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1、年第期总第期福建师大福清分校学报圆锥曲线与二元二次方程翁锦春陈文灶内容提要本文推证了圆锥曲线的标准方程,进而讨论曲线的性质及如何把一般方程化成标准方程的方法,并提出此方法的应用前景。有别于传统方法 的是 无须进行坐标变换 平 移、旋转曲线在原坐标系中的位置一 目了然,揭示 曲线的对称轴与曲线本身的内在联系,并使标准方程与传统方程有机地统一起来。关键词圆锥 曲线,标准方程,对称轴,中心本文讨论方程十犷十仰十仇抑十,所表示的曲线性质及研究方法,时曲线的讨论方法及曲线性质为大家所熟知,本文着重讨论并时的情况所得结论适合时的情形,这里不涉及坐标轴的平移和旋转。我们先讨论如下方程二少犷,。一军一一不于一
2、一二闷一一一言一一一才 下心介今十,盯一仍犷十所表示 的曲线及其性质。以上方程,我们称之为园锥曲线的普通方程。进而讨论如何把方程,化成普通方程。一、园锥 曲线的普通方程引理 设点。,枷关于直线。妙 十。二的对称点为,则的坐标为 召上军等于是黔业一犷。一阮。一证明 设归,丫,丫与才关于直线,妙十。对称直线勿十。垂直平分当吞并时,劣。十,二犷。十梦,“一石一一篇州尸一乙乙冷公十犷十公。十 勿。十”又解得犷一穿。了,一为一票一。加, 一军一酝。鲜。一劣。一梦。一一夕。一阮。一十夕 艺曰当。或为零时,上式显然也成立。推论注。,夕。关于直线夕示二的对称点为勿。一。,。,。,。关于直线夕一二的对称点为今。
3、,一。证明由引理令“一,一,。及。,。一。代入立得。定理方程劣十 叼十,解 一卿,。、,、。,。、一一一一一一孟犷一一一一一州一一一言犷一一一气抓尸沼日奋,叨一叶几二少一以少 几一一表示椭圆,其对称轴分别为直线长轴焦点所在的直线为肠二爪夕介劣一夕十一,犷,其中心为,与的交点,中心坐标为, 二票气早李兰,巡事平玲 协宁介一叨一十介其长轴长为、拼,其短轴长为丫。设正数满足尹二护一驴,由焦距为少了二,。焦“坐标满足方程晚劣一仍,、饥艺几军土十,其坐标为,一一一 十介,二丛牛奥拼竺,尸二些纽子华牛里竺,二卫牛奥井卫竺仍一个路一明一,肠一价一介准线方程为证明当,爪公几夕十士,气二,或。时,不妨假设。,仍
4、笋,粤,一李,卜,甲一、材了, 佩万性刀一一下尸十号犷一一一,杯,心、。 气气一上式表示 一椭圆,其性质为大家所熟知,上式结论显然成立。当。并时,先证二十 叼十是该曲线的一条对称轴 设尸。,。是该曲线上的任一点,则有竺止票土立彩奥二婴土壁一我们证明。,如关于直线。十 叼,二的对称点也在该曲线上,由引理可得的坐标为 碑竺三业竿典黔二鱼丛叨一宁升仍一几,梦。一仍。一,十心、一,、一一,、二 ,记尸的生怀代人万性少阴左边得尸介一仍一介鲜。一执,仍一,飞一叮一飞一一,月一仍一月几爪一礼夕。一仇解。一几,一一。几一价劣。一,几梦。一,一招,一解盯。一路门,几 一州卜仍 一月宁,一一叶招“一寸界仇鲤包上婴
5、州止上十介。一爪梦。直线。叼十月二是该 曲线的一条对称轴。同理可证。一二夕十是该曲线的另一条对称轴。于是其对称中心在两对称轴的交点上,坐标满足仍十介梦,解一仍梦十解得帆坐标为一黑捧告嘿备干杀再证该曲线表示椭圆。为此,解方程组仍十几梦士十舫一仍犷二丫产一岁 得”,一一爪,一仍一解,耐,一几、,一耐一协一材八十矛尹一、,于飞尸一,一甲丫气仲,一夕,尹火一,飞一甲兮一一一一一一,气一一一少 阴一宁乃一仍一宁林一邢卜拜一仍一个肠给定直线仍,子一。,一等一。要证明方程表示椭圆,只须证明 设。,如是该曲线上任一点,则即,为定值。或证明,与到的距离的比为定值。,我们证明后者。设。,犷。是 曲线上任一点,劝劣
