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1、第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 1 / 7 第十三届第十三届“中环杯中环杯”中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动 七七年级决赛答案年级决赛答案 一、填空题一、填空题 1.答:2211a baabb 2211111ab abab ababab ababab 。设1abx ,则22111111a b a ba b a ba b xa b xa xb x 。 所以2111111ab abab ababa abb ab 2.答:14次 易知每次操作正方形面积变为原来的两倍。需要扩大10000倍。容易知道132 =8192,142 =16384。因此需要操作14次。
2、 3. 答:13153 相当于求:六进制中的x是十进制中的2013。容易计算出13153x 4. 答:3793 易知0abbcca,所以2222222222abcabcabbccaabc ,所以2223793abcabc 5.答:164 分类讨论: (1)如果是三位“中环数” ,那么对于每个数字,都有9个“中环数” ,比如说101,121,191,所以一共有9 981个“中环数” (2)如果是四位“中环数” ,并且以2为首位数字,那么只有2个“中环数” :2002,2012 (3)如果是四位“中环数” ,并且以1为首位数字,那么这样的数就是11AB的形式。其中,A B只要不取1即可。根据乘法原
3、理,一共有9 981个 综上所述,一共有81281164个“中环数” 6.答:3 由轮换对称多项式的因式分解我们知道: 222abcbcacababbcca , 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 2 / 7 所以0abbcca。而题目告诉我们222233ababab ,所以ab。根据0abbcca我们知道ac或bc。 当ac时,则 2222222132abcabbccaabbccaab当bc时,则 2222222132abcabbccaabbccaab7.答:5 由已知得:112 xaxx,即整理得11xax;axx11。从而得 633 33 3323 22 32321
4、111111311332xa xxaxxxxaxxaxaxaaaa 由 于a为3的 倍 数 , 所 以232a 除 以9的 余 数 为7。 所 以201220122012201257 mod9nn 个,所以n的最小值是5 8.答:1 2由于111212222ababab ,只要, a b中有一个数是1 2,那么结果就是1 2。由于原来的数据库中是有1 2,那么最终的结果就是1 29.答:1 4或1 12第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 3 / 7 由于方程的左边是两个绝对值相加, 所以300xx。 而我们知道对于0x 我们可以推出2 2142,4xxxx,所以 22 2
5、2141131411311244xxxxxxxxxx ,所以 2 2 22411223232120004422xxxxxxxxxxxx,所以23 2xx 或1 2。我们要求的是2212 66xxxx,所以答案为1 4或1 1210.答:2 由于22| 4444mnmnmnmn,而显然我们有24mnmn,所以2444mnmnmn。 由于2mn是一个完全平方数, 而完全平方数除以4的余数只有0,1两种,所以24mnmn或41mn或44mn (1) 若24mnmnmn,与已知矛盾 (2) 若241mnmn,由于2| 4441|44mnmnmnmn,而44314141mn mnmn ,显然413mn
6、,所以此时不可能为整数,也就是说不可能出现41|44mnmn这种情况 若244mnmn,此时显然满足2| 44mnmn,所以2mn 二、动手动脑题:二、动手动脑题: 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 4 / 7 1.证明:设,1,2,3ax bxcxdx,则 2323232323222221221612871593412393433334313abcxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx所以223dx是23abc的因数 2.证明:设1 0 1011101010nn nnnAa aaaaaa ,则1 10110101010nn nnnnBa aaaaaa
7、 ,所以01220 01201220 01210101010101010101010101010101010nnnn nnnnn nABaaaaABaaaa。(1)当n为奇数时, 101011mod11n iin ii 。 由于n为奇数, 而niin ,所以,ni i这两个数肯定一奇一偶,这样都导致了1010110 mod11n iin ii ,所以此时11| AB; (2)当n为偶数时, 101011mod11n iin ii 。 由于n为偶数, 而niin , 所以,ni i这两个数肯定同奇偶,这样都导致了1010110 mod11n iin ii ,所以此时11| AB; 综上所述,无论
8、n是奇数还是偶数,,AB AB这两个数中至少有一个数是11的倍数 3.证明:首先由角平分线性质我们有IDIEIF,设其为x,然后我们要求出 这个x。容易证明BDIBFI,CDICEI,AEIAFI,所以,BFBD CDCE AEAF,从而我们有 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 5 / 7 2CDCEBCCAABxabc,所以2abcx。接下来我们要证明39332321021055abcabcxaaabcaabc。 然后用反证法,假设22222244 5255abcaabbcab,所以242120 52521abaab。而已知告诉我们ab,所以矛盾找到了。命题得证4.证
9、明:首先猜测12111nppp的最大值为111 1 23 421 2nn,如果这个猜测正确,那么 121111111111111 23 421 21 22 311npppnnn nn 。 接下来就证明这个猜测了。 假设1 2k都符合我们前面描述的方法,1,2一组,3,4一组,21,2kk一组。而21,22kk没有放在一组,那么我们有 21, 22,kakb这 两 组 , 其 中,22abk。 我 们 只 要 证 明1111 212221 22kakbkkab,那么我们就得到 21, 22,kakb这样的组合不如 21,22 ,kka b来得大,我们就可以调整 为 21 , 22,kka b。
10、然 后 不 断 地 对 后 面 进 行 调 整 , 从 而 得FDEICAB第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 6 / 7 12111111 1 23 421 2npppnn。对于1111 21222122kakbkkab的证明,通分后分组分解就可以了,很简单,这里不多说了 5.(1) (2)当090且18 ,22.5 ,45时,有三个等腰三角形 (3)当18时,有四个等腰三角形 (4)当22.5或45时,有五个等腰三角形 【 解 答 】 首 先 很 容 易 证 明C AB为 等 腰 三 角 形 , 其 次 由 于C MCMBMMC B 为等腰三角形。/ /CCNMBCN
11、MCCBC。由于MC B为等腰三角形,很容易证明C FM也是等腰三角形。所以这个图形中至少有三 个 等 腰 三 角 形 。 接 下 来 开 始 导 角 , 设BAC, 则9 0A CPB CPCA EM B CM CB,2C MBFC M ,902AECEC FD EN 。 最后就是讨论:当,PACPBC为等腰直角三角形时,此时45;当D EN为等腰直角三第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动七年级决赛答案 7 / 7 角形时,此时22.5;当AEC为等腰三角形时,由于909023EACAECAC E ,所以 此 时有 两 种可 能 :若22.5EACAC E ; 若1 8A E CA CE。综上所述,得到上面的结论。