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1、第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 1 / 7 第十三届第十三届“中环杯中环杯”中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动 七七年级决赛答案年级决赛答案 一、填空题一、填空题 1.答：2211a baabb 2211111ab abab ababab ababab 。设1abx ，则22111111a b a ba b a ba b xa b xa xb x 。 所以2111111ab abab ababa abb ab 2.答：14次 易知每次操作正方形面积变为原来的两倍。需要扩大10000倍。容易知道132 =8192，142 =16384。因此需要操作14次。
2、 3. 答：13153 相当于求：六进制中的x是十进制中的2013。容易计算出13153x 4. 答：3793 易知0abbcca，所以2222222222abcabcabbccaabc ，所以2223793abcabc 5.答：164 分类讨论： （1）如果是三位“中环数” ，那么对于每个数字，都有9个“中环数” ，比如说101,121,191，所以一共有9 981个“中环数” （2）如果是四位“中环数” ，并且以2为首位数字，那么只有2个“中环数” ：2002,2012 （3）如果是四位“中环数” ，并且以1为首位数字，那么这样的数就是11AB的形式。其中,A B只要不取1即可。根据乘法原
3、理，一共有9 981个 综上所述，一共有81281164个“中环数” 6.答：3 由轮换对称多项式的因式分解我们知道： 222abcbcacababbcca ， 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 2 / 7 所以0abbcca。而题目告诉我们222233ababab ，所以ab。根据0abbcca我们知道ac或bc。 当ac时，则 2222222132abcabbccaabbccaab当bc时，则 2222222132abcabbccaabbccaab7.答：5 由已知得：112 xaxx，即整理得11xax；axx11。从而得 633 33 3323 22 32321
4、111111311332xa xxaxxxxaxxaxaxaaaa 由 于a为3的 倍 数 ， 所 以232a 除 以9的 余 数 为7。 所 以201220122012201257 mod9nn 个，所以n的最小值是5 8.答：1 2由于111212222ababab ，只要, a b中有一个数是1 2，那么结果就是1 2。由于原来的数据库中是有1 2，那么最终的结果就是1 29.答:1 4或1 12第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 3 / 7 由于方程的左边是两个绝对值相加， 所以300xx。 而我们知道对于0x 我们可以推出2 2142,4xxxx，所以 22 2
5、2141131411311244xxxxxxxxxx ，所以 2 2 22411223232120004422xxxxxxxxxxxx，所以23 2xx 或1 2。我们要求的是2212 66xxxx，所以答案为1 4或1 1210.答：2 由于22| 4444mnmnmnmn，而显然我们有24mnmn，所以2444mnmnmn。 由于2mn是一个完全平方数， 而完全平方数除以4的余数只有0,1两种，所以24mnmn或41mn或44mn （1） 若24mnmnmn，与已知矛盾 （2） 若241mnmn，由于2| 4441|44mnmnmnmn，而44314141mn mnmn ，显然413mn
6、，所以此时不可能为整数，也就是说不可能出现41|44mnmn这种情况 若244mnmn，此时显然满足2| 44mnmn，所以2mn 二、动手动脑题：二、动手动脑题： 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 4 / 7 1.证明：设,1,2,3ax bxcxdx，则 2323232323222221221612871593412393433334313abcxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx所以223dx是23abc的因数 2.证明:设1 0 1011101010nn nnnAa aaaaaa ，则1 10110101010nn nnnnBa aaaaaa
7、 ，所以01220 01201220 01210101010101010101010101010101010nnnn nnnnn nABaaaaABaaaa。（1）当n为奇数时， 101011mod11n iin ii 。 由于n为奇数， 而niin ，所以,ni i这两个数肯定一奇一偶，这样都导致了1010110 mod11n iin ii ，所以此时11| AB； （2）当n为偶数时， 101011mod11n iin ii 。 由于n为偶数， 而niin ， 所以,ni i这两个数肯定同奇偶，这样都导致了1010110 mod11n iin ii ，所以此时11| AB； 综上所述，无论
8、n是奇数还是偶数，,AB AB这两个数中至少有一个数是11的倍数 3.证明：首先由角平分线性质我们有IDIEIF，设其为x，然后我们要求出 这个x。容易证明BDIBFI，CDICEI，AEIAFI，所以,BFBD CDCE AEAF，从而我们有 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 5 / 7 2CDCEBCCAABxabc，所以2abcx。接下来我们要证明39332321021055abcabcxaaabcaabc。 然后用反证法，假设22222244 5255abcaabbcab，所以242120 52521abaab。而已知告诉我们ab，所以矛盾找到了。命题得证4.证
9、明：首先猜测12111nppp的最大值为111 1 23 421 2nn，如果这个猜测正确，那么 121111111111111 23 421 21 22 311npppnnn nn 。 接下来就证明这个猜测了。 假设1 2k都符合我们前面描述的方法，1,2一组，3,4一组，21,2kk一组。而21,22kk没有放在一组，那么我们有 21, 22,kakb这 两 组 ， 其 中,22abk。 我 们 只 要 证 明1111 212221 22kakbkkab，那么我们就得到 21, 22,kakb这样的组合不如 21,22 ,kka b来得大，我们就可以调整 为 21 , 22,kka b。
10、然 后 不 断 地 对 后 面 进 行 调 整 ， 从 而 得FDEICAB第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 6 / 7 12111111 1 23 421 2npppnn。对于1111 21222122kakbkkab的证明，通分后分组分解就可以了，很简单，这里不多说了 5.（1） （2）当090且18 ,22.5 ,45时，有三个等腰三角形 （3）当18时，有四个等腰三角形 （4）当22.5或45时，有五个等腰三角形 【 解 答 】 首 先 很 容 易 证 明C AB为 等 腰 三 角 形 ， 其 次 由 于C MCMBMMC B 为等腰三角形。/ /CCNMBCN
11、MCCBC。由于MC B为等腰三角形，很容易证明C FM也是等腰三角形。所以这个图形中至少有三 个 等 腰 三 角 形 。 接 下 来 开 始 导 角 ， 设BAC， 则9 0A CPB CPCA EM B CM CB，2C MBFC M ，902AECEC FD EN 。 最后就是讨论：当,PACPBC为等腰直角三角形时，此时45；当D EN为等腰直角三第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 7 / 7 角形时，此时22.5；当AEC为等腰三角形时，由于909023EACAECAC E ，所以 此 时有 两 种可 能 ：若22.5EACAC E ； 若1 8A E CA CE。综上所述，得到上面的结论。
