《有限单元法 附录a 矩阵的基本知识》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限单元法 附录a 矩阵的基本知识（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、书书书附录!矩阵的基本知识!矩阵是从研究线性方程组的问题中引出的!用来记载一群元素的一种记载方式!这种记载方式为研究多元代数提供了紧凑而又便利的记法当按一定的规则定义了矩阵的数学运算后!就可以加速线性方程组的求解!因而在工程问题中有广泛的应用本章介绍有关矩阵的基本知识!矩阵的定义和几种特殊的矩阵# 矩阵的定义设有!个关于#!$!#!#的#元线性方程组$# #%$# $%#%$#&#$ #%$ $%#%$#&$#$!#%$!$%#%$! #&#$!$!(#%把式$!(#%中关于#!$!#!#的!)#个系数按着原来的位置排列成!行#列的矩形阵列!并用符号表示为&!&$# #$# $#$#$ #$
2、$#$#%$!#$!$#$&()! #$!($%定义由!)#个元素排列成的!行#列的矩形阵列称为!)#型矩阵或!)#矩阵! 常用粗体大写字母表示矩阵!如!(#($# 等!也可以用 )$* +*!)#表示!行#列矩阵!称$* +为矩阵!的元素它有两个下标!第一个下标表示行!第二个下标表示列!这就是说!该元素在矩阵!中的位置是在第*行与第+列相交的地方$ 几种特殊的矩阵根据矩阵的元素和行列数的不同!可将矩阵分为以下几种#%列阵当矩阵的行数!*#!而列数#&#时!则该矩阵称为列矩阵!简称列阵列阵也称为列矢量!如式$!(#%中的常数项!排成一个!行的单列!记为&%&#$&()!附录 !矩阵的基本知识!
3、# % &!+!# % &!为节省书写版面可以写为如下形式#%&#!$!$!%&!$行阵当矩阵的行数!&#而列数#*#时则该矩阵称为行矩阵简称行阵(行阵也称为行矢量如式)!(#中的未知量排成一个#列的单行记为#&#!$!$!%&#%方阵当矩阵的行数!和列数#相同时该矩阵为方矩阵简称为方阵(正整数#被称为方阵的阶数(如#!&$# #$# $#$ #$ $#*%*$#$#$&()# #称为#阶方阵或#阶矩阵(零矩阵矩阵中的所有元素都等于零的矩阵称为零矩阵通常用!表示(在矩阵的代数运算中零矩阵!相当于代数中的)的概念和作用(&转置矩阵将矩阵!的行和列互换而构成的另一个矩阵称为矩阵!的转置矩阵以!或!
4、 ,表示(由转置矩阵的定义可知一个!行#列的矩阵!&$*% &+!)#其转置矩阵为#行!列的矩阵且转置矩阵的第*行第+列元素为原矩阵的第+行第-列的元素即!&$+% &*#)!如#!&$# #$#*$#+$#*$*#$* *$* +$* #*$+#$+ *$+ +$+ #*$!#$! *$! +$&()! #矩阵!的转置矩阵为#!&$# #$*#$+#$!#*$#*$* *$+ *$! *$#+$* +$+ +$! +*$#$* #$+ #$&()! #!# % *!+有限单元法!# % *!*对称方阵元素对称于主对角线的方矩阵#称为对称方阵或对称矩阵$在对称阵中#$* +&$+ *#因此#对
5、于对称矩阵有%!&!+反对称方阵主对角线两侧对称位置上的元素仅符号相反#而主对角线上的元素都等于零的方阵#称为反对称方阵或反对称阵$在反对称方阵中#$* +&.$+ *且$* *&)$如%!&),.#&.,)%$#.%).-.& .&()$-)是一个四阶反对称方阵$,对角线方阵除主对角线上的元素$* +&*&+ 不等于零以外#其他的元素$* +&*,+ 都等于零的方阵#称为对角线方阵或对角矩阵$对于对角线方阵#通常令$* *&/*#并记作%&/#)/$%)/&()#或记作&/ * $ 0&/#/$#/#-数量方阵主对角线上的元素$* +&*&+ 都等于某数$#而其他元素$* +&*,+ 都等于
