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1、第期河南科学?计算最小特征值的幕法及一个应用曹策问?郑州大学数学系?摘要证明? ? ?荞法程序的收敛性,韭用来计算一个复杂的带偏合边条件的橄分方程特征位问题的最小特征值?关一润?特征值?日?侣兰 ?二最小特 征值常常 被用 米分析一些自然过 程的临 界状态,如器件承 受的最大临 界压 力,临界共振频率等等? ?一? ? ?方 法只 能给出其上 界,而实际应用中最有意义 的却 是 其“安全的 下界?在分析、微 分 方社、微 分几何 中,一 些微 分不等式 的最 优常数 经常牵涉到一些算子的最小特征值?因此,长 期以采,最 小 特征值 的估计,特别是其 下估计,一直是人们 关注的问题? ?在计算?
2、叨?函数 的零 点 时?见?二?,创 造了一种“幕 法?,有效地 给出 最小零点的上 界与下 界,该法 对一类整函数也适用,由于一 些常微 分算子的特征值 计算问题,可以化为某整函数的零 点 计算问题,这就导出了计算常微 分算子最小 特征值的? ? ?幕祛?其 具体步骤如下?将特 征值问题化为求某整函数。?久?的零点问题?。?几?的 幕级数展 式系 数“、的数滇浏月算? 由。、计算特 征值的负 幕和口。?艺孟、一“?卜? 由? ?不等式。?几?。一?口?得久?的上、下值,步骤互、?只 包含一些程序十 分固定的常 规算法、步 骤工是花样繁多的,牵 涉到对各种常微分方程 特 征值问题 的理 解和处
3、理?文?对?一? ? ? ? ?问题及一类高阶微 分算子进行了有效 的讨 论?从 数值 分析角度看,步骤五是 硬问题。由于大多数 常 微分 方程不能 初等求积,故 步骤五的精确求解不一定能实现?对于可精确计算。、的情 形,幂 法给 出最小特 征值的极好 的上、下估计?这是不文 的兴趣所在?对 于 不能精确初等求积的情形,可参看文【习,该文用? 。卯一? ? ?方法米近似计算。?,从 而 提洪了最小 特征值 的 一套 系统的近似算法,有较 大的普 适性?河南科学? ?年县? ? ?程序的收敛性考察一个纯律 的分析问题?设序列 ?之、?满是?几?丸?习几,一?二?生记?二艺几?一要求利 用序列?。
4、来估计与逼 近?七定理?设 序列 ?几?满足?,则?一 了,?几?荞?。一矛单调上升,。?石?单调下降。?口一,?口?口。,?二几?口乌?,?心? ?,?证明?由孟?一 ?口?得第一个不等号,由 下式得第二个不等号?心 不?习 ?孟一?孟、一终几,一 皿口。?将上式作?次幕,再利用几?一“?。得犷?孟一、?开?次方得第一个序 列的单调上 升性?又 由下列? ? ?不等式得第 二个序 列 的 单调下降性?口?一?不肚、?因为?二上 ?、?冬。一?冬?、一?一?喜?一?霎?全、?。?汾?”,所以有?几? ?十习 ? 二?劲?,?欣一 ?孟一?口一?孟?誉?岌?【?誉?友?”?小?交? 因 此?,?
5、 ?时,?几“一卜“? ?,从第一期计算最小特 征 值 的 幕 法 及一个应用定理?设整函数。?久?的级小于?,其零点 集 满足条件?,且。?孟? ?。?孟?。?再?几?则其零点的负幕 和由下 式递 推算出?。?,?一?。? 一? 习,?口户?、?。一。、?。,? ? ?口? ?证明 见?注由整函数 论,当从? ? ?“一?、?的 级为乞对 一般?阶常 微分 方程的 常型特征值 问题,入、一?,相应的。?、?的 级为二?,?号?一个带连接条件的特征值问题?、带连接条件的特征值 问题,常在区域 中含两种不同介质的情形 下遇到?这类 问题已 越乘智显示其重要性,连接 条件的出现,造成坐标函数选取的
6、困难。应用 一 般的 直接 方法?如?法?很难解决 问题?而幂 法有时却可奏效?下 面考察石油地 质研 究 中提 出 的 一个问题?,?入?一?,?,。、?,?一?,曰一?一?,己气、?又?、。? ?,?,?上 ? ? ?,?一?一。,日,。?日?,? ?,?,?厂? ? ! ? ? 、?户?矛 、需要计算最 小正特征值?各参数 值 如下?,?二? ?,?一? ? ?,? ? ? ,2、分别用 复共辘u,v乘(3, 1 )导出:日:二22.4,日:=29.12(3, 2 ),分部积分后,利 用(3, 3 ),(3, 4)氏一。、2 +卫:一)dr一J!(日:u2 +日:vd r因此除平凡情 形
7、入=。了几 、 r.匕a了. .、人u“v“c o n s卜外,特征值都 是正实数3、容易验证Bes:e l方程的 初值 问题河南科学1 9 8 6年y +且y +5Zy=o, y (b)=1, y,(b)=o的解为J。 (s r )Y。 (sb)一 Y。 (s r )歹。(sb)s b2兀 一一r、,尸S、产yu一 A,r .,!Ay(r,口一 去一,一B,r .,三B yr .召一 奇,则特征值 问题(E)的各条件除(3, 3 )外全部满足.将此 式代 入(3,3)(A甲一B申).=o,(p: A甲+p:, B中, )。=0.故特 征值是下列函数。(入)的零点:。(、)一,.一 , 一(。
