大数(理II)期中试卷参考答案(20120421)

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1、 1大数（理 II）期中试卷参考答案（20120421） 大数（理 II）期中试卷参考答案（20120421） 姓名 系别 学号 一 二 三 四 五 六 七 总分 一、简答题（每小题 6 分，共 42 分） 1 设 3|=a?，5|=b? ，a?与b? 夹角为32， 三角形 S 以a?和b? 为其二边。 求： （1）ba?，（2）三角形 S 之第三边的边长， （3）三角形 S 的面积。 解： （1）215 32cos|=baba?。 （2）所求边的边长即为ba?的边长，记为d，则有 49)15(2592|2222=+=+=bababad?，故7=d。 （3）所求面积为3415 32sin|21

2、|21=baba?。 2 求点)0 , 2 , 1 (P到平面04332:=+zyx的距离。 解：1 )3(32|4032312|222= +=d。 3 求过直线 =+=+ 2212:zyxzyxL并与平面013:=+zyx垂直的平面。 解： 过 L 的平面束为0)22() 12(=+zyxzyx， 其法向为1,2 , 12+，据与垂直的条件，有0) 1() 1(1)2(1) 12(=+，即04 =是一个矛盾方程，故所求平面即为 L 的第二个平面022=+zyx。 4 求以)0 , 0 , 1 (A，)0 , 2 , 2(B，)3, 2 , 1(C，)3, 1 , 0(D为顶点的四棱锥的体积。

3、 解：23|311322021|61|030110030211000212|61=V。 25 设)ln(tan22yxyxz+=，求一阶偏导数yz xz ,以及全微分dz。 解：222 222sec,2tanyxyyxyz yxxyxz += +=， dyyxyyxdxyxxydz)2sec()2(tan222 22+=。 6 讨论函数 = += )0 , 0(),(0)0 , 0(),( 22 ),(22yxyx yxxy yxz在原点)0 , 0(处的连续性。 解：因为=+ + + +222222222222222yx yxyxyxyxyxxy，所以0时有 0 2222 + yxxy，因此

4、，函数在原点)0 , 0(处连续。 7 求空间曲线 =+=01222zyxyxz在点)5 , 2 , 1 (处的切线和法平面。 解：1,2 ,2,=yxFFFzyx，在点)5 , 2 , 1 (处等于1, 4 , 2，因此所求切线的方向向量平行于6, 0 , 31, 1 , 21, 4 , 2=， 可取为2 , 0 , 1， 则切线为25 02 11=zyx，法平面为0)5(2)2(0) 1(1=+zyx，即0112=+ zx。 二、（10 分）02 11 11:1=+=zyxL与11 11 1:2=zyxL为两条异面直线，求1L上与2L距离最近的点1P，并求二直线间的距离。 解：记2L上的点

5、) 1 , 1 , 0(为2M，方向1 , 1 , 1为2l? ，用参数方式记1P坐标为)2 , 1, 1(+tt，考虑12PM与2l? 张成的平行四边形，则1P与2L的距离为|2212llPM d? =，因此，我们有 222221125(3)(2)(21) 2()326dtttt=+=+。所以，1P点为1 2t=时的点，即31( ,2)22，二直线间的距离为665 625=。 注：本题可如教材例题以二元函数极值求解，若单独求两条异面直线的距离，则可用公式| / | )(|212121llllMMd?=。 3三、（9 分）求幂级数=+011nnnx的和函数，并求交错级数=11) 1(nnn的和

6、。 解： 记和函数为)(xf， 则xxxfnn =11)(0， 故=+=xxdttfxf 0)1ln(11)0()(，易知其收敛区间为) 1 , 1，而2ln) 1(1) 1(1) 1(011 =+= fmnmnmmnn 。 四、（9 分）设),(yxzz=由方程3333=+xzzyyx确定，求yxz yz xz 2 ,。 解：0332332=+xxzxzzzyyx，0332233=+yyzxzzyzyx， 故233233 xzyzyx xz +=，233233 xzyxzy yz +=。 对以上第一个等式求关于 y 的偏导，有： 06333322322=+ + +yxxyyxyxzzxzzx

7、zzzzyzyx，所以 ?=+=23222236333xzyzzxzzzzyxyxzyxyx注：我个人认为可不要求代入、化简。 五、（10 分）设 D 是平面区域4| ),(22+yxyx，计算： （1）+=DdxdyyxI)(44 1； （2）+=DdxdyyxI)(24 2。 解：rdrddxdyryrx=,sin,cos，则 ddrdrrIcossin2)sin(cos62)sin(cos202222262020444 1+=+=即16243 33244cos11 3322sin211 33220202 1=ddI。 据对称性，+=+=DDdxdyyxIdxdyxyyxI)()(222

8、12424 2， 易算得后一积分为8，故得122=I。 4六、（10 分）计算旋转抛物面122+=yxz被平面22=+zyx所截下立体的体积。 解：立体在 xOy-平面的投影区域为 xOy-平面内圆周yxyx22122=+所围的区域，即)23() 1()21( | ),(222+=yxyxD，因此，有 +=DdxdyyxyxV)1()22(22，令23, 1,21=+=+=ayvxu，则 3281 412)()(420022222222= +ardrraddudvvuaVavua七、（10 分）计算+Vdxdydzzyx)(22，其中 V 是由锥面0222=+zyx与上半球面)0( , 4222=+zzyx所围成的立体。 解：ddddVzyxsin,cos,sinsin,cossin2=，故 V 由锥面上方即2222cossin及上半球面20界定，也即： 20 ,40 ,20，由)cos(sin22+=+zyx，得： 所求积分等于+2020403)cos(sinsinddd 计算得： 24 040404| )2cos2sin2(2)2sin2cos1 (4)cos(sinsin242=+=+dd。