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1、 第十二章第十二章 運動流體運動流體引言伯努利方程黏滯性伯努利方程應用黏滯系數流量計泊肅葉公式：穩流和湍流流體流動計算在流體中運動：斯托克斯定律質量、能量和電荷的流動測量的方法引言運動流體的研究在工程中是重要的。大量液體通過管道從一處迅速流動到另一處，或者 空氣進入機器如噴射引擎的入口再輸送到出口，這時壓強、溫度、速度都會改變。在所 有這些質量遷移的事例中，了解系統不同點的狀況，對有效的設計是非常重要的。流體動力學是一門複雜的學科，在這一章我們只作初步的論述。黏滯性黏滯性 如果相鄰的物質層，一層在另一層上面作橫向移動，如圖 12.la 所示，這種物質的形變稱 為切變（shear） 。我們將會看
2、到，流體流動最簡單的形式就涉及切變。圖 12.l所有液體和氣體（除極低密度的氣體外）都黏附在固體表面。因此，當流體流動的時候， 趨向管壁或容器壁量度，速度必然會逐步減小至零。 （固定層的存在可從下列事實推斷： 當大顆塵粒被吹離書架時，小塵粒仍然存在，可隨後用手指擦去）因此，當流體流過固 體表面時，流體發生切變。由流體切變引起的阻力稱作流體的黏滯性黏滯性。像糖漿、機油這 類液體，它們傾卸時流得很慢，比水更黏滯。黏滯性是一種內摩擦 ，各種流體表現的程度有所不同。在液體中，由於分子相對於其 鄰近分子受迫移動，卻受到分子間的力阻滯，於是便出現內摩擦。當流體質點相繼通過流體中某一給定點總是沿著同一路徑時
3、，這流動稱為穩流穩流。寬闊的河流靠近中心，在不同深度上的流速分佈情況，可以用圖 12.1b 來表示。由圖可 以看出，與河底接觸的水層必定處於靜止（否則河床會迅速被侵蝕） ，而越接近表面的越 高的層，速度就越大。線條的長度代表速度的大小。水受到切變而立方體變成斜方體， 如圖 12.1c，就像切向力作用在較高和較低的兩個面上。因此，穩流流體像是分成許多平 行層，一層在另一層之上以不同的速度滑動，從而在層與層之間產生切向作用的黏滯力， 阻礙它們的運動。伯努利方程（Bernoullis equation）在靜止液體中，同一水平高度的所有點，其壓強都是一樣的：但當流體運動時，就不是 這樣。流過（i）均勻
4、管道以及（ii）帶有狹窄部分的管道的液體，不同點的壓強由圖 12.13a 及 b 垂直的流體壓強計中液體高度所表示。在（i）中，沿管道的壓強下降是均勻 的，並克服液體的黏滯性，以維持液體的流動。在（ii）中，狹窄部分 B 壓強下降，但在 較寬部分 C 壓強再次上升。如設液體是不可壓縮的，那麼在給定時間內，進入 A 的液體 體積和通過 B 的液體體積是一樣的，因而在 B 中液體的速度必定比在 A 或 C 中大。因此， 速度的增加伴隨著壓強的減小。這現象可用風吹進紙製的隧道顯示出來，見圖 12.13c。風速越大，隧道坍縮越厲害。圖 12.13我們可以得到在運動流體的不同部分，壓強與速度間的有用的關
5、係式。設流體通過非均勻管道從 X 流到 Y，見圖 12.14，而流體的速度從 X 處的 V1 改變為 Y 處的 V2。在 X 處的截面積是 A1，Y 處的截面積是 A2。 XY 間流體的流動由作用在 XY 端面上的力所引起，而這些力是由端面另一側流體施加在端面上的壓強而產生。在 X 處， 如果流體的壓強是 P1，沿流動方向便會有一力 P1A1作用著：而在 Y 處，如果壓強是 P2， 刖便會有力 P2A2，反抗流體運動。圖 12.14考慮一短時間間隔 t，方這時問問隔內，在 X 處的流體運動到 X，在 Y 處的流體運動 到 Y。對流體所作的功 = 力 移動的距離 = 力 速度 時間在 t 期問，
6、在 X 處，力 p1A1 推動流體進入管道，對流體 XY 所作的功 = p1A1 v 1 t 在 t 期間，在 Y 處，力 P 2A 2 反抗流體 XY 從管道流出所作的功是 = p 2A 2 v 2 t 因此，對流體所作的功 =（p1A1 v 1p 2A 2 v 2）t如果流體呈不可壓縮的， X 和 X 間的體積 V1等於 YY 間體積 V2，即V1 = V2A1 v 1t = A 2 v 2t W =（p1p2）A1 v 1t 作為對流體作功的結果，當流體從 XY 運動到 XY 時，流體獲得勢能和動能。勢能的增加XY的勢能XY 的勢能XY 的勢能 YY的勢能 XX的勢能 XY的勢能YY的勢
7、能 XX的勢能(A 2 v 2t )gh 2 (A 1 v 1t )gh 1 A 1 v 1t g (h 2h 1) （因 A1 v 1t = A 2 v 2t ）這裡 h1和 h2 是 XX 和 YY在任意水平基準面上的高度，而 是流體的密度。同樣，動能的增加 = YY 的功能XX 的動能= (A 2 v 2t ) v22 (A 1 v 1t ) v12 （因動能= mv2）= A 1 v 1t （v22v12） 如果流體是無黏滯性的流體，為了維持流動，克服黏滯力所作的功為零，流體昀肉糰陂有改變，據能量守恆原理有：對流體所作的淨功勢能的增加動能的增加這就是伯努利方程伯努利方程。用文字陳述如下