8、:,。+,:,。, )!日:甲, p:币 a因,申,币都是、的冬级整函数,故。(、)也是.因此特 征值 集离散,且林为k s阶从而习入收敛. t 4、。(入)零点的单 性孟引理1()一jbr甲a a仪ar二甲,。、甲.I: (入)= J印,劝甲,、中 甲r一a劝,中r一a证明记沃:=入+E,印:=:(r,声E印叩乳一, Jbr a a-甲印Edr二a).: ).甲尹f l】G,een程序得作 简单 变换,令:,。即得.r二a引理2(3.5)日一一人曰牡印0日:申 I, +日:币 I: ),二 =。(入)r甲伞 )证明由于。(入)=( p:印,、劝+日:甲,年,)一I一(日:甲,甲,、 +日:印
9、币世,、)= =0,.+。:第一 期计算最小特 征值的 幕 法及一个 应用5一盯. . . . . , . . . . . .利用 引理 1得口 x,.一比j一击甲s. t .叨.一,一一.自一杯一伞。一,0 色生l、_二竺兰甲相加后即导 出引理2结果定理.c o(入)的零点是单重的证明设入=从是。(入)的零点.第 一 种情形:甲(a,轰:)与伞(a,入. )都 不为 零.由引理2立刻知c o(入。)笋。.第 二种 倩形:甲(a,入. )与币(a,入: )中有一个为零,不 妨 设甲(a,入. )=。.由引理2知必有币(a,入. )二。.又因I:() .二)特。,故甲与叭不同时为零 (.引理l)
10、.因此入.是甲的一 级零点。同理它也是伞 的一 级零点.如 果入。是。(入)的k重零点,k1。则 当6 =入一 入。O时, 0与。,分别为护与护一阶:(3, 5 )左端 恰为62阶,而右端为O(6 k全 ).当k1时这是一个矛盾.证完.至此,条件 (H)的验证全部完毕.二_. t .,“,.,、,_ ._一_._,二_.,b、O、作曰冀盆代现:.二n气亡)“。m l J以!叫a吸r0父为八吸z吸U :还 里几 =一二nL一:,g.(E)化为口匕(F)其中特 征参数。= )b“、.任 l一片/、,一州.,六卜一孟飞粼, “一“,、,七一笋ra,e长举。(u一v):。 =o: (母:u,:+肠:,
11、z )、 u,z,z。o二v,22.0=oz一 A = =0考虑 初值问题:w“,+P砂w=。,w(。)=1, w(。)=。将其解技p的幕级数展开:C眨,w(,时=习w。(z)(一p )n=0其 中系数w.(2)由一串初值 问 题递推算出w。,= =o,w。 (0)= =旦w。 (o),o;(w。l).w、,= =e,w:_:,w、 (o)= =w、(o)二0.令“一“:w ( z,谈一),一“2,( z,欲)完全类似于前面第”段的 讨论,知(”)的特征值为整函数(林)的零点;河南科学1 9 8 6年. . . . .一一一一一一一,_一-一-一,. 二,. . 陀. . . .一.-一一肠曰
12、口. . . . . . . . . .(卜)= =( p:u:v+pZu丫z, ) z -= =习.旷 n= =l。=(一1 )w,。 (A)贾一、 (A)(日:a :一“a:一+七 +日Za :一令aZ一七n习=k6、数值结果头几个。:(: )的结果如下:w。 (z )= =lw: (z )=e,一(:+l)w:(z)一价一,一”-2乞+s4份,(吟一矗e份,一兰 二全。:一 4卫丝。一_几z七丝436,.(:)=一 工e:_ 576牡二旦_。,:一全匕生。,一108163兰土终_e:一琴丝生哆7 361728w。 (Z )=l1 44 0 0。,:一6兰二夕e一旦兰二里。,:一 3456
13、4 323:+l144e,t1 22+231 72 8e.一302+13 186 40 0w.(2)= =1 5 184 00一3裴揣7e:一糯,一糯,一丝;土tl一e:一3丝少7工 691286400152+71 1296000w,(: )=一l一e,:25401 600_302一117e一生丝二丝。,:1 5 5 5 20 0 04 3 20 0 062一5 4 14 72。.一-42+l2 07 36。:一鱼卫三土些 l。 :3456001旦;土丝e:一12 9600 07 02+35325 40 16 000由此算出 诸w、 (A),w.,b 几 =一l。 L_a(A),这 里)2=一
14、le. 1 4 181 4利用上段 公 式易求 出、.为用 幕法求(“)除协=。外的最 小特征值,将其标 准化为O(p).(“)卜” l+g:卜+Q:卜 +第一 期计算最 小 特 征值的幕 法 及一个应用7其 中QK=、,/:.k与Q、的数值结果见表1:衰lKk+-466+10一:4.5 !46工50一10一5.3 2 07489+xo一,4。1442258一10一1 0一。366619+10一2.568 52 -一xo一, .3。0659455+xo-二2。5931320十 l一10一:+1 0一一10一+10一1 3一!O一n+1 0一2几只kl。17856!l9。!7957703。027
15、10075。64134946.79780785.7438605按定理2的 公式 由9、算出aK,按E t ler不等式得出终:的下界与上界 (见表2)衰2K.l,:的T 界口,一“x的 上 界。卜l/d:10一:1 0一41 0一10一10一1 01 0一压孟。1785611一205449. 3 2154户6.4 5 02 17 0l。5914414l。746420684.84991。 08123583197。77222791。犯52 7引.性1 22 3491。12587591.1277239 1引.1。12512G000g J . g l .91。125125917因此“:=9 1.1 2 5 9 17.按关 系式入入1=4