6、零的方阵#称为数量方阵或数量矩阵#如%!&$)$%)&()$# )单位方阵主对角线上的元素$* +&*&+都等#而其他元素$* +&*,+都等于零的方矩阵#称为单位方阵或单位矩阵#亦称为恒等矩阵( 么阵等$通常以(表示单位矩阵#其阶数有时可用下标表示$例如(#表示一个.阶的单位矩阵#如%(%&# ) ) # )&() ) #表示一个三阶单位矩阵$# #带状矩阵如果在方阵中#非零元素集结在主对角线两侧#形成一个元素对角线带#则称此方阵为带状矩阵#如%附录 !矩阵的基本知识!# % +!+!# % +!&$# #$# $)$ #$ $)$% %$% ()$#. #. #$#. #)$#. #$#&
7、()# $上三角形方阵主对角线以下的所有元素都等于零的方阵#称为上三角形方阵或右三角方阵#如%$)$# #$# $#$ $#%&)$&()# # %$下三角形方阵主对角线以上的所有元素都等于零的方阵#称为下三角形方阵或左三角形方阵#如%&$# #)$ $&%&$#$#$&()# # ($单位三角形方阵主对角线以上的各元素均等于#的三角形方阵#称为单位三角形方阵#如%$#$&#$# $#$#%&)&()#是.阶单位上三角形方阵#又如%#$&#)$ #&%$#$#$&()#是.阶单位下三角形方阵(三角形方阵又简称为三角矩阵(! #!矩阵代数与矩阵的转置矩阵不仅记下/0.个元素及其相互位置#还可以对
8、矩阵定义并施行一些有实际意义的运算(首先定义同型矩阵#如果若干矩阵的行数相同#列数也相同#则称它们为同型矩阵(!# % ,!+有限单元法!# % ,!# 矩阵代数#矩阵的相等如果两个同型矩阵!和%#其对应位置上的元素分别相等#即$* +&* +!%*&#$#&#!+&#$#&#则称这两个矩阵相等#并记为!)%($矩阵的加减同型矩阵可以进行加减运算(同型矩阵进行加减运算就是把它们对应位置上的元素相加减#所得到的和差矩阵与原矩阵是同型矩阵(如果!*%)+#则1* +&$* +2* +!%*&#$#&#!+&#$#&#(例如$& .$%#+.)*(%.,%#$.)*# *&.% # ()*%* $%
9、数乘矩阵用数!乘矩阵!#就是用数!乘矩阵!的每一个元素#而得到的矩阵称为数!与矩阵!的积#记为! !或! !#如$!$# #$# $&$#$ #$ $&$#+$!#$!$&$&()! #&! $# #! $# $&! $#! $ #! $ $&! $#+! $!#! $!$&! $&()! #(矩阵的乘法两个矩阵左右相乘#必须符合, 左矩阵的列数等于右矩阵的行数-的条件(设有/01型矩阵!&$# #$# $&$#3$ #$ $&$3+$!#$!$&$&()! 3和3)#型矩阵%&# # $&#$ #$ $&$#+3#3$&()3 #则!左乘% 或%右乘!记为! %)+(并称矩阵+为矩阵!左乘矩
10、阵%的积(乘积+是!)#型矩阵(+&1# #1# $&1#1$ #1$ $&1$#+1!#1!$&1&()! #其中$附录 !矩阵的基本知识!# % -!+!# % -!1* +&-34&#$* 44 +&矩阵的基本运算律#交换律矩阵的加法满足交换律$!,%)%,!%矩阵的乘法一般不满足交换律$ 设有!)3型矩阵!和3)#型矩阵%&一般情况下! %,% !%设有矩阵!&# $ %($ ) #&%&.$#).&()$由矩阵的乘法公式知! %&# $ %($ ) #.$#).&()$&).&.()% !&.$#).&()$# $ %($ ) #&).( .&#$%.().&()$可见! %,% !
