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1、椭圆相关性质 2012-3-23 一、解答题1. 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列. （1） 求证： ； （2） 设线段的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线的斜率. 答案: （1） 易知. 由椭圆的第二定义，知 ， 所以. 同理. 因为， 所以，即. （2） 解答:（2） 因为线段的中点为， 所以的垂直平分线方程为. 依 点在 轴上，可设，代入上式得 . 因为都在椭圆上， 所以， 所以. 将代入并结合，得 ， 所以. 二、解答题2. 如图，在面积为1的中，建立适当的坐标系，求出以、 为焦点且过点 的椭圆方程. 答案:解答: 以所 在 直 线 为轴 ，中 点为 原 点 建 立 直 角
2、坐 标 系 . 设解得 点坐 标 是， 椭 圆 长 轴所以，椭圆方程为 点评: 建立坐标系后，、 是坐标平面中的两个定点，tan和tan 与直线、 的斜率 相关，由此可写出两直线方程并求得点 的坐标，再利用椭圆概念求出椭圆长轴长并在 此基础上写出椭圆方程. 三、解答题3. 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，一条准线的方程是倾斜角为的直线 交椭圆于两点，且线段的中点为 （1） 求椭圆 的方程； （2） 设为椭圆 上两点，为原点，且满足求证直线和斜率之积的绝对值为定值. 答案:（1） （2） 证明 设的坐标分别为则有 两式相加，得 由得 由， 解得 又 所以即(定值). 解答:（1） 解 设椭
3、圆 的方程为 因为直线 的倾斜角为且过点 所以 即 由得 设 的坐标为的坐标为则 即，又由准线方程，得 ， 由， 及得 故椭圆 的方程为 四、解答题 4. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点连线构成一个正三角形，且焦点到 椭圆上的点的最短距离为.求此椭圆的方程. 答案:，或. 解答:若椭圆的焦点在 轴上，则 设方程为，两焦点为，其中，短轴的一个端点为，长轴的一个端点为. 由为正三角形知， 所以. 又设为椭圆上任一点，则 ， 所以， 即， 所以，焦点到椭圆上的点的最短距离为，于是 . 由，得. 所以，这时椭圆的方程为. 同理，若椭圆的焦点在 轴上，则方程为. 综上，椭圆的方程为 ，
4、或. 五、解答题5. 已知椭圆 的方程为点 的坐标为 （1） 若直角坐标平面上的点满足求点的坐标； （2） 设直线交椭圆 于两点，交直线于点若证明： 为的中点； （3） 对于椭圆上的点如果椭圆上存在不同的两个交点 满足写出求作点的步骤，并求出使存在的 的取值范围. 答案:（1） （2） 由方程组消 得方程 因为直线交椭圆 于两点， 所以即 设中点坐标为 则 由方程组消 得方程 又因为所以 故 为的中点； （3） 求作点的步骤： 1 求出的中点 2 求出直线的斜率 3 由知为的 中 点 ， 根 据 （ 2 ） 可 得的 斜 率4 从而得直线的方程： 5 将直线与椭圆 的方程联立，方程组的解即为点
5、的坐标. 欲使存在，必须点 在椭圆内， 所以化简得 又即所以 故 的取值范围是 解答: 2010上海（理）23 六、解答题6. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”,其中如图,点是相应椭圆的焦点,和分别是“果圆”与轴的交点. (1) 若是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程； (2) 当时,求的取值范围； (3) 连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究: 是否存在实数,使斜率为 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在,求出所有可能的 值；若不存 在,说明理由. 解答:(1) 由题意知 则 故“果圆”方程为 (2) 由知 故得 (3) 若 存在,且则可设直线
6、族为满足条件的“果圆”的弦. 则得交点 得交点 故中点为 所在的方程为 若 存在,且可设过的两条“果圆”弦为 设 得 交 点得 弦 中 点为 得交点得弦中点为所以故该“果圆”平行弦中点的轨迹为一条线段. 同理时,可证得“果圆”平行弦的中点的轨迹也为一条线段. 七、解答题7. 定义： 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如 果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆 （1） 若椭圆判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； （2） 写出与椭圆相似且短半轴长为 的椭圆的方
7、程；若在椭圆上存在两点关于 直线对称，求实数 的取值范围？ （ 3 ） 如图 ： 直线与 两 个 “ 相 似 椭 圆”和分别交于点和点试在椭圆和椭圆上分别作出点 和点 （非椭圆顶点），使和组成以 为相似比的两个相似三角形，写出 具体作法.（不必证明） 答案: （1） 椭圆与相似. 因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三 角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2 1 （2） 椭圆的方程为： 设点中点为 则所以 则 因为中点在直线上，所以有 即直线的方程为： 由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点， 即方程有两个不同的实数解， 所以即
8、 （3） 作法1： 过原点作直线交椭圆和椭圆于点 和点 则和即为所求相似三角形，且相似比为 作法2： 过点点 分别做 轴（或 轴）的垂线，交椭圆和椭圆于点 和点 ，则 和即为所求相似三角形，且相似比为 解答: 2011徐汇二模文（23） 理（22） 八、解答题8. 给定椭圆称圆心在原点半径为的圆是椭圆 的“伴随圆”.若椭圆 的一个焦点为其短轴上的一个端点到的距离为 （1） 求椭圆 的方程及其“伴随圆”方程； （2） 若倾斜角为45的直线 与椭圆 只有一个公共点，且与椭圆 的伴随圆相交于两 点，求弦的长； （3） 点 是椭圆 的伴随圆上的一个动点，过点 作直线使得与椭圆 都只有一 个公共点，求证
