第4讲.微积分与人类文明

《第4讲.微积分与人类文明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4讲.微积分与人类文明（97页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第四讲：微积分与人类文明微积分诞生的时代背景宇宙探索与微积分牛顿的“流数术”莱布尼茨的微积分工作18世纪微积分的发展为微积分夯实基础微积分与人类文明一、微积分诞生的时代背景满足近代科学文明发展的需要满足近代技术文明产生的需要 满足17世纪生产力水平的需要满足近代人类文明演化的需要微积分的萌芽在中国：公元前 4 世纪,桓团、公孙龙等提出的“一尺之棰,日取其半, 万世不竭“ ;公元3世纪刘徽的“割圆术“；公元5-6 世纪祖冲之,祖暅（geng）对圆周率,面积和体积的 研究(祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点 后 7 位的圆周率近似值,他还精确地计算了地球的体积) ,都包含 着微积分

2、概念的萌芽.在欧洲：公元前 3 世纪欧几里得在几何原本中对不可公约量及面 积和体积的研究, 公元前 3 世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究(穷竭法) ,也都包含着上述萌芽.满足近代技术与科学文明的需要欧洲文艺复兴之后, 资本主义生产方式兴起, 生产力 有了较大的发展. 到了 16 世纪,由于航海,机械制造以及军事上的需要, 运动的研究成了自然科学中心议题. 于是在数学中 开始研究各种变化过程中变化的量 (变量) 间的依赖 关系, 变量的引进, 形成了数学中的转折点. 在伽利 略等人的科学著作里面,都包含着微积分的初步想法 . 到了 17 世纪,生产的发展提出了许多技术上的要求, 而要实现技术

3、要求必须有相应的科学知识。 例如流体力学(与矿井的通风和排水有关) ,机械力学 等都突飞猛进的发展。近代力学,天文学等近代理论 应运而生在资本主义社会，贸易活动占有重要地位,与此相关 的海运事业迅速发展,向外扩张的军事需要, 也促进 了航海的发展. 航海需要精确而方便的确定位置 (经 纬度) ,预报气象,天文学因而发展起来。对经纬度测量的需要使人们进行了这样一系列研究 :对月亮与太阳及某一恒星距离的计算; 对木星卫星蚀的观察;对月球穿越子午圈的观测;摆钟及其他航海计时在海上的应用等等.科学与数学层面的问题有四种主要类型的问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时

4、刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究 成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不 可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及行星离开太阳的最远和 最近距离等涉及函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重 心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻 求解决这些问题的数学工具开普勒(J.Kepler,1571-1630)与无限小元法。德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表 的测量酒桶的新立体几何中，论述了其 利用无限小元求旋转体体积的

5、积分法。他的 无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元 素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积 ，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、 底面在球上的小圆锥的体积的和。卡瓦列里(B.Cavalieri,1598-1647)与 不可分量法。意大利数学家卡瓦列里在其著作用新方法推进的 连续的不可分量的几何学(1635)中系统地发展了 不可分量法。他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无 穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、 面和体的不可分量。他建立了一条关于这些不可分 量的一般原理（后称卡瓦列里原理，即是我国的祖 暅（geng）原理）：如果在等高处的横截面有相同 的面积，两个有同高的立体有

6、相同的体积.巴罗(I.Barrow,1630-1677)与“微分三角形”巴罗是英国的数学家，在1669年出版的著作几何 讲义中，他利用微分三角形求出了曲线的斜率。 他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并 利用忽略高阶无限小来取极限。巴罗是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯 数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当他发 现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢 卡斯教授的职位，举荐自己的学生当时才27岁的 牛顿来担任。巴罗让贤已成为科学史上的佳话。笛卡儿(R. Descartes,1596-1650)、费马（ Fermat,1601-1665)和坐标方法。笛卡儿和费马是将坐

