《非局域非线性介质中的旋转孤子团簇》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非局域非线性介质中的旋转孤子团簇（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、摘要傍轴光束在非局域非线性介质中的传输满足非局域非线性薛定谔方程( N N L S E ) 本论文主要利用数值模拟的方法详细研究了响应函数为高斯型的强非局域非线性介质中l + 2 D 空间环形光孤子团簇的传输特性本论文共分三章，主要内容如下：第一章，从理论和实验两方面介绍了近几年来强非局域介质中光束传输的研究进展，并对孤子团簇理论进行了详细的介绍第二章，利用变分方法求得了单孤子解的各个参数，包括振幅，束宽和传播常数，并对由等相位间隔单孤子叠加而成的圆环形孤子团簇进行数值模拟，发现孤子团簇即便是在有很强微扰的情况下仍然能够保持稳定的旋转传输，并且当相邻孤子之间的相差0 P c 时光束先压缩，当P
2、 R ) 或展宽( P R 时光束先压缩，当P 4 时双峰孤子也不能保持稳定传输，而将发生熔合，记b t h 一4 ，当6 c r 4 时，即b = 1 0 时双峰孤子依然能够保持稳定传输，而图1 t l O ( c ) 却指出b 4 时，即b = 1 0 时双峰孤子不能保持稳定传输)在响应函数是高斯型的三维非局域自聚焦介质中，Y a k i m e n k o 等人用数值模拟方法详细讨论了双峰孤子的运动特性阎当入 入盯，孤子在加入微扰后也能保持稳定的传输，其中b 2 1 是临界值，A 0 7 时，孤子之问的吸引力就2 7会强于排斥的离心力，孤子团簇就会先压缩从图2 1 ( b ) 中我们可看
3、出此稳定的束缚态发生在d = 0 7 ，此时孤子之间的吸引作用和由角动量所导致的排斥的离心力作用达到平衡，因而孤子团簇就会以束缚态的形式保持稳定的旋转传输但是，当环半径d = 3 时，孤子将不再旋转，而以线性谐振子的形式发生周期性的碰撞，如图2 1 ( 0 ) 值得一提的是，当相邻孤子之间的相差为0 时，即各个孤子间同相差时，无论环半径多少，孤子之间都能发生强烈的相互作用，不能保持稳定的传输状态，此刻我们仅以d = 2 的情况为例加以说明，如图2 1 ( e ) 所示套历Co 一 三图2 2 ：强微扰情况下的孤子团簇的演化图，此时d = 0 7 为证明孤子的稳定性特征，接下来我们将对加入了强微
4、扰的光束进行数值模拟，则光束的初始输入变为矽0 ) = f ( r 3 1 + 叼( 力 【b ，捌，其中f ( r 3 是孤子团簇的稳态解，g ( r - ) 是正则分布的随机函数，其平均值为0 ，方差矿= 1 ，标准偏差o r = 1 叼( 力代表随机微扰，c 值越大代表微扰越强这里我们通过对c = o 1 时的孤子团簇的传输特性进行数值模拟，发现在Z = 2 0 时孤子团簇变得极其稳定以致于和无微扰时孤子波形的偏差微乎其微，此刻我们可以说孤子团簇的演化非常稳定图2 2 显示了c = 0 1 ，N = 3 时孤子团簇的演化图2 3 解析计算结果及对所得结果的讨论2 0 0 6 年，Y a
5、k i m e n k oAI 等人利用变分方法，通过对拉格朗日量的分析发现系统拉格朗日量的极小值处所对应的孤子束宽和孤子间距恰好能使双峰孤子保持束缚态形式的稳定传播，这些结果已经被他们的数值模拟所证实1 8 在本文中，我们利用基模单孤子解来叠加孤子团簇，也发现强非局域非线性介质中系统拉格朗日量的极小值处和孤子团簇的稳定传输紧密相关，并且数值模拟证实此种方法方2 8法和我们的数值结果吻合得很好下文就是我们对所使用的方法和结果的详细描述2 3 1 孤子团簇的拉格朗日量的分析及其与数值模拟的比较为和上文中的数值模拟保持一致，本章节中我们仅对= 3 的情况给予详细的解释将E q s ( 2 2 )
