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1、对一道课本习题的探究卢伟峰（ 黑龙江省大庆实验中学， ）普通高中课程标准实验教材必修数学（） 页第题：设（） ，利用三角变换， 估计（）在，时的取值情况， 进而对取一般值时（）的取值范围 作出一个猜想问题思考一 当时，（） 当 时，（） ，当 时，（） ，猜想： 当（） 时，（） ，则当时， 有 （ ）（ ） （ ）（ ）若 时， 且（ ）（ ） （ ） 若 时， 且（ ）（ ） （ ） 则当（ ）时， 有 ， 又易知 ， 所以猜想成立 问题思 考 二 对 于 函 数（） （ ）（ ），令 ， 则 ， 即（）（）（）， ，则 （） （） ，令 （） ， 得 当（， ）时， （）； 当（ ，）时
2、， （）， 则 （ ）（） （） ，（） ，即（） ，参考练习 当，时， 证明： （）（）问 题 引 申设 函 数（） （） ， ， 其中为正整数对于任意给定的正整数， 求函数（）的最大值和最小值解 当时， 函数（） 在， 上单调递增，（）的最大值为（ ）， 最小值为（） 当时，（）， 函数（） 的最大 值、 最小值均为当时， 函数（）在， 上单调递增，（）的最大值为（ ）， 最小值为（）当时， 函数（） 在，专论荟萃 数学通讯 年第、期（ 上半月） 上单调递减，（） 的最大值为（），最小值为（ ） 下面讨论正整数的情形当为奇数时， 对任意、， 且， 因为（）（）（ ） （ ） ， 以及 ，
3、， 所以 ， ， 从而（）（） ， 所以（）在， 上单调递增， 则（） 的最大值为（ ），最小值为（）当为偶数时， 一方面有（） （） ； 另一方面， 由于对任意正整数， 有（） （）（ ） （ ），（） （） （） （ ） 函数（） 的最大值为（）， 最小值为（ ）（槡 ）综上所述， 当为奇数时， 函数（）的最大 值为， 最小值为； 当为偶数时， 函数（） 的最大值为， 最小值为（槡 ）参考练习 （ 年清华大学自主招生题） 设，为实数， 且， 求证： 对于任意正整数， （ 证明略）对于教材上的典型习题应该引起教师和学生的高度重视， 深挖其本质， 并适当的在教师引导下进行拓展探究， 这样才能让
4、源于教材的知识方法高于教材（ 收稿日期： ）一道选择题的解法探究与深究李治国（ 湖北省安陆市第一高级中学， ）在一次测试中， 碰到了这样的一道选择题：题目 已知椭圆方程为：， 过点（，）的直线交椭圆于、两点，且 （） ，点是点关于轴的对称点， 则直线 一定过点（ ）（） （，） （） （槡，）（） （槡 ，）（） （ ，） 解法探究本题作为一道选择题， 本着“ 小题不大做”的原则， 不难从特殊位置进行探究得到结论 而且做对的学生都是采用此种解法 当然作为选择题， 这也是一种很好的办法解法 取点（，槡） ， 故 ：槡 （） ， 由槡 （）烅烄烆得：， ， 故（ ，槡 ） ， 又（，槡） ， ：槡槡， 令， 得：， 故直线 过点（，） ， 所以答案选（）作为问题研究， 本题是否有其它一般情形的数学通讯 年第、期（ 上半月） 专论荟萃