7、标方法引进微分学问题 研究的前锋。笛卡儿在几何学中提出的 求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大 值与极小值的方法，实质上都是代数的方法 。代数方法对推动微积分的早期发展起了很 大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点 而踏上微积分的研究道路。期待牛顿与莱布尼兹17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不 同方向向微积分的大门逼近，但所有这些努 力还不足以标志微积分作为一门独立科学的 诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实 做出了宝贵贡献，但他们的方法仍缺乏足够 的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的 某些联系，但没有人将这些联系作为一般规 律明确提出来，作为微积分基本特征的积分 和微分的互逆关

8、系也没有引起足够的重视。二、宇宙探索与微积分从地心说到日心说开普勒行星运动定律伽利略运动定律期待牛顿从地心说到日心说微积分的诞生 从开普勒三定律到牛 顿的万有引力定律行星的运动太阳系主要成员太阳和其八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王 星（I）两种学说首先，我们来了解对太阳、行星运动 的认识过程。在古代，人们对于天体的运动存在着 地心说和日心说两种对立的看法。(1)内容:认为地球是静止不动的，地球是宇宙的 中心，太阳和月亮以及其他行星绕地球转动。(2)代表人物：亚里斯多德，托勒密1、地心说(1) 内容:地球并不是宇宙的中心，太阳是静止不 动的，地球和其他行星都是围绕着太阳

9、做匀速 圆周运动. 2、日心说(2) 代表人物：哥白尼，开普勒，伽利略这两种观点正确吗？(1)丹麦天文学家第谷 的探索:在哥白尼之后，第谷连续20年对行星的位置进行了 较仔细的测量，大大提高了测量的精确程度。得出行 星绕太阳做匀速圆周运动的模型.其后，许多天文学家对天体运动进行不断的探索、完 善，建立了最初的天体运动理论。(II)天文学家对天体运动进一步的研究(2)德国物理学家开普勒的研究. 总结了他的导师第谷的全部观测资料，在他最初研究 时，发现如果认为行星绕太阳匀速圆周运动，计算所得 到的结果与第谷的观察数据相不符，后来他花了四年时 间一遍一遍地进行数学计算，通过计算这一怀疑使他发 现了行

10、星运动三大定律.(1).开普勒第一定律 （轨道定律）所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆， 太阳处在椭圆的一个焦点上。 (III)开普勒行星运动定律行星轨道焦点太阳焦点(1).开普勒第一定律 （轨道定律）(III)开普勒行星运动定律开普勒第一定律，解决了行星动行的轨道问题，得 出了行星运动的轨道不是圆，行星与太阳的距离不断的 变化，有时远离太阳，有时靠近太阳，所以行星的运动 就不是哥白尼在“日心说”中所提出的行星的运动是圆周 运动。 注意： 1、太阳并不是位于椭圆中心，而是位于焦点处； 2、不同行星轨道不同，但所有轨道的焦点重合； 3、人们从未想到过，古希腊人1800多年前关于圆 锥曲线的纯数学

11、研究居然是天体运动轨道！(2).开普勒第二定律 （面积定律）对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等 的时间内扫过相等的面积。由此可见见，当行星离太阳比较较近时时，运动动速度比 较较快，而离太阳比较远时较远时 速度比较较慢，这这也就是在地 理中所提到的，在近日点速度大于远远日点速度。 行星轨道焦点太阳(3).开普勒第三定律 （周期定律）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期 的二次方的比值都相等。aF太阳(3).开普勒第三定律 （周期定律）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期 的二次方的比值都相等。注意： 比值k是一个与行星本身无关的物理 ,而与中心天体(太阳)有关行星绕太阳运动都符合

12、： 对于地球和木星，就有：（4）意义： 开普勒关于行星运动的描述为万有引力定律 的发现奠定了基础。伽利略伽利略：证明日心说的正确性：证明日心说的正确性开创重事实、重逻辑的近代科学开创重事实、重逻辑的近代科学“ “近代科学之父近代科学之父” ”伽利略（15641642），伟大 的意大利物理学家和天文学家 ，他开创了以实验事实为根据 并具有严密逻辑体系和数学表 述形式的近代科学，被誉为“近 代科学之父”。他第一个把望远 镜对准天空进行观测，出版了 星空使者一书。1632年， 他出版了关于托勒密和哥白 尼两大世界体系的对话 (Dialogo)，把哥白尼的学说推 到了最终胜利的阶段。伽利略用比萨斜塔反

