《公理化方法与公理系统》由会员分享，可在线阅读，更多相关《公理化方法与公理系统（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Ab s t r a c tA s a n i m p o r ta n t m e t h o d o f t h e m o d e rn l o g i c re s e a r c h , T h e A x i o m a t iz a t i o n h a s b e i n g s t u d i e d f o r a l o n g p e r i o d : fr o m A r i s t o t e l i a n s y l l o g i s m l o g i c , S t o i c p r o p o s i t i o n a ll o g i c o
2、f a n c i e n t G r e e c e t o i n c o m p l e t e f o r m a l a x i o m a t i c s y s t e m c o n s t i t u t e d b y E u c l i d o f A l e x a n d r i a , a n d f i n a l l y c a m e t o c o m p le t e f o r m a l a x i o m a t i c s y s t e m s o f m o d e ms c i e n c e w h i c h F r e g e , H
3、il b e r t , R u s s e l l e s t a b l i s h e d . T h e re s e a r c h o f t h e a x i o m a t i z a t i o n l a s t e d f o r m o r e t h a n 2 0 0 0 y e a r s . D u r i n g t h a t p e r io d , t h e a x i o m a t i z a t i o n w a s e n r i c h e d , f r o m s u b s ta n c e a x i o m a t ic s t
4、 o f o r m a l a x i o m a t ic s , t h e n t h e p r o o f t h e o ry , c o n c e p t , p r o p o s i t i o n a n d in f e re n c e h a s b e e n a b s t r a c t e d i n t o s y m b o l , f o r m u l a a n d ru l e s o f t r a n s f o r m a t io n . T h e a x i o m a t i z a t i o n p l a y e d a n
5、 im p o r t a n t r o l e i n t h e d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c s a n d l o g i c , a n d it h a s b e e n w i d e l y a p p l i e d in o t h e r p h y s i c a l a n d s o c i a ls c i e n c e d o ma i n .T h e t e x t s u m m a r i z e d t h e w h o l e p r o c e s s o f t h e a x
6、 i o m a t i z a t i o n w h i c h h a s b e e ns t u d i e d f o r m o re t h a n 2 0 0 0 y e a r s . B a s e d o n d i ff e re n t p h a s e s s k e l e t o n , n o t o n l y t h e w r i t e r e x p a t i a t e d t h e p r i m i t i v e s y m b o l s , d e f i n i t i o n s , a x i o m s , ru l e
7、s o f i n f e re n c e , a n d d i ff e r e n t c h a r a c t e r i s t i c o f a x i o m a ti c s y s t e m , t h e n e c e s s i ty , i n e v it a b i l i ty e v e n t h ei n e v i t a b l e l i m i t a t i o n w e r e a l s o b e e n e x p a t i a t e d .K e y w o r d : f o r m a l i z a t i o n
8、, T h e A x i o m a t i z a t i o n , p r i m i t i v e s y m b o l s 七 a n s f o r m a t i o n r u l e南开大学学位论文版权使用授权书本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容: 按照学校要求提交学位论文的印 刷本和电 子版本;学校有权保存学位论文的印 刷本和电 子版， 并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文;学校有权提供目 录检索以 及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务;学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版;在不以 赢
