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1、 错误剖析 谈解题中的方向性失误四川省雅安中学 曹 兵何谓“ 方向性失误” ?学生在解一道题之前, 需先理 解它, 并用已有的知识和经验将头脑中出现的各种思 维纳入同一个具有指向性的思维流程. 具体表现为确 定解题过程要遵循的规则(如谁先谁后等) . 若这种思 维“ 指向” 不对, 我们就可以说解题思路犯了方向性的 失误. 学生在数学考试中出现的诸种失误, 以这种方向 性的失误最为遗憾. 它使学生花费了时间, 耗费了精 力, 自认为计算准确、 推理严密的解题过程, 由于解题 方向不对而得分不多, 甚至得不到分. 近几年的高考分 析表明( 各有关期刊均有数据显示), 数学的失误中以 考生应该会做
2、( 实际上确实在平时会做)却又被考生做 错了的现象较为普遍. 据笔者对考试结果(以本地区高 中数学期末统考分析为主) 的调查统计, 解题方向上的 失误是引起学生“ 会而不对现象” 的主要因素之一. 究 其原因, 是学生对数学基础知识重视不够, 掌握不牢, 对数学基本思想方法领悟不深, 解题受到各种命题信 息干扰时, 容易丧失基本的思辨能力, 使解题过程走错 了路. 若此路行不通, 尚可回过头去, 调整方向, 仍有做 对的可能; 若此路行得“ 通” , 由于从解题过程中难以检 查出方向性的错误, 反而更加危险. 这种危险最容易出 在考试中的基础题上, 所以要引起教师在教学中的注 意. 尽管笔者的
3、分析受到地域的局限, 但因与高考分析 有些许吻合之处, 故也带有一定的普遍性. 下面举例谈 谈方向性失误的几种常见类型, 供教学中参考. 1. 忽视定义的定向作用引发失误 例 1 已知偶函数 f (x )在(1, + )上是增函数, 求证: f (x )在( - , - 1)上是减函数. 错证: 任取 x1, x2(1, + ), 且 x1 -x2, -x1, -x2( - , - 1), 所以f(x) 在 ( - , - 1)上是减函数. 评注: 1)按单调函数定义, 本题证明应任取x1,x2 ( - , - 1), 且x1x2. 上述证法错在取x1,x2( 1, + ), 从而使证明过程和
4、正确证法“ 走向” 相反, 出现 了方向性失误. 2)上述错证与正确证明都要用相同的 手段, 但由于解题方向不同, 得分情况大不相同. 例 2 一条线段 A B(?AB?= 2a) 的两个端点 A 和 B分别在x轴和y轴上滑动, 求线段中点M的轨迹方 程. 错解: 设 A 点坐标为(x , 0), B 点坐标为(0, y ), 由中点坐标公式, 得 M 点的坐标为(x 2,y 2). 又由直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半得?MO?=a, 从而(x 2)2+ (y 2)2= a2, 故所求轨迹方程为x2+ y2= 4a2.yBOA xM评注: 1) 上述错解在于先设 了 A 、 B 点的
5、坐标, 由曲线方程定 义中的定向含义, 应先设 M ( x, y), 得到A(2x, 0) ,B( 0, 2y) , 再由 ?A B?= 2a 坐标化即可. 或由上述 直角三角形性质直接求得所求方 程为x2+y2=a2. 2)按曲线方程的定义, 应先设所求动 点坐标, 而不是先设相关点坐标. 只要这个方向不错, 出现上述错解的学生一定会做对此题. 2. 忽略命题的定向叙述引发失误 例 3 函数 y= sin( - 3x )的图象浚矗岐? 玻? 上 述错解在于先设了A、B点的坐标, 由曲线方程定义中 的定向含义, 应先设 M (x , y) , 得到 A ( 2x , 0), B( 0, 2y)
6、 , 再由?AB?= 2a坐标化即可. 或由上述直角三角 形性质直接求得所求方程为 x2+ y2= a2. 2)按曲线方 程的定义, 应先设所求动点坐标, 而不是先设相关点坐 标. 只要这个方向不错, 出现上述错解的学生一定会做 对此题. 2. 忽略命题的定向叙述引发失误 例 3 函数y=sin( - 3x)的图象咖生学习图象变换的目的. 所以学生往往将函数 y =2 2( cos3x -sin3x )变形成 y= sin- 3(x -? 12) 后轻易选得 C, 却不料所想到的变换方向与题意正好相反. 例 4 已知动点P(x,y) 到直线x= 1 的距离与它到点 A (5, 0) 的距离之比
7、为3 , 则 P 点的轨迹为 ( ) . A. 中心在原点的椭圆 B. 中心在(7, 0)的椭圆 C. 中心在原点的双曲线 D. 中心在(7, 0) 的双曲线 错选: D. 正确答案: B. 评注: 教材中凡类似的例习题结果都是标准方程, 若凭此经验选答案, 必错无疑. 但学生受到“ 中心在哪 里” 的干扰, 常会忽略命题带有方向性的叙述: 到定直 线的距离与到定点的距离之比(而不是到定点的距离41中学数学教学参考 1997 年第 3 期与到定直线的距离之比) , 认为离心率是3 而错选 D. 3. 混淆变换中的方向引发失误 例 5 经过怎样的平移变换, 可以把方程 x2+ y2- 6x +
