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1、全等三角形考点重点专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS“）2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS“）3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA“）4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS“）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜 边、直角边“，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL“）也 就是说“斜边、直角边“是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直 角三角
2、形全等三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形 有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等 与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？例1 已知：如图1，CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分BAC那么 图中全等的三角形有_对分析：由CEAB，BDAC，得AEO=ADO=90o由AO平分BAC，得EAO=DAO 又AO为公共边，所以AEOADO所以EO=DO，AE=AD又BEO=CDO=90o， BOE=COD，所以BOECOD由 AE=AD，AEO=ADO=90o，BAC为公
3、共角，所以EACDAO所以AB=AC又 EAO=DAO， AO为公共边，所以ABOACO 图1 所以图中全等的三角形一共有4对（2）条件不足，会增加条件用判别方法 例2 如图2，已知AB=AD，1=2，要使ABCADE，还需添加的条件是（只需填一 个）_分析：要使ABCADE，注意到1=2， 所以1+DAC=2+DAC，即BAC=EAC 要使ABCADE，根据SAS可知只需AC=AE 图2 即可；根据ASA可知只需B=D；根据AAS可知只需C=E故可添加的条件是AC=AE或 B=D或C=E（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法 例3 已知：如图3，AB=AC，1=2求证：AO平分BA
4、C分析：要证AO平分BAC，即证BAO=BCO， 要证BAO=BCO，只需证BAO和BCO所在的两 个三角形全等而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可证明：连结BC因为AB=AC，所以ABCACB因为1=2，所以ABC-1ACB-2 图3即3=4，所以BO=CO因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以ABOACO所以BAO=CAO，即AO平分BAC（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 例4 已知：如图4，在RtABC中，ACB=90o，AC=BC，D为BC的中点，CEAD于E，交AB于 F，连接DF求证：ADC=BDF证明：过B作BGBC交CF延长线于G，
5、所以BGAC所以G=ACE因为ACBC， CEAD，所以ACE=ADC所以G=ADC 因为AC=BC，ACDCBG=90o，所以 图4 ACDCBG所以BG=CD=BD因为CBF=GBF=45o，BF=BF，所以GBFDBF所以 G=BDF所以ADCBDF所以ADCBDF（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法 例5 要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A，B两点间的距离请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案(1)画出测量图案(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示） 图5 (3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）分析：可把此题转化为证两个
6、三角形全等第(1)题，测量图案如图5所示第(2) 题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的 延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为，则AB的长就是第(3)题易证 AOBCOD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长解：(1)如图6示(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得 OCOA，在BO的延长线上取一点D，并测图6得ODOB，这时测出CD的长为，则AB的长就是(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB又COD=AOB，CODAOBCD=AB= 专题二 角的平分线从一个角的顶点出发，把一
7、个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线角 的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两 边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所 在的直线是角的对称轴因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段 或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例7 已知：如图21，ABC中，BD=CD，12求证：AD平分BAC证明：过D作DEAB于E，DFAC于F 图21在BED与CFD中，12，BEDCFD，BD=CD，BEDCFD(AAS)DEDF，AD平
8、分BAC说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后 根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形 过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，ABCD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分ABC、BCD求证：AE=ED分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点， 因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段证明：过点E作EFAB，交BA的延长线于点F，作EGBC，垂足为G，作EHCD，垂足 为HBE平分ABC，EFAB，EGBC，EF=EG同理EG =EHEF=EH
9、ABCD，FAE=DEFAB，EHCD，AFE=DHE=90o 图22在AFE和DHE中，AFE=DHE，EF=EH，FAE=DAFEDHEAE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在ABC中，AD平分BAC，C=2B 求证：AB=AC+CD分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接 DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就 可以了 证明：在AB上截取AE=AC，连接DE AD平分BAC，EAD=CAD 图23 在EAD和CAD中，EAD=CAD，AD=AD，AE=AC， EADCADAED=
10、C，CD=DE C=2B，AED=2B AED=B+EBD，B=EDB BE=EDBE=CD AB=AE+BE，AB=AC+CD 延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图24，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E 求证：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角 形证明：延长CE交AB于点FAD平分BAC，FAE=CAECEAD，FEA=CEA=90o在FEA和CEA中，FAE=CAE，AE=AE，FEA=CEA 图24FEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECD（3）利用角的平分线构造等腰三角
11、形如图25，在ABC中，AD平分BAC，过点D作 DEAB，DE交AC于点E易证AED是等腰三角形 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线， 构造等腰三角形 图25例11 如图26，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于点E求证：CD=BE分析：要证CD=BE，可将BE分成两条线段，然后再证明CD与这两条线段都相等证明：过点D作DFAB交BC于点FBD平分ABC，1=2DFAB，1=3，4=ABC 图262=3，DF=BFDEBD，2+DEF=90o，3+5=90oDEF=5DF=EFAB=AC，ABC=C4=C，CD=DFCD=EF=BF，即CD=BE课程咨询电话：62015778/80 62015809/10