8、：在不可壓縮無黏滯性的流體中，沿著某一流線在不可壓縮無黏滯性的流體中，沿著某一流線在推導這方程過程中，實際上我們已假設管道任一截面上各點，壓強和速度是一樣的。 但對真實的黏滯性流體並不是這樣，因而這方程只能嚴格應用於流體中一條流線。此外， 實際流體（特別是氣體）是可壓縮的。因此，應用這方程必須小心，否則會導致錯誤的 結果。伯努利方程應用伯努利方程應用（1）射流和噴咀）射流和噴咀從伯努利方程可以知道：流體沿水平管子流動而勢能 hg 的改變很小或為零，則當速度 增加壓強下降。在斷面收縮處，速度增加。從水龍頭流出的慢速水流，由於用手指擋宅 出口，可將它轉變為快速射流。截面積變得越小，速度增加越大，因
9、而壓強下降也越大。 帶有射流和噴嘴的幾種裝置應用了這個效應；圖 12.15 顯示了本生燈、過濾泵和油漆噴霧 器的作用原理。（2）旋轉球如果網球被削或高爾夫球被切球在 空氣運行的過程中伴隨著旋轉，並經受旁 向力，這力使球在飛行過程中彎向一側。這 力是由於旋轉球拖曳它周圍的空氣而引起的， 使一側空氣流動加怏而另一側減慢，從而產 壓強差如圖 12.16 。旋轉板球的搖擺， 由於接縫的凸起而變得複雜。圖 12.16（3）翼型這是一種造型設計，使它相對於流體運動時產生一個與流動相垂直的力。翼型的例子有 飛機翼、渦輪槳葉和螺旋槳等。圖 12.17 是翼型剖面形狀，它使流體流過上 表向比流過下表而快，即翼型
10、上面的流線比 下面較密集。從伯努利方程可得出：翼型下 面的壓強增加而上面減少，因而產生一個向 的合力，垂直於流動，這就是飛機升力 的主要部分。這力的值隨機翼與空氣流動的 夾角（叫攻角攻角）的增大而增大，直至某一角 度為止。這時流動與上表面分離，升力幾乎 完全喪失，阻力急劇增大，在下游的流動變 成劇烈的湍流，而飛機亦失速。圖 12.17迎風怏艇的帆是翼型的另一例子。空氣在帆 上面流過，背風的一側壓強增加，而向風的 一側壓強減少，這合力大約與帆垂直，並可 分解為產生向前運動的分量 F 和斜向一邊 的較大的作用分量 S，見圖 12.18。龍骨產 生一橫向力以平衡 S。流量計（流量計（flowmete
11、r）（1）文丘裡流量計（）文丘裡流量計（Venturi meter）這由帶有收縮段的水平管道所組成，并作為管道系統的一部分，兒圖 1219 0 兩個垂直管 記錄著流體在管道的正常部分和頸縮部分流動時的壓強（高出大氣壓強部分） 。如果 P 和卜是同水平高度 L 和 M 兩點的壓強，而 VUV是流體（密度為 p）在這 兩點的速度，假設伯努利方程成立，那麼如果 A 不入是 L 和 M 處的橫截面穋並假設流體是不可壓縮的，則每秒通過管子每一截面 的體積一樣。A1v1 = A2v2知道 A1，A2， 和（p1p2） ，就可找到 V1，從而求得流量 A1v1 。上述方程對（i）氣體， （ii）重油及（ii
12、i）快速的流動不成立。為甚麼？（2）皮托管（）皮托管（Pito tube）由運動流體所施加的壓強叫總壓強總壓強，可看作由兩部份組成：壓強的靜力分量靜力分量(p)和壓強的圖 12.18動力分量動力分量 。前者是流體處於靜止時具有的壓強，後者是等效於流體速度的壓強。皮托管本質上是一流體壓強計， 測量總壓強。它具有一平行於流動的分支，開口向著迎 面而來的流體，兄圖 12.20 c 在開口端的流體處於靜止狀態，在那裡存在一停滯區域。 總壓強也稱停滯壓強停滯壓強。壓強的靜分量由與流體流經管道垂直連接的流體壓上計測量。圖 12.20按伯努利方程：壓強靜分量由p給出，動壓強分量由給出，而總壓強由 p給出。因
13、此，總壓強 = 靜分量 + 強分量= p 這個表達式使不可壓縮的無黏滯性流體流動的速度值 v 能從皮托管和靜壓強管的讀數計 算出來。在真質情況下，穿過輸送流體管道的直徑，速度 v 是不一樣的，這是由於流體昀黏滯性。但可證明，如果皮托管的開口管放在偏離管軸 0.7管半徑 的地方，那時的 v 是平均流速平均流速。2. 有一寬闊容器，裝滿液體。在液面下 10 cm 處的容器壁上開一小孔，估算液體從小 孔射出的速度。考慮密度為 的液體，存液面下 h 的地方開小孔的 一般情況，見圖 12.22。如果液體是不可壓縮且無黏 滯性，而運動是穩恆的，我們可應用伯努利方程於流 線 AB 上的 A 點和 B 點。在 A 點： P = 大氣壓強 = Ph 1 = hv1 = 0 （寬闊的容器，液面下降的速率 v 1可忽略不算）在 B 點： P = 液體射出處空氣壓強 = Ph2 = 0v 2 = v代入伯努利方程，從上式可知，單位體積的液體（質量 p）從大面下降到深度 h，勢能的損失轉化為動能。 射出的速度由給出，並和自由下落的垂直速度相同，這稱作托里拆利定理（Torricellis theorem） 。事實 上，由於液體的黏滯性，射出速度 v 總是小於 J2 奔。如果 h=10 cm=0.1 m，而 g9.8 ms -2，那麼(完)410-70 2 l -1E 2 E 1
