多元统计分析-因子分析

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1、1第四章 因子分析2第一节 因子分析的基本思想3因子分析的基本思想n因子分析是根据相关矩阵内部的依赖关系，把 一些具有错综复杂关系的变量综合为数量较少 的几个因子。通过不同因子来分析决定某些变 量的本质及其分类的一种统计方法。n简单地说，就是根据相关性大小把变量分组， 使得同组内的变量之间相关性较高，不同组的 变量相关性较低。每组变量代表一个基本结构 ，这个基本结构称为因子。4例如n某机关对其职员就以下6个方面进行考核，这6 个方面是职员的词汇、阅读、写作能力，以及 数字、代数、微积分的运算能力。而这6个方 面可归结为职员的语文能力和数学能力两个方 面。5例如n某公司与48名申请工作的人进行面

2、谈，然后就 申请人十五个方面进行打分，这十五个方面分 别是：申请书的形式、外貌、学术能力、讨人 喜欢的能力、自信心、洞察力、诚实、推销能 力、经验、工作积极性、抱负、理解能力、潜 力、入围公司的强烈程度、适应性。这15个方 面可归结为应聘者的外露能力、讨人喜欢的能 力、经验、专业能力这4个方面。6因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。例如，在企业

3、形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。7但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商 店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个 变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格 的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个 公共因子可以表示为：称 是不可观测的潜在因子。24个变量 共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性， 不被包含的部分 ，称为特殊因子。8注意：n因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子 是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明 确的实际意义。n主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分 分析仅仅是变量

4、变换，而因子分析需要构造因 子模型。n主成分分析：原始变量的线性组合表示新的综 合变量，即主成分。n因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的 线性组合表示原始变量。9第二节 因子分析模型 一、数学模型设 个变量，如果表示为10称为 公共因子，是不可观测的变量， 他们的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被 前m个公共因子包含的部分。并且满足：即不相关；11即 互不相关，方差为1。12即互不相关，方差不一定相等， 。13用矩阵的表达方式141、因子载荷 aij 的统计意义因子载荷 是第i个变量与第j个公共因子的相关系数 模型为 （载荷矩阵中第i行，第j列的元素）反映了 第i个变量与第j个公共因

5、子的相关性。绝对值越大， 相关的密切程度越高。根据公共因子的模型性质，有三、 因子载荷矩阵中的几个统计特征15n 因子载荷不是惟一的且满足因子模型的条件设T为一个pp 的正交矩阵，令A*=AT， ，则模型可以表示为162、变量共同度的统计意义统计意义：两边求方差 所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为1。如果 非常靠近1， 非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。定义：变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和。记为173、公共因子 方差贡献的统计意义因子载荷矩阵中各列元素的平方和 称为所有的 对 的方差贡献和。衡量的相对重要性。18第三节 因子载荷矩阵的

6、估计方法设随机向量 的均值为，协方差为,为的特征根， 为对应的标准化特征向量，则l 主成分分析法19上式给出的表达式是精确的，然而，它实际上是毫无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释，故 略去后面的p-m项的贡献，有20上式有一个假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而从的分解中忽略了特殊因子的方差。2122例 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为试用主成分分析法求因子分析模型。23特征根为： 24可取前两个因子F1和F2为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，对X的贡献率为51.67%。第二公因子F2为投 资因子，对X的贡献为28.33%。共同度分别为

7、1，0.706， 0.706。25第四节 因子旋转（正交变换）因子分析的数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进 行分组，更重要的要知道每个公共因子的含义，以便进行 进一步的分析。如果每个公共因子的含义不清，则不便于 进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以 应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构 简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。主要的正交旋转法有方差最大法和四次方最大法。（一）为什么要旋转因子26百米跑成绩跳远成绩铅球成绩跳高成绩400米跑成绩百米跨栏铁饼成绩撑杆跳远成绩标枪成绩1500米跑成绩 奥运会十项全能运动项目 得分数据的因子分析 27因子