6、,佗一呷一一一不了一一,一,一 一二丁一一一八仍叼。,介才。一啊。一一一花目叫一一一一忿共尸一一一 石心则且,一一蠕专矛拼,。味犷牵不一一游二二一,一仇全,仍一,。“一,“”戈释平“仍一,”一】二,驴。心一二。时二,耐一,。一铸江仍一,。, 二。一,。,垫色架止互犷坦二肇坦逻一,二。一。一卜卑华土翟竺土兰逻上式可化为, 二,、。, 蔽下奋戈用。十“梦。十,一了十百一万恤,一“犷。十,一石祷草仁普一“。】“一一一,一, 熹一,。,。衬丫爪丫十下丁 诬又点尸。,如到直线,十。,牛一。的距离为己诬几夕。乙万犷,为定值方程表示椭圆,尸、是相应的焦点和准线,离心、率同理 可证几、肠是其另一对相应的焦点和
7、准线在方程中,令。一,梦得歹尺,乏至三工,八把叶联立求解,可得两长轴端点”坐标,进而可得长轴的一氏用两“ 距离公式,为七瑞羚,同理 可得短轴长为描等,焦距为元羚万定理证毕,仿此可证 定理方程坦土黑士业几一昭一执梦为双曲线,其对称轴分别为直线乙,。呵,二实轴所在直线、一叼一虚轴所在直线,对称中心为,与的交点,中心坐标为。,二梦卫只李全,三孕皇干要 ,护一“一一”、“一护一“耐十川,艺十”,一一二。一一、,议止致衬足扩十扩,则焦肥刀一下共共二共 丫耐十扩则两顶点坐标满足方程组盯一阴夕十仍十几即十,砂焦点坐标满足方程组盯一仍夕柑十几犷士二准线方程为,。犷,士弋了 ,、。公、二娜忿。少,一叨夕,。,、
8、 渐近线方程为二二一乡一二一一共乌门 一”乙口”,代“君洁一一“下面我们证明最后一个命题,即证渐近线方程为证明当,或。之一为零时,命题显然成立当,笋时,方程与 无公共解,两曲线互不相交,作平行于虚轴的直线“,一令设乙交于,口,交 于尸,证明时口口把,一令代入,得一。,蹲告竺一仍 十仍枯一仍忿一一时一一介林明介一介一仍一旅时二,夕,夕,】尸一了券一一一。一设则协几,忍仍忍,几扭林刁几,扭矿护钊丫仍把梦一代入得习,。一代简整理得栩几 一几一。泞栩旅介渺仍介一仍一仍一,驴,十路仿上式可得口,口,丝夕二些丝边坦之以立土巡上立塑 解甲仇月,。一价于是,尸二尸,叫二 二二 卜甘一奄您时介一且口,恒小于,八
9、由此可知方程价梦,斤介一价夕是双曲线的渐近线定理方程二犷,尹。一二梦几夕表示抛物线,对称轴为呵。顶点为两直线,。拼与。二一,的交点焦“坐”满足方程组协忍梦,林一夕一犷即,一介尹,一,拼户 刀否】“至二尸孙一升,气二一 乙一艺 拼介仍十林准线方程为。一仍鲜十勺二 一下厂 证明仿定理,可得,呵,是其对称轴设。,如是该曲线上的任一点,则只要证明即与到直线肚一价夕一普的距离相等,那么该曲线为抛物线,且尸是焦点, 为准线。设。,鲜。是二。夕,。一犷上 的任一点,则二。夕。,。一执犷。一一仍心一二。一二一产一二“州一林“竺夕。十爪尹 竺二攀 军 其里 明林利用方程,可得上式一下卫汾二耘。一“一泞材一、。仇
10、犷。二犷即、一夕。十艺十下了,。,又。,夕。到直线。一二夕一粤的距离为 介一阴夕。十十下犷 丫二十。该方程表示抛物线,升 一一川一二丁 乙执尸且一介,一二份仍十玛十几为焦点乙。一二一导为准线方程 以上定理,对某些曲线性质的研究很有意义,现 举例如下例,已知曲线移,求其顶点坐标,离心率,焦点坐标,准线方程及渐近线方程。解由钾即二可得二夕一一犷,夕一犷刁为双曲线于是由定理得声,、厉石花王、万一、一璐甘编 阵叫下, 八 对称轴为令一梦夕二、厂百及一犷实轴所在直线得妇联立军异立一一即实顶点通,击一,一沙, 、妞、 一一一一公公产、得联立劣犷,一犷二得万一万 犷一,即虚顶点,军一一,场一,实轴长一了了,
