上有任意阶导数( )( )nfx，且对任意有限闭区间, a b，( )( )nfx在, a b上一致收敛于( )()x n +，求证：( )xxce=，c为常数。 四、四、 （15 分）设0(1,2)nxn=及limnnxa +=，用N语言证明：limnnxa
2、 +=。 五、五、 （15 分）求第二型曲面积分( ddcosd dd d )Sxyzyzxxy+ ，其中S为2221xyz+=的外侧。 六、六、 （20 分）设( , )xf u v=，( , )yg u v=，( , )ww x y=有二阶连续偏导数，满足fg uv=，fg vu= ，22220ww xy+=，证明： （1）2222()()0fgfg uv+=， （2）( , )( ( , ), ( , )w u vw f u v g u v=满足22220ww uv+=。 七、七、 （15 分）计算三重积分2225/2222:2()d ddxyzzxyzxyz+。 北京大学北京大学 19
3、98 年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析考试科目：数学分析 一、一、 （26 分）选一个最确切的答案，填入括号中： 1.设( )f x定义在 , a b上， 若对任意的( , )gR a b， 有( , )f gR a b， 则 （ ） A.( , )fR a b， B.( , )gC a b， C.f可微， D.f可导。 2.设( , )fC a b， 若存在lim( )1 xaf x +=，lim( )2 xbf x =， 则 （ ） A.( )f x在 , a b一致连续， B. ( )f x在 , a b连续， C. ( )f x在( , )a b一致连续，
4、D. ( )f x在( , )a b可微。 3.若反常 （广义） 积分10( )df xx，10( )dg xx都存在， 则反常积分10( ) ( )df x g xx（ ） A.收敛， B.发散， C.不一定收敛， D.一定不收敛。 4.若lim1nnna =，则1n na=（ ） A.发散， B.收敛， C.不一定收敛， D.绝对收敛。 5.设( , )f x y在区域22( , ):1x yxy+ 2.201cotlim() xx xx 3. 011lim2nxxnn +=三、三、 （10 分）求下列积分值： 1.322ddd dd dSxyzx yzxx zxy+，222:0,S zz
5、b xya=+=。 2.11ddCxyyx+，:1,4,C yxyx=逆时针一周。 四、四、 （16 分）解答下列问题： 1.求幂级数1( 1) !nn nnnxne=的收敛半径。 2.求级数02 (1) !nnn n=+的和。 五、五、 （24 分）试证明下列命题： 1.反常积分20sind1pxxx+(0)p 是收敛的。 2.设( , )f x y在22( , ):1Gx yxy=+，则必存在( , )a b，使得( )0f=。 （ ） 3.设( )f x在 , a b上有界，若对任意的0，( )f x在, ab+上可积，则( )f x在 , a b上可积。 （ ） 4.设( )f x，(
6、 )g x在0,1上的暇积分均存在，则乘积( )( )f xg x在0,1上的暇积分必存在。 （ ） 5.设级数1n nb=收敛，若有nnab，(1,2,)n =，则级数1n na=必收敛。 （ ） 二、二、 （40 分）求下列极限值（写出计算过程） ： 1.20tan(1 cos )lim log(1)(1)xxaxbxxe+，22(0)a+ 2.2sinsinsinlim()111 2nnn nnnn +3.120lim(1) dnnxx 4.lim 1nnna +，(0)a 三、三、 （45 分）求解下列命题： 1.求级数023n n nn=之和。 2.设(0,1)fC， 且在(0,1)
7、上可微， 若有7 818( )d(0)f xxf=， 证明： 存在(0,1)，使得( )0f=。 3.证明：级数1arctan( 1)nnn n=收敛。 4.证明：积分 0dxyxey+在(0,)+上不一致收敛。 5.设( , , )uf x y z=，2(, )0yg x ez =，sinyx=，且已知f与g都有一阶连续偏导数，0g z，求d du x。 6.设( )f x在 1,1上二次连续可微，且有 0( )lim0 xf x x=，证明：级数11( )nfn=绝对收敛。 北京大学北京大学 2000 年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析考试科目：数学分析 一、一、