11、&又如$+&.$(#.($&$(.% .(*那么+ &.$(#.($(.% .(*&.# * .% $(,# *而 +&$(.% .(*.$(#.($&) )() )&)从该例还可以看到&两个非零矩阵的乘积可能是零&这在代数中是完全不可能的%#$结合律矩阵的加法和乘法都满足结合律$#!,%,+)!,#%,+ &!#! %+)!#% +)! % +#%分配律矩阵乘法满足对加法的分配律#!,%+)! +,% +&!#%,+)! %,! +#(消去律矩阵加法满足消去律$ 若!,%)!,+&则%)+%矩阵乘法一般不满足消去律&即当! %)! +时&则%和+不一定相等%$ 转置矩阵的性质#!&!# (
12、)!+有限单元法!# ( )!$#!,%#&!%#! !#&! !(#! %#&%!&#转置矩阵与原矩阵的乘积一定是一个对称方阵$! $!矩阵的秩数与初等变换本节由方阵的行列式引出矩阵的秩%并介绍矩阵的初等变换对矩阵的秩数的影响$# 方阵的行列式设有.阶方阵!&$* +#)#由其元素$* +*%+&#%$%(%#确定的.阶行列式)! &$# #$# $($#$ #$ $($#*$#$#$($&()# #称做方阵!的行列式%并记为5!5或2 3 4!# $ 方阵行列式的主要性质#对于任意两个.阶方阵!和%恒有5! %5&5!5 5%5&5% !5$#对于实数和.阶方阵!有5! !5&!#5!5$
13、由于)! !&! $# #! $# $(! $#! $ #! $ $(! $#*! $#! $#$(! $&()# #而由行列式的性质知! $# #! $# $(! $#! $ #! $ $(! $#*! $#! $#$(! $# #&!$# #$# $($#$ #$ $($#*$#$#$($# #因此!5! !5&! $# #! $# $(! $#! $ #! $ $(! $#*! $#! $#$(! $# #&!#$# #$# $($#$ #$ $($#*$#$#$($# #!#5!5%#对于.阶方阵6%由行列式性质知5!5&5!5(#对角线方阵+ 带状方阵+ 三角形方阵的行列式都等于主对
14、角线上各元素的连乘积$&#单位方阵的行列式等于#$附录 !矩阵的基本知识!# ( #!+!# ( #!% 矩阵的子式! 主子式与正定矩阵设有!)#型矩阵!&$# #$# $#$ #$ $#$!#$!$&()! #以其第*#行$第*$行 第*7行与第+#列$第+$列 第+7列相交位置上的诸元素按其原来的相互位置排列成一个7阶子矩阵% 亦称7阶子块&!&$*#+#$*$+$*#+7$*$+#$*$+$*$+7#$*7+#$*7+$*7+&()7!%*#.*$.*7$+#.+$.+7&则称子矩阵的行列式55为矩阵!的一个5阶子行列式$简称!的子式如果矩阵!是一个#%#*7& 阶方阵$且!的7阶子块是
15、以其第*#行$第*$行 第*7行与第*#列$第*$列 第*7列相交位置一的诸元素按其原来的相互位置排列成的$则称55是方阵!的一个7阶主子式当方阵!的各阶主子式都大于零时$则称方阵!为正定矩阵( 矩阵的秩数! 奇异矩阵与非奇异矩阵%#&如果矩阵的所有元素都是)$则定义其秩数为零$即零矩阵的秩为零%$&如果!)#型矩阵!不是零矩阵$而其中的非零子式的最大阶数为7$则定义该矩阵的秩数为7例如矩阵!&# ) ) )( % $ #&()( % $ #的所有%阶子式都等于零$而有非零的$阶子式存在$所以它的秩数为$%&对于#阶方阵!$如果其行列式5!5,)$则称该方阵是满秩方阵$ 又称为非奇异矩阵( 如