9、利为目 的的前提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。学 位 论 文 作 者 签 名 : 和 2-l- ) 年 了 月 / 日经指导教师同 意，授权书。 指 导 教 师 签 名 :本学位论文属于保密， 在年解密后适用本少气F沼公 /学位论文作者签名:解密时间:年月各密级的最长保密年限及书写格式规定如下:南开大学学位论文原创性声明本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行研究工作 所取得的成果。 除文中己 经注明引用的内 容外， 本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、 已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出 贡献的其他个人和
10、集体， 均己在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。学位论文作者签名:年月日前言 公理学概述前言 公理学概述公理系统就是从一些叫做公理的命题 ( 或公式) 出发， 根据演绎法， 推导出 一系列定理的 演绎体系。 从历史发展的 脉络来看，公理 系统经历了 实质公理学、 形式公 理学和证明 论， 一开始只是在数学的范围内 应用并考察这些体系， 后来发 展到逻辑学的领域， 如命题演算系统、 谓词演算系统和其他非经典逻辑系统， 证 明论也 属于 现代逻辑的范畴。 公理学 所研究的 对象、 性质和关系， 称为它的“ 论 域” ， 这些对象、 性质和关系由 初始概念来表示。根据“
11、 一个公理系统只有一个论域” 的原则建立起来的公理学， 称为实质公理学。 这种公理学是对经验知识的系统整理， 公理一般具有自明性。 欧几里得几 何、 皮亚诺自 然数算术和牛顿力学都是实质公理学。 与实 质公理学 相区别， 形式 公理学不预先给定任何论域， 系统中选出 少数不定义的概念和不证的命题作为初 始概念， 公理可以看成是初始概念的定义( 称为“ 隐定义11 ) ， 对初始概念经过不 同的解释， 一个形式公理系统可以有许多论域。 布尔代数( 逻辑代数) 的公理系 统就是形式公理系统， 它的论域在一种解释下是类， 在另一种解释下是命题， 也可以解释为电路上的接点.公理系统的发展史一般被划分为
12、三个时期: 一、 古代逻辑， 最辉煌的成就是亚里士多德三段论逻辑和斯多葛命题逻辑; 二、 从欧几里德 几何原本到希尔 伯特的 几何基础 ， 经历了大约两千三百年，实质公理学发展成为形式公理学 的过程，是公理系统形式化发展的时期。 三、 现代形式公理系统逐渐发展成熟， 从布尔 和德摩根开始， 通过弗雷格和罗素所作的 杰出 贡献， 公理系统的 形式化得到迅速发展.第一章 公理化方法的萌芽第一章 公理化方法的萌芽第一节 亚里士多德:公理化方法的创始人公理方法是从数学( 主要是几何学) 和逻辑学的发展中产生出来的。 亚里士 多德在 分析篇 中在历史上第一次对公理方法作了论述。 亚里士多德在 前分 行篇
13、 第一卷中详细探讨了 三段论的各种有效形式。 确定了 三个格十四个式， 并 且制定了 三段论的四条规则， 以 保证三段论推理的正确性。 亚里士多德把三段论 的 十四 个式中的后十二个式还原为第一格A A A和E A E 两个式。 这样A A A和 E A E 就成为三段论整个体系的公理，而整个三段论体系就成为一个公理系统. 亚里士多德认为: 演绎证明的 科学( 数学) 是关于某一 个确定的领域的全部真命 题， 这些命题可以区分为两类: 一类是基本命题， 即公理和公设， 公理是一切科 学所共有的 真理， 而公设则只是为某一门科学所接受的 第一性原理， 他把逻辑原 理 ( 如矛盾律、 排中律、 等
14、量加减等量后结果相等的规律等) 都列为公理: 另一 类是从基本命题推出的命题， 即定理。 同时， 在命题中所使用的全部概念也区分 为两类， 基本概念和从基本概念派生出 来的 概念， 即运用定义由基本概念直接或间接加以规定的概念.亚里士多德提出了三个逻辑要求。 第一， 公理必须是明显的， 因而是无需加 以证明的; 公设无须是自 明的， 其是否真实应受所推出 结果的检验， 但它仍是不 需加以 证明而被采用的 命题: 基本概念无需加以 定义， 是直接可以 理解的。 第二， 由 公理 证明定理时， 必须遵守 逻辑规律与推理规则: 第 三， 通过基本概念以 直接 或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下
15、定义的逻辑规则。亚里士多德对概念、 命题、推理以 及基本思维规律作了系统的研究和阐述， 奠定了公理方法的基础， 把逻辑尽量接近于作为典范的 数学， 并在当时可能的范围内 赋予逻辑以数学的形式。 但是， 他在逻辑中并没有系统的 应用公理方法， 他对逻辑只做了某种程度的公理化.第一章 公理化方法的荫芽第二节 斯多葛学派:初步勾画现代命题演算的轮廓斯多 葛逻辑是通过麦加拉学派， 特别是斯底尔波、 第奥多鲁和弗罗辩论术的 传授，由 芝诺创始并由 克里西普斯沿着和亚里土多德逻辑不同的方向 发展完善的。斯多葛学派对命题逻辑的 研究为推进形式逻辑的发展做出了 重大贡献。 斯多葛学派在研究复合命题的 理论基础
16、上， 构造出最初的命题逻辑的公理系统。 在命 题公理系统中， 克里西普斯提出了具有公理性质的五个推理模式。 他们这些推理 模式， 斯多葛称它们为非被证明的论证， 我们称之为公理。基本模式是:1 、如果第一则第二:第一; 所以 第二。 2 、如果第一则第二;并非第二;所以并非第一。3 、并非既是第一又是第二; 第一;所以并非第二。 4 、或者第一或者第二;第一;所以并非第二. 5 、 或者第一或者 第二;并非第二; 所以 第一。 用现代符号可以表示成: ( 1 ) ( ( p -q ) np )-q( 2 ) ( ( p -q ) A - 1 ) ( 3 )( ，( P nq ) p )- , q( 4 ) ( ( P o a ) p )-q ( 5 ) ( ( P v q ) n , P ) -q这五条公理的 特点是， 每条必有二个前提， 一个是复合命题， 一个是简单命 题. 克里西普斯和他的继承者认为， 这对于最简单的一种推理来说是主要的: 这 五条公理的内 容包括了斯多葛学派所承认的各种不同的复合命题的论证， 这说明 构造公理系统的思想己 经
