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1、第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0rr 的区域有影响，对0rr 的区域无影响。据题意知 )()(0rUrUH 其中)(0rU是不考虑这种效应的势能分布，即 rzerU024）（ )(rU为考虑这种效应后的势能分布，在0rr 区域， rZerU024)( 在0rr 区域，)(rU可由下式得出， rEdrerU)( )( 4)( ,434 4102 003 003 3 0342 0rrrZerrrrZerrZe rE00)( rrrEdreEdrerU 002 023 0021 44
2、rrrdrrZerdrrZe )3(84)(822 03 002002 22 03 002 rrrZe rZerrrZe)( 0rr )( 0 )( 4)3(8)()(00 02 22 03 0020 rrrrrZerrrZe rUrUH 由于0r很小，所以)(2022 )0(rUHH，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态raZ eaZ02/1 3 03 )0( 1)( ） dHE)0( 1*)0( 1)1 ( 1 00 02202 22 03 0023 03 44)3(8rraZ drrerZerrrZe aZ0ar ，故102 raZ e。 0003 00240422 03 03 0
3、024 )1 ( 1)3(2rrrdraeZdrrrrraeZE2 03 00245 05 03 03 00242)5(2raeZrrraeZ 2 03 002410raeZ 2 03 02452raeZs # 5.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小， 用微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取 的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 cos 21 222 DLIDILH取cos, 212)0(DHLIH，则 HHH)0(由于电场较小，又把H 视为微扰，用微扰法求得此问题。 )0(H的本征值为2() 1(21IE 本征函数为 ),()0(mY
4、)0(H的基态能量为00 0）（E，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 )0()0( 02 0)2( 0HEEE ddYDYdHHmsin)cos(00*)0( 0)0*( 0ddYYDmsin) (cos00* ddYYDmsin41 3410* ddYYDsin 310* 013D IDID EEE22 22 1222 )0()0( 02 0)2( 031 ) 1(32H # 5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201EE及，现在受到微扰H 的作用，微扰矩阵元为bHHaHH22112112，；ba、都是实数。用微扰公式求能量至二级修 正值。 解：由微扰公式得 nnnHE)1(m
5、mnmn nEEHE)0()0(2)2(得 bHEbHE22)1 ( 0211)1 ( 01020120012 1)2( 01EEa EEHEmmm 010220022 1)2( 02EEa EEHEmmm 能量的二级修正值为 02012011EEabEE 01022022EEabEE # 5.4设在0 t时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场 可以近似地表示为t sin ， 及 均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表 示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。 解：当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 241minmin2seEE
6、hvhevs 24min234191062. 6106 . 16 .13Hz15103 . 3 0 t时，氢原子处于基态，其波函数为 0/3 01ar ke a 在t时刻， rpime 2/3)21( 微扰 )(2sin)(titieeiretretH)(titieeF 其中ireF2在t时刻跃迁到电离态的几率为 2)(taWmmktti mkmt deHitamk 01)( ttitimkt deeiFmkmk 0)()()( 11)()(mktimkti mkmkmkeeF 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， mkti mk mmkeFta1)()(2)()(22
7、2 )() 1)(1()( mktiti mk mmkmkmkeeFtaW222122)()(sin4mkmkmktF其中deiree adFFarrpikmmk0/3 02/3*)2(1)21( 取电子电离后的动量方向为Z方向， 取 、p所在平面为xoz面，则有 zyxrzyx)cos)(cos()cossin)(sin(rr coscos cossinsin rr derreieaFarrpimk0/cos 3 02/3)coscos cossinsin (21)21( 00202/cos 3 02/3sin)coscos cossinsin( 21)21(0ddrdrerreieaFar
8、rpimk 0020/3cos 3 02/3)sincos cos(21)21(0 ddrdereieaarrpi 0cos 0/33 02/3sincos22cos1)21(0dedreriearpi ar 0222/33 0)()( 22cos0dreerpeeiprer aierpirpirpirpi ar3 222 003 0)1(11622cosp aiapaie O x y rz（p） 3222 02/7 0 )(8)(cos16paape 222122)()(sin4 mkmkmk mktFW22126222 0257 02222)()(sin )(cos128 mkmkt pa
9、aep # 5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 )(0 ,0 , 0/ 0为大于零的参数当当tett求经过长时间后氢原子处在 2p态的几率。 解：对于 2p态，1，m可取1 , 0 三值，其相应的状态为 121211210 氢原子处在 2p态的几率也就是从100跃迁到121211210、的几率之和。 由 tti mkmt deHitamk 01)( dHH100* 210100,210)cos)(rteH dYRrteYR0010* 1021cos)( (取方向为 Z轴方向) 20000* 100103 21sincos)(ddYYdrRrRte )31(c
10、os1000YY fteddYYfte)(31sin31)(20010* 10 003 10* 21681256)()(adrrrRrRf 023 42/3002/300)1(32)21(dreraaara05 0554 0681256 324161aaa！ftedHH)(31100* 210100,21000)(24321286812563)(ateate 0100* 211100,211cos)(drteH 20000* 110103 21sincos)(ddYYdrRrRte 20010* 110103 21sin31)(ddYYdrRrRte = 0 dHH100* 121100, 1
11、21 02000* 110103 21sincos)(ddYYdrRrRte 02010* 110103 21sin31)(ddYYdrRrRte = 0 由上述结果可知，0211100W， 0121100W 12110021110021010021WWWWps20100,2102210100211 ttit deHW 20/2 002 221)()243128(2tttit deeea22 2122 02 022 211)243128(221ttieae当t时， 22 212 02 022 22111)243128(2 aeps其中023434122183 83)411 (2)(1 aeee
12、EEsss # 5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 解： 233234mkmks mkrceA 由选择定则1，知ss12 是禁戒的 故只需计算sp12的几率 12 21EE 343483)411 (2ssee 而 2 212 212 212 21zyxr2p有三个状态，即 121211210, , (1)先计算 z的矩阵元 cosrz dYdrrrRrRzmm00* 103 10* 21100,21cos)()()( dYYfm00* 131031mf fz31)(100,210 0)(100,211z 0)(100, 121z (2)计算 x的矩阵元 )(sin2cossiniieerrx dYeeYdrrrRrRxii mm00* 103 10* 21100,21)( sin)()(21)( dYYfm) Y(32 211111* 1)(6111mmf ieY sin8311 ieY
