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1、华中科技大学硕士学位论文带跳的延迟CIR 模型姓名：吴义盛申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：吴付科2011-05-15华中科技大学硕士学位论文华中科技大学硕士学位论文 I摘 要 摘 要 作为金融领域最重要的成就和定价理论最基本的结果，Black (2) 是独立增量过程，又是平滑增量过程； (3) 对于充分小的t，在( ,)t tt内出现一次事件的概率为 ( ,)1()P N t tttt ， 0为常数，称为过程( )N t的强度； (4) 对于充分小的t，在( ,)t tt内出现两次或两次以上事件的概率为() t，即 ()( )1()P N ttN tt， 则称此计数过程0(
2、)tN t是强度为的Poisson过程。 定义3 0 ttF是概率空间( , )F P上的一个域流，0ttM是一个在概率空间( , )F P上关于0 ttF适应的具有有限均值的可积随机过程， 对于0st ，几乎都有(|)tssE MFM成立，称随机过程0ttM是一个鞅。 2 重要不等式重要不等式 这里只给出不等式的内容，证明过程可以参阅28,29,30。 1 Holder不等式 假设1, p q ，111pq，如果( )puL U，( )pvL U，那么有 ()()|ppLULUUuv dxuv. 2 Lyapunov不等式 华中科技大学硕士学位论文华中科技大学硕士学位论文 8在Holder不
3、等式中，若1v ，且用Lebesgue测度时，就可以得到 ()|pLUUu dpu. 3 Gronwall不等式 假设( ) t是在0, T上的非负可积函数，且满足下面的不等式 120( )( )ttCs dsC， 1C，2C为大于零的常数，那么就有 1 21( )(1)c ttCC te. 4 BurkholderDavisGaudy不等式 设2( ,)d mgL J R，0p ，则有 002/2sup|( )( )| |( )|tTpp pttt JEg s dW sC Eg tdt ， 其中11/2/(2(1)ppp pCpp. 5 DoobKolmogorov不等式 如果(,)nnF0
4、,1,n 是一个半鞅，常数0c ，N为一个整数，可以得到 max11max() n c n NnNNn NPcEIEcc ， 1supsup()nN nnPcEc. 6 Jensen不等式 假设:fRR是一个凸映射，nUR是一个有界的开集，且:u UR是可积的，那么就有 11()( )|UUfudxf u dxUU. 华中科技大学硕士学位论文华中科技大学硕士学位论文 92.3 模型分析模型分析 1 Black-Scholes分析 Black-Scholes期权定价模型是金融领域最重要的成果之一。在这个模型的基础上，人们研究出了更多的改进模型，人们对期权价格有了更深刻的认识。很多方法能够导出期权
5、定价公式，我们用投资组合来描述欧式看涨期权的收益，进而推出定价公式。首先，金融市场满足下面的假设条件：(1)在期权有效期内股票不支付红利；(2)无套利机会；(3)利率保持不变；(4)价格服从对数正态分布。而且存在半金融的交易策略12(,) ，它有下面这种形式： 12(, ),(, )tuuS uS u，0, uT 因此，在时间u时未知权益的收益(, )uF S u如下， 12(, )(, )(, )uuuuuF S uS u SS u B，0, uT uB是u时刻无风险债券的价格（uudBrB du） 。通过投资策略，我们可以用半金融的投资组合来描述期权价格的运动变化，而且代替了期权最终的收益
6、。而期权价格是一个关于标的资产价格的函数，标的资产价格是用随机积分描述的随机过程。通过Ito公式，随机积分，套利原理，选择合适的金融策略，我们证明了欧式看涨期权的价格是下面偏微分方程（PDE）的解： 2 02uusussFrS FS FrF 那么得到欧式看涨期权的最终收益为： (, )max(,0)TTF STSC. F是关于变量, u s的偏导数的函数。容易得证这个PDE有精确解，那么可以得到函数F的精确表达式， () 12(, )()()r T t ttF S tS N dCeN d， 华中科技大学硕士学位论文华中科技大学硕士学位论文 10这里 21ln()()()2tSrTtCdTt ，
7、21ddTt，函数()N是一个累计概率分布函数，而且它的变量是服从均值为0，方差为1的正态分布，tS是t时刻标的股票的初始价格，C是衍生证券的执行价格，T是失效日期。 在实际的期权交易中，直接运用这个模型是不合理的，因为它有太多的假设：交易时连续、不支付股息、常量波动率、常量利率等。尽管如此，Black-Scholes仍然是金融市场中的重要方法和基础。 2 定价模型定价模型 Black-Scholes模型中有很多的假设，但这不符合现实金融市场中衍生证券的情况，下面介绍几种改进后的定价模型。 (1) 局部波动率模型局部波动率模型 在局部波动率模型中，波动率是关于股票价格和时间的函数。1994年，