8、12y- 4= 0 化为没有一次项的新方程? 错解: 将已知方程化为(x- 3)2+ (y+ 6)2= 49, 再将此方程表示的曲线左移 3个单位, 上移 6 个单位, 即 得曲线 x2+ y2= 49. 故所求的平移变换只需将坐标原 点移到( - 3, 6) 处即可. 评注: 上述错解是用图象平移的过程推出坐标轴 平移的结果, 犯了方向上的错误. 这两种变换使两种移 动方向刚好相反. 本题正确解法应使用移轴公式, 可得 所求平移变换只需将坐标原点移到( 3, - 6) 处. 例 6 函数 y = 3x的图象经过怎样的变换可得到 函数 y= 3?x+ 1?的图象? 做错的学生易用的思路: 由y
9、= 3x的图象作y= 3x+ 1的图象, 再由 y= 3x+ 1的图象作 y= 3?x+ 1?的图象. 正确思路: 由y= 3x的图象作y= 3?x?的图象( 局 部对称变换), 再由 y= 3?x?的图象作 y= 3?x+ 1?的图象 ( 平移变换). 评注: 学生所犯 的错误是将 由y= 3x+ 1作y= 3?x+ 1?的图象(高中一般不讲这种变换) 与由 f ( x) 作 f( ?x?)或?f(x)?的图象混为一谈, 使解题方向出了偏 差. 4. 推理方向不对引发失误 例 7 已知?、?是锐角, 且3sin2? + 2sin2?= 1, 3sin2? - 2sin2?= 0.? ?求证:
10、?+ 2?=? 2.错证: 由 ? + 2?=? 2, 得 2?=? 2- ? , 代入? , 得3sin2? - 2cos? = 0, 即 6sin? cos?- 2cos?= 0, ? 、 ? 是锐角, 故 3sin?= 1, 得sin?=1 3, 从而cos2?=1 3,sin?=3 3, 代入? 式成立, 故命题得证.证明: 由? , 得 3sin2? = cos?.? 由? , 得 2sin? cos? = sin2?.? , 得 ctg?= tg2?, 即 tg2?= tg(? 2- ? ), ? 、?为锐角, ? 2-?= 2?, 即?+ 2?=? 2, 命题成立.例 8 设数列
11、 an 的前 n 项和为 Sn, 若对于所有的自然数 n, 都有 Sn=n(a1+ an) 2, 证明 an 是等差数列. 错证: 若an是等差数列, 则用数学归纳法. 1)当 n= 1 时,S1=a1. 2)假设n=k时,Sk=k(a1+ ak) 2, 则当n= k+ 1 时, Sk+ 1= Sk+ ak+ 1=k 2(a1+ ak)+ ak+ 1=1 2k( a1+ ak) + 2ak+ 1 =1 2k( a1+ ak+ 1) + a1+ ak+ 1 =(k+ 1) (a1+ ak+ 1) 2. 可知 Sn=n(a1+ an) 2一定成立, 故an一定是等差数列. 此题是 1994 年高考
12、文史类数学第 25 题, 此处证 明略. 评注: 上述两例解法都错在误证了逆命题, 和正确 证法的思路方向相反. 由于原命题与其逆命题不一定 同真假, 所以类似于上述的错证尽管证得很“ 辛苦” , 也 表现出学生的某些能力, 但在考试中均很难得分. 5. 错用某些性质引发失误 例 9 已知 a、 b、 cR+, 求证: a2b2+ b2c2+ c2a2 a+ b+ cabc.错证: a、 b、 cR+, 由基本不等式, 得 a2b2+ b2c2+c2a233a2b2b2c2c2a2= 33a4b4c4,a+b+c33abc, a2b2+ b2c2+ c2a2 a+ b+ c33a4b4c433
13、abc=3a3b3c3= abc, 原不等式得证. 评注: 本题错证的原因是不等式性质有方向的要 求, 如“ 同正同向不等式不能相除” , 而在此被用成“ 同 正同向不等式相除” 了. 类似的错证在学生中较为常 见, 尤其是由不等式左边刚好“ 推出” 了右边, 便丝毫不 怀疑自己做错了.例 10 函数y=sin( - 2x+? 3)的单调区间是(以下 kZ)( ).A. k? -7? 12, k? -? 12 B. k?-? 16, k?+5? 16C. k?-? 12,k?+5? 12 D. k?-5? 12,k?-? 12错解: 将- 2x +? 3代入正弦函数的单调增区间,解不等式 2k
14、?-? 2- 2x +? 32k?+? 2, 求得 k?-? 12xk?+5? 12, 故选C.评注: 上述错解是将- 2x+? 3整体代入单调区间时代错了方向. 根据复合函数单调的“ 同增异减” 性, 应将- 2x+? 3代入正弦函数的减区间(而不是增区间) ,才能求得正确答案 A. 如何避免解题中的方向性失误呢? 我认为在教学 中可注意以下几点: 1. 要求学生准确理解教材中每一个概念、 定理、 性 质, 尤其注重理解其中的定向含义. 2. 加强题型教学, 并以此训练学生正确思路的规 范表述. 3. 突出数学意识的培养, 分析问题的背景, 以利于 学生找准解决问题的立足点. 4. 习题或考题讲评注意方向性失误的纠错分析. 让典型的错解来之于学生, 最终从学生中消失.42中学数学教学参考 1997 年第 3 期