8、计算（8 分5=40 分） 1.求极限20()limxxxaxa x+，0a 。 2.求22x xe到含5x项的Taylor（台劳）展开式。 3.求积分10dlnbaxxxx，其中0ab。 4.求积分222() d ddVxyzxyz+，V是实心球2222,0xyzR+。 5.求积分333ddd dd dSxyzyxzzxy+，S是2222xyza+=的外表面。 二、二、叙述定义（5 分+5 分=10 分） 1.lim( ) xf x = +。 2.当0xa时，( )f x不以A为极限。 三、三、 （13 分）函数( )f x在 , a b上一致连续，又在 , b c上一致连续，abc割下的部
9、分。 六、六、 （10 分）求极限2222222 401lim()d dd t xyztfxyzxyzt + +，其中f在0,1上连续， (0)0,(0)1ff =。 七、七、 （10 分）求常数，使得曲线积分22dd0Lxxrxryyy=22()rxy=+对上半平面的任何光滑闭曲线L成立。 八、八、 （10 分）证明函数11( )x nf xn=在(1,)上无穷次可微。 九、九、 （10 分）求广义积分220arctan()arctan()dbxaxxx，0ba。 十、十、（10 分） 设( )f x是以2为周期的周期函数， 且( ),f xxx=的外侧。 八、八、 （10 分）判断级数11
10、lncosnn=的收敛性并给出证明。 九、九、 （10 分）证明： （1）函数项级数1nxnnxe =在区间(0,)上不一致收敛； （2）函数项级数1nxnnxe =在区间(0,)上可逐项求导。 十、十、 （10 分）设( )f x连续， 0( )()dxg xyf xyy=，求( )gx。 北京大学北京大学 2005 年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题 考试科目：数学分析考试科目：数学分析 一、一、设22sin1( )sinsinxxf xxxx=，试求lim sup( ) xf x +和lim inf( ) xf x +。 二、二、证明下列各题： （1）设( )f x在开区间( ,
11、)a b可微，且( )fx在( , )a b有界，证明( )f x在( , )a b一致连续。 （2）设( )f x在开区间( , )a b()ab 方向向上。 七、七、( , )f x y是2R上的连续函数，试作一无界区域D，使( , )f x y在D上的广义积分收敛。 八、八、sin( )ln(1)pxf xx=+，讨论不同p对( )f x在(1,)+上积分的敛散性。 九、九、记()1( , )n x ynF x ynye+ +=，是否存在0a 以及函数( )h x在(1,1)aa+上可导，且(1)0h=，使得( , ( )0F x h x=。 十、十、设( )f x，( )g x在 ,
12、a b上黎曼可积，证明：( )f x，( )g x的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是( )( ) d0baf xg xx=。 数学分析 2008 1 证明有界闭区间上的连续函数一致连续. 2是否存在(-,+ )上的连续函数 f(x),满足 f(f(x)=e?证明你的结论. 3数列x?(n1)，满足?n?,求证x?无界. 4f(x)是(-1,1)上的无穷次可导函数,f(0)=1,|f(0)|2,令 g(x)=?,|g?0?|2n!.证明对所有正整数 n,|f?0?|(n+1)! 本人注:本题试卷打印有误,最后的 n 阶导数没有加括号(n).这里已改正. 本人注:本题试卷打印有误,最后的 n 阶
13、导数没有加括号(n).这里已改正. 5? ?y ? z?dydz ? ?z ? x?dzdx ? ?x ? y?dxdy:球面x? y? z? 2Rx被圆柱面x? y? 2rx(0，且( )( ( )fxf f x=？ 六、六、已知( )f x是)0,+上的单调连续函数，且lim( )0 xf x =，求证： 0lim( )sind0 nf xnxx+=。 七 、七 、 求 曲 线 积 分()d()d()dLyzxzxyxyz+， 其 中L是 球 面2221xyz+=与 球 面222(1)(1)(1)4xyz+=交成的曲线。 八、八、设, ,0x y z ，xyz+=，求2cos3cos4cosxyz+的最大最小值。 九、九、设( )( , )f xC a b，对任何( , )xC a b都有 0()()lim0 hf xhf xh h+，求证：( )f x在( , )a b上单调不减。 十、十、已知( )f x是)0,+上的正的连续函数，且 01d( )xf x+ +，求证：201lim( )dAAf xxA+= +。