16、果方阵!的行列式5!5&)$则称为奇异矩阵例如方阵!&%$#$.#$ .&()#%由于5!5&%$#$.#$ .#%&% %# # .#$ $%&)而其非零子式的最高阶数为$因此$该矩阵是奇异矩阵$且秩数为$又如矩阵%&#$ $.# # $&()%$ #!# ( $!+有限单元法!# ( $!由于5%5&#$ $.# # $%$ #&#).#%(%.( .&#因此矩阵%是满秩的是一个非奇异矩阵#& 矩阵的初等变换矩阵的初等变换共有8和9两类矩阵的8初等变换即对矩阵的行施行变换而9类变换是对矩阵的列施行变换且每类又分为三种变换#这三种变换是$%#&第一种初等变换是用数!%!,)&去乘矩阵的某一行
17、% 列& #%$&第二种初等变换是对换矩阵的任意两行% 列& #%&第三种初等变换是把矩阵的某一行% 列&的!倍加到另一行% 列&的对应元素上去#* 初等变换后所得矩阵的秩数实际上由行列式的性质可知用一数!%!,)& 遍乘行列式的某一行% 列& 的元素后所得到的行列式的值仅是原行列式值的!倍因此第一种初等变换不会改变矩阵的非零子式的最高阶数即矩阵的秩数保持不变 又由行列式的性质可知对换行列式的任意两行% 列&后行列式的值公符号相反因此第二种初等变换也不会改变矩阵的非零子式的最高阶数即也不会改变矩阵的秩数 还由行列式的性质可知把行列式的某一行% 列& 的倍加到另一行% 列&的对应元素上后行列式的
18、值保持不变因此对矩阵施以第三种初等变换同样不会改变矩阵的非零子式的最高阶数也就不会改变矩阵的秩数#这就是说矩阵的三种初等变换都不会改变矩阵的秩数#可以利用矩阵的初等变换的这个性质来计算矩阵的秩数#例如计算矩阵!&$(#.#(&$%.$ .+ .&()#*的秩数如下$!第一行乘以.$加在第二行$(#.#).%)&.$ .+ .&()#*第一行加在第三行$(# .#) .% )&) .&()% )&第一行乘以#加在第三行$(# .#) .% )&()由此可知其所有的%阶子式都为零而有$阶非零子式存在那么矩阵!的秩数为$#! %!方阵的逆矩阵在加法下考虑一个矩阵!有一个负矩阵%&.!存在使得!%&!
19、#在乘法下考虑一个矩阵应该有一个( 逆矩阵) 存在#对于数而言每个非零的数!都有一个( 逆)!. #存附录 !矩阵的基本知识!# ( %!+!# ( %!在且! !. #&!. #!&#但是什么样的矩阵!会有一个逆矩阵!. #使得! !. #&!. #!&(呢？ 首先!矩阵没有逆矩阵又由于矩阵乘法不满足交换律所以!)#的!)#型矩阵也没有逆矩阵只有方矩阵才可能有逆矩阵存在# 方阵的逆矩阵定义#$ 对于#阶方阵!如果有一个#阶方阵%满足$! %&% !&(则称%为!的逆矩阵亦称!为%的逆矩阵#!的逆矩阵记作!. #如果一个矩阵有逆矩阵则其逆矩阵是唯一的#定义$ 设方阵!&$# #$# $%$#$
20、 #$ $%$#&$#$#$%$&()# #以6* +表示5!5对于元素$* +的代数余子式#取元素$* +在5!5中的代数余子式6* +为对应元素所构成的方阵的转置方阵称为!的伴随方阵记为$!/&6# #6# $%6#6$ #6$ $%6$#&6#6#$%6&()# #如果!/)!则称!为自伴随方阵#例如单位方阵就是自伴随方阵#定理$ 方阵!具有逆矩阵的充分必要条件是!为非奇异矩阵即!是满秩方阵#证明$ 首先证明条件的必要性#设方阵!有逆矩阵!. #则因为! !- #)(那么根据方阵行列式的性质有$5! !- #5&5!5 5!. #5&#由此可见5!5,)则!为非奇异矩阵即!是满秩方阵#同
21、时还可以看到5!. #5,)所以!. #也是非奇异矩阵且5!. #5!5&5!5. #即逆矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的倒数#现在证明条件的充分性#设方阵!是满秩的则由矩阵的乘法公式6 7 8 9 7 : 3定理及消元定理知! !/的元素为$*#6+#%$*$6+$%$* #6+ #&)(*,+)$*#6+#%$*$6+$%$* #6+ #&5!5(*,+)因而! !/&5!5)5!5%)5!&()5&5!5(同理可以证明!/!&5!5(!# ( (!+有限单元法!# ( (!由此可见!/5!5&!/5!5!&-根据逆矩阵的定义可知!的逆矩阵为!. #&!/5!5这就是说如果!是满秩方
