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1、Classified Index：O221.4 U.D.C.: 519.211 A Dissertation for the Master Degree in science ALMOST SURE CENTRAL LIMIT THEOREM FOR THE PRODUCT OF THE PARTIAL SUMS UNDER THE RANDOM VARIABLES SEQUENCES Candidate： Song Jiale Supervisor： Prof. Wang Li Academic Degree Applied for： Master of Science Speciality
2、： Probability and Statistics Affiliation： Department of Mathematics Date of Defence： June, 2009 Degree-Conferring-Institution： Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 - I - 摘 要 概率极限理论不仅是概率论的主要分支之一，而且也是概率论其它分支 以及数理统计的重要理论基础。前苏联著名的概率学家 Kolmogorov 曾说 过： “概率论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能 去理解概率论中基本概
3、念的真正含义。 ”经典的中心极限定理是概率论的重 要基础，它已被广泛应用于统计、自然科学、工程学和经济学等领域，其方 法和结果还将继续对概率论的其它分支，数理统计产生巨大影响。而几乎处 处中心极限定理（Almost sure central limit theorem,简称 ASCLT）则是近二 十年来概率极限理论研究的重要方向之一。 自从 Brosamler 和 Schatte 在 1988 年首先提出了独立同分布随机变量序 列的几乎处处中心极限定理以来，Berkes、邵启满、Multa 等都对几乎处处 中心极限定理做过研究。本论文将在前人给出的一些随机变量序列几乎处处 中心极限定理相应结果
4、的基础之上，对不一定同分布的随机变量序列部分和 乘积的几乎处处中心极限定理进行了讨论。 首先，我们介绍了有关几乎处处中心极限定理的研究进展，给出了一些 相依随机变量序列的几乎处处中心极限定理。 其次，我们在不一定同分布的条件下，讨论了鞅差序列部分和乘积的渐 进正态性，并且在此基础之上，证明了强混合鞅差序列部分和乘积的几乎处 处中心极限定理。 再次，我们还在适当的条件下，证明了不一定同分布的、-混合序列部分和乘积的渐近正态性。 最后，我们介绍几乎处处中心极限定理在统计学中的研究进展，介绍了 关于顺序统计量、U-统计量的几乎处处中心极限定理的一些结果。 关键词 几乎处处中心极限定理；鞅差序列；、-
5、混合随机变量序列；部分和乘积 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 - II - Abstract Probability limit theory is not only one of the main branches of probability theory, but also is an important theoretical foundation of other fields of probability theory and mathematical statistics. The famous Soviet probabilist Kolmogorov said: “only
6、probability limit theory can reveal the epistemological value of probability. Without the theory，you could not understand the real meaning of the fundamental conceptions in probability.” The classical central limit theorem is an essential foundation of probability theory, which is extensively applie
7、d to statistics, nature sciences，engineering and economics, etc. Its methods and results will continue to have great influence on other fields of probability theory, mathematical statistics, and their applications. The almost sure central limit theorem have become an important field of the study of
8、probability limit theory in recent decades. Ever since Brosamler and Schatte proposed the almost sure central limit theorem of i.i.d. in 1988, a lot of people have studied the theory. In this paper, based on the existing conclusions, we discuss the ASCLT from the following three aspects: Firstly, we
9、 give some introductions about the ASCLT of some dependent random variables. Secondly, under the assumption of nonidentical distribution, we prove the asymptotic distribution of the product of martingale difference sequence sums. Based on that conclusion, we prove the almost sure central limit theor
10、em of the product of martingale difference sequence sums under -mixing. Besides, under the assumption of nonidentical distribution, we also prove the asymptotic distribution of the product of 、-mixing partial sums. Finally, we give some introductions about the ASCLT in Statistics. Keywords almost su
11、re central limit theorem, martingale difference sequence, 、-mixing, product of partial sums 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 - III - 目 录 摘 要 . I Abstract . II第 1 章 绪 论 . 1 1.1 课题来源 . 1 1.2 研究目的和意义 . 2 1.3 国内外研究现状及分析 . 3 1.4 本文的主要研究内容及结构 . 4 第 2 章 相依随机变量序列的ASCLT . 5 2.1 引言 . 5 2.2 一些弱相依随机变量序列ASCLT的主要结果 . 5 2.3 一类新弱相依条件下随机变量序列ASCLT的主要结果 . 12 2.4 其它相依随机变量序列ASCLT的主要结果 . 15 2.4.1 平稳序列的ASCLT . 15 2.4.2 NA（PA）及LNQD序列的ASCLT . 23 2.5 本章小结 . 25 第 3 章 随机变量序列部分和乘积的ASCLT . 26 3.1 引言 . 26 3.2 鞅差序列部分和乘积的渐近正态性 . 29 3.3 强混合鞅差序列部分和乘积的ASCLT .
