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1、数列通项公式的求法集锦 数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情 况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如 (n=2、3、4.) 且1( )nnaaf n(1)(2).(1)fff n可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 na例1. 在数列na中，1a=1，11nnaan (n=2、3、4) ，求na的通项公式。 解： 111na时，这 n-1 个等式累加得：21324312123. 1nnnaaaaaaaan 时,112.naa （n-1）=(1)n n 2故21(1)2 2
2、2nn nnnaa11a 且也满足该式 22 2nnna (). nN例 2在数列中，=1，na1a12nnnaa (nN),求。 na解：n=1 时, a=11212 323 431 12222.2nnnnaaaaaaaa 时,以上 n-1 个等式累加得 21 122.2nnaa=12(1 2) 1 2n =2n2，故1222nn naa1 且也满足该式 ()。 11a 21n na nN二、累乘法 形如1( )nnaf na (n=2、3、4)，且(1)(2).(1)fff n可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 na例 3在数列中，=1，na1a1
3、nnana，求。 na解：由已知得1nnana ，分别取 n=1、2、3(n-1),代入该式得 n-1 个等式累乘，即3241231.nnaaaa aaaa=1 2 3 (n-1)=(n-1)! 所 以 时 ，1(1)nana!故(1)nan且=1 也适用该式 10!a (1)nan (nN). 例 4已知数列满足=na1a2 3，11nnnanana，求。 解：由已知得1 1nnan an，分别令 n=1，2，3，.(n-1),代入 上式得 n-1 个等式累乘，即3241231.nnaaaa aaaa= 1231.234n n 所以11na an，又因为12 3a 也满足该式，所以2 3na
4、n。 三、构造等比数列法 原数列既不等差，也不等比。若把中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如nanana1na=nbac或=或= 其中 b、c 为不相等的常数，1na nbaf n1nancnba f n为一次式。 例 5、 （06 福建理 22）已知数列满足=1，na1a1na=21na ()，求数列的通项公式。 nNna解：构造新数列nap，其中 p 为常数，使之成为公比是的系数 2 的等比数列 na即= 整理得：1nap2()nap1na=2nap使之满足1na=2na1 p=1 即1na 是首项为=2，q=2 的等比数列11a 1na =12
5、 2n =2 na1n理 21）设数列的首项na1(0,1)a ，=na13 2na，n=2、3、4 例 6、 （07 全国（ ）求的通项公式。 na解：构造新数列nap，使之成为1 2q 的等比数列 即=nap11(2nap) 整理得：=na113 22nap满足=na13 2na得 3 2p=3 2p=-1 即新数列1na 首项为11a ，1 2q 的 等比数列 =1na 1(1a ）11 2n（） 故 =na1(1a ）11 2n（）+1 例 7、 （07 全国理 22）已知数列中，=2，na1a1na=( 21)(2na) n N（ ）求的通项公式。 na解：构造新数列nap，使之成为
6、21q 的等比数列 1nap=( 21)(nap) 整理得：1na=( 21)na+( 22)p 使之满足已知条件 =1na( 21)na+2( 21)( 22)2( 21)p解得2p 2na 是首项为22 21q 的等比数列，由此得 2na=(22)1( 21)n =na2( 21)2n 例 8、已知数列中，=1，na1a1na=23nna ，求数列的通项公式。 分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含是变量，而不是常量了。故应构造新数列，其中3n3nna为常数，使之为公比是的系数 2 的等比数列。 na解：构造数列3，n na为不为 0 的常数，使之成为 q=2 的等比数列 即=2( 整
7、理得：1 13nna 3 )n na1na=12(2 33nn na) 满足 = 得1na23nna 12 333nnn 1 新数列是首项为=，q=2 的等比数列 3nna 1 13a 23nna=12 2n =na32nn 例 9、 （07 天津文 20）在数列中，=2，na1a1na=431nan ，求数列的通项。 na解：构造新数列nan，使之成为 q=4 的等比数列，则1(1)nan=4()nan 整理得：=1na43nan满足1na=43nan1，即331nn 得1 新数列的首项为anan111 ，q=4 的等比数列 14nnan14nnan 四、构造等差数列法 数列既不等差，也不等