6、，( 2 3 ) 和( 2 4 ) 代入到E q ( 2 5 ) 中，可得对于士等( m = 士1 ) ，任意响应函数形式的拉格朗日量一：胁入 _ 1 + e 种, 砑3 d 2 ，H 型竺甓掣竺盟+ 芸n a A t 坤( 一蒹) - l + e 冲( 孬3 d 2 ) 1 J - 4 a 2 ，y , - 铲，y + 4e X p ( 孬3 d 2 )( 0 2 7 + d 2 7 一) + 4 R 0l ，( 2 1 2 )及零相差( m = 0 ) 情况的拉格朗日量 L z 脚入 - 1 _ 2 卅砑3 d 2 ，H 型坐笺掣+ 兰凸a A a 丌。e 冲( 一3 d 2 ) 2 +
7、e 印( 孬3 d 2 ) 4 n 2 7 + d 2 7 + 2 e 印( 慕)( 口2 7 + d 2 ，y R o ) 一4 R o l ，( 2 1 3 )其中振幅A ，束宽a 和传播常数A 分别和E q s ( 2 8 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 有相同的形式N = 3 情况下响应函数为高斯型的拉格朗日量曲线图如图2 3 所示，从图中我们可看出对m = 土1 的情况，曲线于d 盯= 0 7 4 处存在一个极小值，而当环半径从零逐渐增大的过程中m = 0 的曲线单调递减，不存在极小值，这一现象说明：只有在m = 士1 的时候才存在稳定的孤子束缚态，对于m = 0 则不存
8、在并且众所周知的是：强非局域介质中光孤子之间的相互作用总是相互吸引的1 1 ，如果这种相互吸引作用和由楼梯状相位分布所导致的排斥的离心力作用达到平衡时，孤子团簇将在某一确定的环半径如处保持稳定的旋转传输 1 3 1 4 1 ，如果环半径小于2 9_ IC 亿 西C 歪西 日1R i n gr a d i u s ，d图2 3 ：拉格朗日量的曲线图，实线对应m = 士1 的情况，星线对应m = 0 的情况或者大于d 盯，孤子团簇将会展宽或者压缩，这一现象已在我们的数值模拟中被证实，分别如图2 1 ( a ) 和2 1 ( c ) 所示对比图2 1 我们可知此解析结果和我们的数值模拟结果很吻合，能
9、很好地解释我们的数值模拟结果2 3 2 对孤子团簇的角速度的讨论我们的数值结果也可由对角速度的讨论来解释，其形式为u = 了M ，( 2 1 4 )其中，= f I 矽1 2 r 2 d 2 f = p d 2 ，是孤子团簇的转动惯量， M = 丢尹( 砂V ! f + 一妒+ V 州2 ，( 2 1 5 )是角动量图2 4 是三束光的角速度曲线分布图，从图中我们可以看出如果d 3 ，u 0 ，我们可得出结论：此时孤子团簇将不再旋转，孤子之间保持强烈的相互吸引作用从而发生周期性的相互碰撞，和孤子之间的相差无关，这一现象也在我3 0R i n gr a d i u s ，d图2 4 ：角速度曲线
10、图，横向为环半径坐标们的数值模拟中被证实 图2 1 ( d ) 】，如果孤子团簇的演化是稳定的，图2 i ( 5 ) 显示由数值模拟所得的角速度为u = 7 r l o = o 3 1 4 ，而E q ( 2 4 ) 给出了一个相似的解析结果u = o 3 5 7 由于M = ，u 和功率P 和角动量M 都是守恒的【，1 4 1 ，如果避，r 增大，u 必定会随之减小【4 U 】此种解释同样能够合理的说明我们所得结果：当环半径增大时孤子之间只发生强烈的相互作用，即零角速度，而当且仅当环半径较小时孤子团簇才保持它稳定的旋转传输需要强调的是，当m = 0 时，u = 0 ，所以曲线只是对应m =