22、阵则其必有逆矩阵存在#从而说明了方阵!具有逆矩阵的充分必要条件是!为非奇异矩阵即!是满秩方阵#不难看出该定理给出了求非奇异矩阵逆矩阵的方法#$ 逆矩阵的基本性质$#%逆矩阵的逆为原矩阵#$%存在逆矩阵的矩阵之乘积的逆为各矩阵的逆矩阵按反序相乘#设矩阵!#!$&!#. $!#. #!#是同阶满秩方阵其逆矩阵分别为!. #!. $&!. #. $!. #. #!. #由于$!#!$&!#. $!#. #!#% $!. #!. #. #!. #. $&!. #$!. #%&$!#!$&!#. $!#. #% $!#!. #% $!. #. #!. #. $&!. #$!. #%&$!#!$&!#.
23、$!#. #%($!. #. #!. #. $&!. #$!. #%&$!#!$&!#. $!#. #% $!. #. #!. #. $&!. #$!. #%&!#- !- #&!#!- #&(同理可得$!. #!. #. #!. #. $&!. #$!. #% $!#!$&!#. $!#. #!#%&(所以根据逆矩阵的定义有$!#!$&!#. $!#. #!#%. #&!. #!. #. #!. #. $&!. #$!. #$%逆矩阵的转置矩阵等于原矩阵的转置矩阵的逆即$!. #%&$!%. #! &!分块矩阵及其运算本节介绍分块矩阵及分块矩阵的运算#把矩阵分块后再进行运算可以达到事半功倍的
24、效果# 分块矩阵将阶数较高的矩阵!用贯穿全矩阵的竖直线和水平直线分成许多低阶矩阵的组合每一块低阶矩阵称为!的子块$ 或子矩阵% 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵#矩阵的子块可以用小写黑体字母表示#如矩阵!&$# #$# $# %$# ($# &$ #$ $ %$ ($ &$% #$% $% %$% ($% &$( #$( $( %$( ($0000001111111111&()( &!# #!# $!$ #!()$ $附录 !矩阵的基本知识!# ( &!+!# ( &!# #&$# #$# $ #$#$ $!# $&$# %$# ($# &$ %$ ($#$ &!$ #&$% #$% $( #$
25、#( $!$ $&$% %$% ($% &$( %$( ($#( &同一个矩阵分块的方式很多$以计算便利为分块原则%$ 分块矩阵的运算在分块矩阵的运算中$可将一个子块当作一个元素来处理$但对子块的行列数有一定的要求%#&分块矩阵的加减同阶矩阵用同样的分块分成的分块矩阵可以进行分块矩阵的加减运算%设同型矩阵!和%是用同样的方式分成的分块矩阵%!&!# #!# $!#3!$ #!$ $!$3(!7#!7$!&()7 3$%&%# #%# $%#3%$ #%$ $%$3(%7#%7$%&()7 3其中!* +的行数与列数和%* +的相同)*&#$7*+&#$3& $如果有矩阵+&+# #+# $+#
26、3+$ #+$ $+$3(+7#+7$+&()7 3其中!+* +&!* +2%* +!)*&#$7*+&#$3&则!+&!2%$&数乘分块矩阵用数!乘分块矩阵$等于用数!乘分块矩阵的每一个子块$即! !&! !# #! !# $! !#3! !$ #! !$ $! !$3(! !7#! !7$! !&()7 3%&分块矩阵的乘法可以相乘的矩阵) 即前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同& 分成分块矩阵后$前一个分块矩阵的子块的列数必须与后一个分块矩阵的子块的行数相同$而且相乘的子块必须满足矩阵相乘的规定) 即前一个子块的元素的列数与后一个子块的元素的行数相同&才可以相乘%设矩阵!&!# #!