8、载荷矩阵可以看出，除第一因子中所有的变量在公共因子 上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太 容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速 度的对比。于是考虑旋转因子，得下表 28变量F1F2F3F4共同度 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X100.884 0.631 0.245 0.239 0.797 0.404 0.186 -0.036 -0.048 0.0450.136 0.194 0.825 0.150 0.075 0.153 0.814 0.176 0.735 -0.0410.156 0.515 0.223 0.750 0.102

9、 0.635 0.147 0.762 0.110 0.112-0.113 -0.006 -0.148 0.076 0.468 -0.17 -0.079 0.217 0.141 0.9340.84 0.70 0.81 0.65 0.87 0.62 0.72 0.66 0.57 0.8929通过旋转，因子有了较为明确的含义。 百米跑，跳远和 400米跑，需要爆发力的项目在 有较大的载荷， 可以称为短跑速度因子； 铅球， 铁饼和 标枪在 上有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子；百米跨栏， 撑杆跳远， 跳远和为 跳高在 上有较大的载荷， 爆发腿力因子；为长跑耐力因子。30（二）旋转方法1、方差最大法2

10、、四次方最大旋转311、方差最大法方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载荷值平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个 因子上有较高的载荷值时，对因子的解释最简单。方差最大的 直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷值尽量 拉开距离，一部分的载荷趋于1，另一部分趋于0。3233根据求极值的原理，使，由此可求出因子轴旋转角度34当公共因子个数m2时，可以将上述m=2的方法用于逐次对每两个公共因子进行旋转。每旋转一次 ，V值就会增大，即V是单调不减的，并且V是 有界的，因为因子载荷的绝对值 不大于1。因 此，经过若干次旋转后，V变化相对就不大了 ，即可停止旋转。对两因

11、子的旋转，352、四次方最大旋转四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过 旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上有较高的 载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果每个 变量只在一个因子上有非零的载荷，这时的因子解释 是最简单的。四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因 子载荷平方的方差达到最大。3637旋转后因子的共同度设正交矩阵，做正交变换旋转后因子的共同度没有发生变化！38旋转后公共因子的方差贡献设正交矩阵，做正交变换旋转后公共因子的方差贡献发生了变化！39第五节 因子得分 （一）因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些

12、因子做其他的研究，比如把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进行分类或评价，这就需要我们对公共因子进行测度，即给出公共因子的值。40因子分析的数学模型为： 因子得分函数： 可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系 数，而由于pm，所以不能得到精确的得分，只能通 过估计。412、回归法 1) 思想其中4243简记为简记为 其中因此44而因子载载荷阵阵故45人均要素变量因子分析。对我国31个省市自治区的要素状况 作因子分析。指标体系中有如下指标： X1 ：人口（万人） X2 ：面积（万平方公里） X3 ：GDP（亿元） X4 ：人均水资源（立方米/人） X5：人均生物量（吨/人） X6：

13、万人拥有的大学生数（人） X7：万人拥有科学家、工程师数（人）Rotated Factor PatternFACTOR1 FACTOR2 FACTOR3X1 -0.21522 -0.27397 0.89092X2 0.63973 -0.28739 -0.28755X3 -0.15791 0.06334 0.94855X4 0.95898 -0.01501 -0.07556X5 0.97224 -0.06778 -0.17535X6 -0.11416 0.98328 -0.08300X7 -0.11041 0.97851 -0.0724646高载荷指标因子命名因子1X2；面积（万平方公里） X4

14、:人均水资源（立方米/人） X5:人均生物量（吨/人）自然资源因子因子2X6：万人拥有的大学生数（人） X7：万人拥有的科学家、工程师数（人）人力资源因子因子3X1;人口（万人） X3:GDP(亿元)经济发展总量因子X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3+X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3+X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3+X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F3X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F347Standardized Scoring CoefficientsFACTOR1 FACTOR2 FACTOR3X1 0.05764 -0.06098 0.50391X2 0.22724 -0.09901 -0.07713X3 0.14635 0.12957 0.59715X4 0.47920 0.11228 0.17062X5 0.45583 0.07419 0.10129X6 0.05416 0.48629 0.04099X7 0.05790 0.48562 0.04822F1=0.05764X1+0.