8、比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出。 na11 1( )n nnababf n nanb例 10（07 石家庄一模） 数列满足na122nnnaa1(2n )且481a。 求(1、是否存在一个实数)1a2a3a(2)，使此数列2n na为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。 na解：由=(1)4a4 322a1=81 得=33；又=3a3a3 222a1=33 得=13； 2a又=2a2 122a1=13，=5 1a(2)假设存在一个实数，使此数列2n na为等差数列 即1 122nn nnaa = 12 2nn naa= 21 2nn =
9、112n 该数为常数 = 即112n na为首项1 1122a，d=1 的等差数列 1 2n na=2+=n+1 =(1)n11na(1) 2nn 例 11、数列满足= na1na12( 2)nna (nN)，首项为12a ，求数列的通项公式。 na解：= 两边同除以1na12( 2)nna 1( 2)n得1 1( 2)n na =( 2)n na +1 数列( 2)n na 是首项为12 ( 2) =1，d=1 的等差数列( 2)n na =1+ (1) 1nn 故= na( 2)nn例 12数列中，=5，且na1a133nnnaa1 （n=2、3、4） ，试求数列的通项公式。 na解： 构
10、造一个新数列3n na，为常数， 使之成为等差数列， 即1 133nn nnaad 整理得+3，让该式满足133nnnaad1133nnnaa取，33nnd 21 得1 2 ， d=1 ， 即3n na是首项为111 32 32a ， 公差 d=1 的等差数列。 故1 312(1) 132nna nn 2=na11() 322nn 例 13、 （07 天津理 21）在数列中，=2，且 （na1a1 1(2)2n nnaa nnN）其中0，(求数列的通项公式。 ) na解：1n的底数与的系数相同，则两边除以na1n得1 1 11221nn nn nnnaan 即1 1 1221nn nn nna
11、a 2n n na 是首项为120a ，公差 d=1 的等差数 列。 20(1)1n n nann (1)2n nann。 五、取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有1nna a项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以1nna a后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。 na例 14、已知数列，= ，na1a111n n naaanN，求=？ na解：把原式变形得 两边同除以11nnnaaaan1nna a得1111nnaa 1na是首项为1，d=的等差数列故111 (1)( 1)nnna 1nan 。 例 15、 （06 江西理 22）已知数列满足na13 2a，且113
12、21n n nnaaan（）求数列的通项公式。 2n nN( ) na解：把原式变形成 两边同除以112(1)3nnnna anana1nna a得 即111 33nnnn aa2 构造新数列nn a， 使其成为公比 q= 1 3的等比数列 即111(3nnnn aa)整理得：112 33nnnn aa 满足式使22 33 1 数列1nn a 是首项为11113a ，q= 1 3的等比数列 11 111( )(3 33nnn a )n 3 31nnnna。 例 16 （06 江西文 22）已知各项均为正数的数列满足：na13a ，且1 1 12 2nn nn nnaaa aaa 求数列的通项公
13、式。 nNna解：把原式变形为 112(2nnnnnnaaa aaa1)两边同除以1nna a得1 1212nn nnaaaa 移项得：1 1112()nn nnaaaa 所以新数列1n naa是首项为1 111333aa8 q=2 的等比数列。 故21123n n naa 解关于的方程得na1221(229)3nn na。 六利用公式求通项 1(2nnnaSSn )有些数列给出的前 n 项和与的关系式=nanSnanS()nf a，利用该式写出，两式做差，再利用1(nSf a1)nn1nnaS1S导出1na与的递推式，从而求出。 nana例 17.(07 重庆 21 题)已知各项均为正数的数列的前 n 项和为满足1 且 6= nanS1SnS(1)(2nnaa ) n 求的通项公式。 N na解：由=11aS111(1)(26aa )1解得=1 或=2，由已知1a1a1aS1，因此=2 又由=1a11nnaSnS1111(1)(2)(1)(2)66nnnnaa