8、Bruno Dupire把连续时间的方程应用到局部波动率模型，如下： (, )t tt tdSdtS t dWS， 它有两种特别的情况： (1) 随时间变化的波动率模型 ( )t t tdSdtt dWS. 当证券有相同的标的资产和执行价格等条件，而它们的有效期不同时，可以使用这种模型。当评估这种证券的风险时，它们之间的差异仅仅由有效期时间决定。用这种模型进行定价很简单，但是，当证券有不同的执行价格和补救条款时，这种模型就不能解释这种情况了。 华中科技大学硕士学位论文华中科技大学硕士学位论文 11(2) 常量弹性波动率模型 1t tt tdSdtSdWS. 当1时，它就是几何布朗运动，为了更好
9、地描述价格和股票之间的关系，我们通常认为1。这个模型反映了价格和波动率是负相关的，但是这个模型的不足之处是价格可以为负值。 局部波动率模型有一些很好的性质，股票价格只有一个随机过程的变量，在完备的金融市场中也容易调整。但是，它们不能很好的定价期权，因为在这些模型中，期权的价值依赖于波动率自身的随机特性。 (2) 随机波动率模型随机波动率模型 在随机波动率模型中，资产价格满足对应的随机微分方程，这个模型中标的资产的波动率是一个随机过程，叫做波动率过程，它受到另一个随机过程的控制。它可以是跳过程、Markov链，但必须保证它是正的。下面介绍一些著名的随机波动率模型。 (1) Hull and Wh
10、ite模型31： ttttttttdSSdtdW dVVdtVdZ 0,0,tttTdW dZ 2 ttV. 当2,0,tdW dZ存在系统性风险时，通过消除随机变量可以推出一个稍微复杂的偏微分方程，还可以得到期权价格就是加权平均的Black-Scholes价格。 (2) Wiggins模型32： 12()tttttttttdSSdtdWdVhdtdW 0,tT 12,ttdWdW. 当tS是金融市场中的未知权益时，定价函数表达式就是一个偏微分方程的解。同时Wiggins也解决了几种个股的看涨期权的评估问题。 华中科技大学硕士学位论文华中科技大学硕士学位论文 12(3) .M Stein an
11、d .C Stein模型25： ()tttttttdSSdtdW dmdZ 0,tT ,0ttdW dZ. t是一个自回归和均值回归的Ornstein Uhlenbeck过程。称作均值回归率，m是t的长期均值水平，且漂移项使得t趋近于m。这个模型中，我们假设了tW和tZ的相关系数,0ttdW dZ，那么就可以得到股票价格分布的精确解。但是不足之处是，应用这个模型需要选择合适的参数,m ，而且波动率t服从OU过程时，它可能为一个负值，这是不方便、不合理的。 (4) Heston模型24： ()tttttttdSSdtV dWdVm VV dZ0,tT ,ttdW dZdt. m是平均长期波动率，
12、是波动率趋向长期均值的速率，是波动过程的波动率，tZ是均值为0，标准差为1的高斯过程，tZ和tW的相关系数为常量。这个模型的优点是，满足封闭性时可以解出来，而其它的随机波动率模型需要用复杂的数值方法来求解。缺点是参数太多，而且很难估计这些参数。 (5) 3/ 2模型33： 3/2()ttttdvv dtvdW . 这个模型与Heston模型很相似，只是波动率过程是以3 2 tv的形式变化。运用鞅测度理论，对于标的资产的信贷风险，衍生证券的价格就是一个局部鞅。 (6) Chen模型34： ()()()ttttttttttttttttdrdtrdWdrdtdWdrdtdW . 在利率模型中，Lin
13、 Chen拓展了随机波动率模型而得到Chen模型。重要的是，华中科技大学硕士学位论文华中科技大学硕士学位论文 13由上面这个随机微分方程可以得到动态瞬时利率。 最近几年，研究者提出的随机波动率模型与真实情况很接近，但是，在通常情况，这些模型不能得到精确解，而且相应的分析也变得很复杂。在市场中，所有的交易资产都不能消除波动性风险，那么市场就呈现出不完备性，因此还得借助于一些数学工具来解决这个问题。 3 CIR模型分析模型分析 在一篇开创性的文章中，针对利率的期限结构，Cox，Ingersoll和Ross35提出了一种模型(现在称之为CIR模型)。现在，这种模型广泛应用于波动率，利率等金融情况中。
14、这个模型最简单的版本就是下面这个随机微分方程解的表达式： ( )( )( )( )dS tS t dtS t dW t ， ( )W t是标准的布朗运动，, , 是正常数。这个模型有三个优势特点：(1) 此方程任给一个正的初始值，那么依概率一可以得到一个唯一的非负解，这一点在模拟利率时很重要；(2)它具有均值回归性， 且( )S t的期望以速度收敛于36；(3) ( )S t的增量方差与当前价值成比例关系。 然而，跟经典的Black-Scholes模型一样，CIR模型也不能解释波动率这种现象。因此，为了解释这种现象，人们重点研究两类模型。第一种，将不连续的跳引入到标的资产价格中，如Merton
15、37，Kou38，Lin和Yeh39等提出的模型。第二种是随机波动率模型，如Heston24，Ball和Roma40。 尽管有效市场假说表明，所有的可获得的信息只在当前股票价格中反映出来，而以前的股票价格变化不能给出有效信息，也就是说，股票价格是一个Markovian过程，但是对股票价格的统计数据(参阅Sheinkman，Lebraon41，Akgiray42)表明当前股票价格依赖于过去信息。所以，我们考虑波动率依赖于过去信息的这种情况，进而把延迟引入到CIR模型中，即延迟的CIR模型，对应的随机延迟微分方程(SDDE)是 华中科技大学硕士学位论文华中科技大学硕士学位论文 14( )( )()( )( )dS tS t dtS tS t dW t , 这里0，, , 都是正常数。 然而，在通常情况下，随机延迟微分方程求不
