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1、数学通报2 0 ( Y7 年第4 6 卷第3 期数学探究从课本题扬帆起航对一道解析几何习题的探究华志远( 江苏无锡市第一中学2 1 4 0 3 1 )新的高中课程改革的帷幕已徐徐拉开， “ 数学 探究” 、 “ 数学建模” 、 “ 数学文化” 犹如三颗璀璨的明 珠， 在新课改殿堂中尤为耀眼夺目， 凸现出注重培 养学生综合素质和创新意识的多元课程观. 但怎样 科学、 有序、 高效地组织教学， 许多教师都觉得心中 没底.以“ 数学探究” 为例， 笔者从目前的一些研究 课、 示范课中， 就发现存在着两种错误的解读一 种 是概念的窄化， 将数学探究等同于初等数学研究， 即通过数学探究， 非得要得出一些
2、新奇的惊人之 作， 而这只能是教师的一厢情愿; 另一种是概念的 泛化， 将一般的新授课得出的概念、 公式、 定理都称 之为数学探究的成果. 于是， 教学形式又回到“ 老师 讲， 学生听” 的老路上去.那么， 究竟怎样才能把握这一模块的教学呢? 此处笔者无意总结出关于数学探究课的具体操作 模式， 因为数学探究本身千姿百态， 很难用“ 线性” 的思维加以审视， 倒是更倾向于从这样一个角度去 理解数学探究的价值: 作为培养学生理性思维和创 新意识的载体， 数学探究重要的不仅仅是去得出多 少美妙的结论， 而是从学生现有的认知水平出发， 通过独立探索去体验这一活动过程中执著、 多元、 不畏艰难、 富有理
3、智的创造性思考， 从而起到数学 探究独到的育人功能， 如探究过程中的执著与坚 韧， 论证过程中的务实与严谨， 发现过程中的开拓 与超越， 数学结论本身的和谐与奇异， 以及给人带 来的惊喜与陶醉， 等等.当然， 一线教师又生活在理想与现实的矛盾之 中. 由于数学探究耗时较多， 免不了担心探究性学 习是否会影响高考成绩. 事实上， 高考命题的宗旨 是“ 源于教材， 高于教材” ， 这样既有利于中学教学 的有序推进， 又有利于高校选拔人才. 这就是为什 么每年高考， 总有部分试题让人觉得有“ 似曾相识 燕归来” 之感， 因为高考题与课本题本来就血脉相 连. 因此， 从课本题出发加以变式、 改造和拓展
4、， 可 以提高复习教学的针对性和有效性， 从而告别茫茫题海. 可见， 对课本的例题、 习题的深人探究， 无论 是对于学生数学素养的提高， 还是对于考试要求的 把握， 都有着极其重要的价值. 这里， 选择课本题的 典型性和变通性显得尤为重要.例如， 高二解析几何教材上有这样一道习题: 在 椭 圆 x 2 +兮J1 上求一点， 使它与两个焦点的连-一 三20线互相垂直. ” 全国和各省市高考中就多次以该题 作为命题背景， 考查学生运用函数与方程、 数形结 合、 分类讨论、 等价转化等数学思想方法解决问题 的能力， 把该题作为数学探究的素材， 有利于探究 性活动的不断深人. 1 解决问题的不同途径设
5、两个焦点分别为 F l , F 2 ， 满足题设的点为 P ( x ， y .思路1 由P F ， 和P i 、 的 斜率乘积为一 1 或勾 股 定 理 或 向 量 - - P F , 和 P F 2 的 数 量 积 为 零 ， 得 出二 ， + 尹二2 5 ， 再与 椭圆 方程联立解方程组得出 该点坐标 为住 3 , 4 ) , ( 士 3 ， 一 4 ) .思路2 由图 形的 性质知， 点尸 必定在以F , F 2 为 直径的圆 上， 再得出护+ 尹二 2 5 ， 以 下同 上.思路3 由 椭圆的定义得 I P F , I + I P F 2 I = ， 又I P F , 1 2 + I
6、P F 2 1 2 =1 0 0 ， 于是! P F , ! 二4 0 ，故点 P的纵坐标的绝对值为I P F 2 I厕PFzPFI ，11! F , 凡 ! ( 土3 , 4 ) , ( 士3 ,其它思路=4 ， 于是得满足题意的点的坐标为一4 ) .也可从焦半径或从椭圆的参数方 程找到解题的突破口.很明显， 思路 1 , 2 是基本方法， 而思路3 及焦半 径法则抓住了圆锥曲线定义这一特性， 简化了运 算. 通过以上各种解题途径的尝试与比较， 不仅能 唤醒对各种知识和方法的回忆， 而且丰富了我们对 通性通法内涵的理解， 强化了解题的求简意识. 2相关裔考题抽彩回放 例 ;( 2 0 0 0
7、 年 全 国 高 考 题 ) 椭 圆 x 2 + 军，兮二1 的2 0 0 7 年第4 6 卷第3 期数学通报焦点为F 1 . 凡， 点P 为其上的 动点. 当乙F l P F 2 为钝 角时， 点尸 横坐标的 取值范围 是_.剖析由于同圆中同弧所对的顶点在圆内的 角大于顶点在圆周上的角， 也大于顶点在圆外的 角， 故当P 在椭圆和以F I 凡为直径的圆的 交点间的 上下两 段弧上时， 匕F , P F 2 为钝角. 而当艺F I P F 2 为 直角时， 利用前面的方法可求得其横坐标为 土 粤 朽 ， 故 符 合 题 意 的 点尸 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为一 5 “ J目 ，
8、” 研 J 、 、 ” 甲 卜一 “ J ” 甲 一 卜1 以/ 子l 3 二3 二 5 一 5 一 I 可见， 本题只是把课本的数据和提问角度稍作 改变和调整.利用思路1 和思路2 ， 即假设这样的点存在， 其 坐 标 为 ( x , ， ) ， 则4 x 2 + 9 y 2 = 1 8 0 , x 2 + ， ， 二 m 2 ， 解 得5 x 2 二 9 ( M 2 一 2 0 ) , 5 y 2 = 4 ( 4 5 一 m 2 ) ， 又y =A 0 ， 故 扩) 0 , 尹 0 ， 于 是可得当2 朽鉴m “ ， 0 ， 上 是三9若到例 2 (2 00 4 年 湖 北 高 考 题 )
9、 已 知 椭 圆 菇 + =1 的 左右焦点分别为F 1 . 凡， 点P 在椭圆上. P , F F 2 是一个直角三角形的三个顶点， 则点尸 X轴的距离为 ( B )3 (C ) 绰由 于a二4 , b二3 , c= 行 b ， 即a 径b 时， 这样的 点有4 个; 当c 二6 ， 即a= 在b 时， 这样的 点有2 个; 当。 0 ) 的连通过这样多方位、 多角度、 多层次的探究活动， 可以使学生的思维品质不断得以提升， 并从中体验 到数学发现给人带来的渝悦 感和成就感.在开展“ 数学探究” 之初， 集中一段时间进行学 习是很有必要的， 它可以让学生感悟数学探究的一 些思想方法和基本策略， 但真正要改变学生单一的 学习方式， 提高学生的综合素养， 还要靠平时的不 断渗透， 以起到“ 润物细无声” 的效果.