11、、一犷 联又戈气梦士得,了万 了万,一户了万,准线方程为犷士篇即乙,一了万,乙了万其渐近线方程为丈一,二刁即例作曲线。,一,一,一刁的图象,并求焦点坐标和准线一一方程解 原方程可化为一,二刁。一设原方程可化为一劝,一久一妇十护十十峨夕一即一夕久几十一久夕久,一令直线人十十一久梦十尸一一与一十久一垂直即令只、一一久得入一于是原方程为一梦夕一由定理得上述曲线为抛物线,对称轴为一夕二又由尸得粤一准线方程为一一即一梦二 焦饭坐标满剐一一”尸言,兮,其顶点坐标满足段士。二夕 一今争图象略例已知双 曲线的两焦点为尸,和准线方程,渐近线方程,、一、。,、一,、,。一。,声吸,匕,且过点卫卜犷,水肠从圈找阴
12、坝点尘怀解显然尸,尸所在的直线为双 曲线的一条对称轴,尸的中心为双 曲线的对称中心,于是有尸俨即对 称轴的方程为冬勺宁。一一卜”,尸的中心 即对称中,。口,设该曲线的另 一条对称轴为乙又在上,一,即十勿一该双曲线方程为劣梦一劣一梦一又尸,而,譬,寸而汽厂乎二月 亚擎叉了万干了一了。,在双 曲线上,】,一“, ,一拼铸冷一那么尺,刁,该双 曲线方程为劣梦一劣一犷一点一劣一军一犷一公一夕一峨即,譬,音、辱下了,誓,誓一篇一、准线方程为十勿一士一一即,夕一夕一渐近线方程为即夕一一夕一乙一刁夕,一一,、,刁、,、 综上 两顶 点坐标为,琴于,答,岑叫一刁山一一 ”一一、两准线夕一二,刁犷一两渐近线一,
13、刁,二、一般二元二次方程的变形方法现在讨论如何把方程七,十灸,十伪十仇十抑,化成前述方程、的形式之一若方程,表示有心曲线 椭圆或双曲线且口。,夕。是其对称 中心,过点夕的直线方程幼夕。招忿万矛、代入,得通刀出七。夕。日一价。犷。七若心。口犷若。犷。尸因为。,枷是曲线的中心,所以对任意的,恒有,即七。匀。刀咖刀。伪。刀对任意的都成立矛”,脚。”一“价。如亦“曲 ”的对称 中。是方程组七。夕。价。仰。十二二的解 、,一一一一一、一、一,、一一、,刀刀一 显 热兰扩一月笋盯,力性们唯一 解,即明找刀月甘阴戏,兵甲甘刀吸节犷丁丁万 口,月粉刀刀一一设,夕犷夕历脚于是方程可化为翎一劣。,夕。又夕刀。先一
14、普。争“号“一,“,一音,合,一。备。一合,户 币犷不石下汤几“,二其中由一,的符号及尹一确定并知一夸巨,。一粤,。一此时叻士冷尹二二十要 乙二二要一乙尹冷尹一下面我们研究如何利用关系式判别方程,的 曲线类型若护一,则对任意的,抓的符号不变,由于了。,如为定值,所以当。,。,时,由刁知,方程,所表示的曲线没有轨迹。当。,犷。夕时,由于一则。,夕。那么,方程所表示的曲线为一个点。,犷。当。,歹。夕时,由知恒有解,说明过点。,梦。的直线与曲线,恒有交点,且耘,则方程,表示的曲线为椭圆又在过椭圆中心的所有弦中以长轴最长,知轴最短,所以,其弦长取极值时的最小正角,就是椭圆对称轴的倾斜角。并知椭圆的半长
15、轴为一。,鲜。一丫一半短轴为一。,夕。丫梦十一,另一方面,从方程可知一公。,梦。夕出口伪一盯劣。,夕。十口由上述求极值时,得到的夕一可得到两个不同的值其积为一,代入上式得到两个值,使得护取较小值的的最小正角口,就是椭圆短轴的倾斜角 使得护取较大值的的最小正角。,就是椭圆长轴的倾斜角若少一,则抓可正可负也可为零由于了。,如值不变当了。,如且抓时,方程有无数组 的解,曲线与直线有无数个交点,而当。,如,并时,方程有唯一解,即曲线与直线仅有一个交点此时,曲线退化成两相交的直线,两相交直线的倾斜角的正切值可如下求得并否则口注班夕,则夕一士丫护一方程,所表示两相交的直线是犷一犷。一士丫尸一口一劣。当。,犷。护时,有心曲线与过夕的直线不恒有交点则方程,所表示的 曲线为双曲线。因为护,所以使一劣。,梦。一。,梦。一了护一丫护十一取 正值的最小正 角口为双 曲线实轴所在的直线的倾斜角,相应的正值为半实轴的平方。则另一即为双 曲线虚一一轴平方的相 反数。丫在双曲线中梦州十一一二那么了石忍干而二,一、引十一了护千一,一蕊。即注了少通一,一了石方一因此,当一,。时半实轴为蕊一。,即。一丫护二亡飞半虚 轴