11、- I - 1 的情况2 3 3 对孤子团簇旋转方向的证明我们还发现孤子团簇的旋转方向和拓扑指数的取值有关，这一现象可通过我们对角动量的分析来讨论，将E q s ( 2 2 ) 和( 2 3 ) 代入到积分E q ( 2 1 5 ) 中，可得 1 3 ，1 4 M = 7 r A 2 e x p ( Y 七) f 磊最Is i n 8 七，( 2 1 6 )n ，k = l其中K 七= - ( d a ) 2s i n 2 丌( 几一k ) g ，如七= O L n O l k 从E q ( 2 1 6 ) 我们可知角动量的符号由s i n 口。七决定，就是说当相邻孤子之问的相差分别在区间0
12、L母一：ac 、 主= 价CoJ _C 、皇c ，)C a ) J - C图2 5 ：( a ) 当m = 1 时，孤子团簇的旋转方向和相位梯度方向相反，( b ) 当m = - 1 时，孤子团簇的旋转方向和相位梯度方向相同，两图具有相同的参数N = 3 和d = o 7 。7 r 吲 2 7 r 时，孤子的旋转方向是不同的。我们的数值模拟也证明了这一预想从图中我们可以很明显的看出当m = 1 时，孤子团簇的旋转方向和相位梯度方向相反，当m = 一1 时，孤子团簇的旋转方向和相位梯度方向相同要强调的是，这种旋转完全归功于楼梯状相位分布所导致的净角动量的产生，也即：即便没有横向角速度孤子团簇仍然
13、能够旋转2 3 4 拓展到多孤子情形以上我们的方法对任意个孤子数都成立，本文仅以N = 4 加以说明此时相邻孤子间的相差只有7 r 和7 r 2 两种情况，将= 4 时的E q s ( 2 2 ) ，( 2 3 ) 和( 2 4 )代入到E q ( 2 5 ) 中，并且假设响应函数取E q ( 2 1 1 ) 的形式，我们可求得四孤子的拉格朗日量将N = 4 时的E q s ( 2 2 ) ，( 2 3 ) 和( 2 4 ) 代入到E q ( 2 5 ) 中，可得对于三相差( m = 1 ) 情况下，任意响应函数形式的拉格朗日量己= 2 A 2 丌- 1 + ( - 一孑d 2 ) e 印(
14、一等) + 2 a 2 A 一l + e 印( 一豢) 一4 触e X p ( 一翱_ 1 + 唧( 绷- a 2 7 + 凰+ ( a 2 7 + d 2 7 - - R o ) e X p ( 鲫，一 C 亿 西C 歪西 3R i n gr a d i u s ，d图2 6 ：四孤子情况下的拉格朗日曲线图实线为相邻孤子间相差为丌的情况，星线为相邻孤子间相差为7 r 2 的情况及丌相差( 仇= 2 ) 情况的拉格朗日量L = 2 A 2 丌e 印( 一万2 d 2 ) 一+ e x p ( 嘉) 一e 印( 豢) ( d 2 + n z ( 一l + e 即( 嘉) ) ) 一2 a 4 入
15、e 印( 蓦) ( - l + e 印( 嘉) )一4 n 6 4 2 丌- l + e 印( 孬d 2 ) ) 2 ( 一a 2 7 + 凰+ ( a 2 7 + d 2 7 - R o ) e 砷( 嘉) ) ) ，其中振幅A ，束宽a 和传播常数A 分别和E q s ( 2 8 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 有相同的形式图2 , 6 给出了响应函数为高斯型的不同相差情况下的四孤子拉格朗日曲线图对于相邻孤子间的相差是7 r 2 的情况，解析结果显示稳定的旋转传输态发生在如= o 5 4 处【图2 6 】，我们的数值模拟显示稳定的束缚态出现在d = o 5 1 处【图2 8 ( a ) 】，可以看出此结果吻合的很好从E q ( 2 1 6 ) 我们也可知道在以下两种特殊情况下孤子团簇的角动量为零：1 ，对于任意孤子团簇，当m = k N ( 庇= 0 ，1 ，2 ，)时；2 ，对于由偶数个孤子组成的孤子团簇，当m = ( 2 k + 1 ) w 2 ( k = 0 ，1 ，2 ，)时所以对于相邻孤子之问的相差为丌的情况，孤子的角动量为零，在合适的环3 3R i n gr a d i u s ，d图2 7 ：四孤子情况下的角速度曲线图半径处，孤子将保持绝对稳定的无旋转传输图2