27、# $!#:!$ #!$ $!$:(!7#!7$!&()7 :$%&%# #%# $%#3%$ #%$ $%$3(%:#%:$%&(): 3!# ( *!+有限单元法!# ( *!若存在另一矩阵+&+# #+# $+#3+$ #+$ $+$3#+7#+7$+&()7 3其中+* +&-:4&#!* 4%4 +!$*&#%$%7&+&#%$%3且!* +的元素列数与%* +的元素的行数相同$*&#%$%7&+&#%$%3 %则(! %&+(分块矩阵的转置将分块矩阵!的子块以相应的转置矩阵取代%再将分块矩阵!的行和列的位置互换而构成的另一个分块矩阵%称为分块矩阵!的转置分块矩阵%并记为!)设(!&
28、!# #!# $!#3!$ #!$ $!$3#!7#!7$!&()7 3则其转置后为(!&!# #!# $!#3!$ #!$ $!$3#!7#!7$!&()7 3&分块矩阵的逆分块矩阵设有#阶方阵.%将其分块为(.&/ 00011*+1 2其中/是;阶方阵%2是阶方阵%;%&#)并令方阵.的逆为(. #&3 40011*+5 6其中3是;阶方阵%4是阶方阵)由于. .- #&(%则(/ 0*+1 23 4*+5 6&/ 3%0 5 / 4%0 61 3%2 5 1 4%*+2 6&(;77 (*+其中(;是;阶单位矩阵%(是阶单位矩阵)那么%有(!/ 3%0 5&(;,/ 4%0 6&=%1
29、3%2 5&=%1 4%2 6&(从中可以解出(!3&$/.0 2. #1. #%5&.2- #1 3%6&$2.1 /. #0. #%4&./- #0 6这样%只要计算子矩阵3,5,6,4%就可以得到. #)附录 !矩阵的基本知识!# ( +!+!# ( +!% 准对角矩阵及其运算#准对角矩阵的概念对于分块矩阵!#如果不在主对角线上的子块都是!矩阵#而主对角线上的子块都是方阵#则称!为准对角矩阵$!&!# #)!$ $%)!&()3 3其中!# #!$ $#%#!3 3都是方阵#则称!为准对角矩阵$准对角矩阵的原矩阵是方阵$准对角矩阵的运算准对角矩阵的运算可以化为其主对角线上的子块的运算#有
30、以下运算方法$&#准对角矩阵的乘法$设有!&!# #)!$ $%)!&()3 3#%&%# #)%$ $%)%&()3 3且!* *与%* *&*&#$#%#3的阶数相同#那么! %&!# #%# #)!$ $%$ $%)!3 3%&()3 3&$准对角矩阵的逆矩阵$如果!* *&*&#$#%#3都有逆矩阵!. #* *#即!* *均为非奇异矩阵#那么准对角矩阵的逆矩阵仍然是准对角矩阵#其主对角线上的子块为原矩阵对应子块的逆矩阵$即!. #&!. # #)!. #$ $%)!. #&()3 3实际上#! !. #&!. #!&(8* *)&(#其中8* *&*&#$#%#3 是单位矩阵#所以有!. #存在$