13、驳亚里士多德， 但他本人并没做过斜塔试验伽利略用一个简单的逻辑推理批评亚 里士多德的理论设想一个大铁球与一个小铁球同时下落，按亚里 士多德的理论，大球落得快，小球落得慢。现在 ，再设想把大球与小球绑在一起，同时放手，会 发生什么情况呢？一方面，大球和小球组成了一 个比原来的大球更重的物体，应当下落得比原来 的大球更快；另一方面，大球下落时会被小球拖 住，其速度应该介于大球与小球之间。从同一个 理论出发，推出了互相矛盾的两个结论。 设一块大石头下落的速度为v,将其平分为两半，按 照亚里士多德的理论，每块速度则为v/2, 又若用 细线将石头联接起来，则速度又变为v!这是不可思 议的！1632年:

14、关于两大世界体系的对话伽利略的手稿伽利略的折射式望远镜1609年，伽利略创制了天文望远镜。他观测到月球表 面凹凸不平，并绘制了第一幅月面图。伽利略用望远镜证实日心说1609年伽利略望远镜 1851年伦敦世博会罗斯天文望远镜 1867年巴黎世博会天文望远镜 1893年芝加哥世博会叶凯士天文望远镜 （镜头尚未完工） 1900年巴黎世博会上德隆科尔巨型天文望远镜 1931年爱因斯坦在哈勃（中）陪同下观看胡克望远镜 剑桥大学赖尔综合孔径射电望远镜 1633年: 宗教审判、放弃信仰伽利略受审悔过书在审讯和刑法的折磨下，伽利略被迫在法庭上当众表示忏悔， 同意放弃哥白尼学说，并且在判决书上签了字 。但真理是

15、不可 能用暴力扑灭的。尽管他可以声明放弃哥白尼学说，但是宇宙 天体之间的秩序是谁也无法更改的。伽利略被判终身监禁，在宗教裁 判所的监视下，在佛罗伦萨附近的这 所小屋中度过了他余生的大部分时间 。 1642年1月8日亚里士多德: 物体运动 物体从静止的自然状态到运动， 是由于受到力或冲击作用，所以重 的物体比轻的下落得更快。 寻找支配宇宙的定律，只需要用 纯粹思维，不必以观测检验。 一个球被掷出后，将如 何运动？ 箭离开弓之后，使它继 续运动的力是什么？ 基本问题: 抛物体的运动？位置时间速度时间加速度时间速度时间位置时间位置时间静止匀速匀加速位置是它的速度曲线下的 面积的度量。1234时间速度

16、1234时间位置匀速运动: 摆的研究和运用随着科学技术的发展，人类渴望精准计时日晷（gui）、水漏、沙漏等不够精准伽利略首创数学摆，并发现等时性公式但这只是对单摆才成立的近似公式，即在摆角 小于20度时才具有等时性但这实际刻画的是谐振子（后来发展出波动理论 和电磁理论以及相对论）惠更斯1656年实际造出了以摆位基础的时钟， 每天误差不超过1分钟，后来是10秒惠更斯从实践和理论上研究了钟摆及其理论 1656年他首先将摆引入时钟成为摆钟以取代 过去的重力齿轮式钟伽利略的失败是因为摆锤的运动轨迹-圆弧 不具有等时性。 寻找等时性曲线！ 惠更斯找到了等时线-摆线（旋轮线）-最 早就是由伽利略研究并取名，但不知道它有等 时性伽利略在数学上输给了惠更斯惠更斯研究的出发点是曲线在其上一点附近 的切线、法线、渐伸线、渐屈线。要害是微 分法思想！惠更斯生平1629