9、： 答案: （1） 因为所以 所以椭圆的方程为 伴随圆的方程为 （2） 设直线 的方程由得 由得 圆心到直线 的距离为 所以 （3） 当中有一条无斜率时，不妨设 无斜率， 因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当 方程为时，此时 与伴随圆交于点 此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是（或 即 为（或显然直线垂直： 同理可证 方程为时，直线垂直. 当都有斜率时，设点其中 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为 由消去 得到 即 经过化简得到： 因为所以有 设的斜率分别为因为与椭圆都只有一个公共点， 所以满足方程 因而即垂直. 解答: 2011宝山高三期未22 九、解答题9. 如图，已知椭
10、圆为椭圆上的一个动点， 分别为椭圆的左、右焦点， 分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点.当时，原点 到直线的距离为 （1） 求满足的关系式； （2） 当点在椭圆上变化时，求证： 的最大值为 （3） 设圆是圆上任意一点，过作圆的切线交椭圆于两 点，当时，求 的值.（用 表示） 答案: （1） 设因为所以点坐标为 所以方程 到距离整理得 所以解得 （2） 设 由余弦定理得 因为 所以 当且仅当 由三角形内角及余弦单调性知有最大值 （3） 由（1）椭圆方程为 设 当切线方程 所以 因为 所以 当切线方程 消去 得 因为 所以 代入得 解答: 2011崇明二模22 十、解答题 10. 在中， 为定点，
11、 为动点，记的对边分别为已知且存在常数使得 （1） 求动点 的轨迹，并求其标准方程； （2） 设点 为坐标原点，过点 作直线 与（1）中的曲线交于两点，若试确 定 的范围. 答案:（1） 在中，由余弦定理，有 所以，点 的轨迹 是以为焦点，长轴长的椭圆. 如图，以所在的直线为 轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系. 则， 和 椭圆 的标准方程为： （2） 设 当垂直于 轴时， 的方程为由题意，有在椭圆上. 即由得 当不垂直于 轴时，设的方程为 由得： 由题意知： 所以 于是： 因为所以 所以 所以， 由得解得 综合得： 解答: 2011闸北二模（文理）20 十一、解答题11. 如图1，已知半径
12、为 的圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交点为 图-1 图-2 （1） 若四边形中的一条对角线的长度为试求： 四边形面积的 最大值； （2） 试探究： 当点运动到什么位置时，四边形的面积取得最大值，最大值为多 少？ （3） 对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆 ： 的内接四边形的对角线和相互垂直且交于点试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定. 答案:（1） 因为对角线互相垂直的四边形面积而由于为定长，则当最大时，四边形面积 取得最大值.由圆的性质，垂直于的弦中，直径最 长，故当且仅当过圆心时，四边形面积 取得最大值，最大值为
13、（2） 解法一： 由题意，不难发现，当点 运动到与圆心重合时，对角线和的 长同时取得最大值所以此时四边形面积 取得最大值，最大值为 解法二： 设圆心到弦的距离为到弦的距离为的距离为 则且可得 又当且仅当时等号成立. 所以当且仅当时等号成立. 又因为点 在圆内运动，所以当点 和圆心重合时此时故此时四边形的 面积最大，最大值为不难发现，此时该四边形是圆内接正方形，对角线交点 与圆心重合. （3） 类比猜想1： 若对角线互相垂直的椭圆内接四边形中的一条对角线长确定时， 当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大. 类比猜想2： 当点 在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形的面
14、积 最大. 以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证： 椭圆内的平行弦中，过 椭圆中心的弦长最大. 证： 设椭圆的方程为平行弦的方程为 联立可得 不妨设则 由于平行弦的斜率 保持不变，故可知当且仅当时，即当直线经过原点时，取得最大值（*）.特别别地，当斜率不存在时，此结论也成立. 由以上结论可知，类比猜想一正确.又对于椭圆内任意一点 构造的对角线互相垂直的 椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心 重合的椭圆内接四边形 而其中所以必有即证明了猜想二也是正确的. 类比猜想3： 当点 在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为 椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得
15、最大值. 要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大.”在此基础 上，可参考以下两种续证方法. 证法一： 当点 在椭圆中心时，不妨设对角线所在直线的斜率为 （i） 当时，即为椭圆长轴，又故是椭圆的短轴.所以此时椭圆内接 四边形的面积为 （ii） 当时，对角线的斜率为由此前证明过程中的（*）可知， 若将代换式中的则可得弦的长度， 所以， 由 则 综上（i）和（ii），故可证明猜想3正确. 证法二： 如图，四边形对角线交点 与椭圆中心重合. 由对称性，不妨设椭圆上的点 的坐标为相邻的点 坐标为由对称性可知， 且当时， 取得最大值 又因为故 由 所以 故只有当时才满足，而因为故只
16、有当时成立.即由椭圆参数方程的定义，当且仅当点 和点 分别落在椭圆长圆和短轴顶点上时，猜想3正确. 解答: 2011普陀二模（理）23 十二、解答题12. 给定椭圆称圆心在坐标原点半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. （1） 若椭圆 过点且焦距为4，求“伴随圆”的方程； （2） 如果直线与椭圆的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点 轨迹的大致图形； （3） 已知椭圆的两个焦点分别是椭圆上一动点满足 设点 是椭圆 的“伴随圆”上的动点，过点 作直线使得与椭圆 都各只有一个交点，且分别交其“伴随圆”于点 研究： 线段的长度是否为定值，并证明你的结论. 答案:（1） 解 由题意得： 则 又由焦距为所以 故所求的“伴随圆”的方程为 （2） 由于椭圆 的“伴随圆”与直线有且只有一个交点，
