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1、高 中数 学教 与学 2 0 1 0 7 i r E AC R i N G S E mo R w s c ao o L 函数 “ 四性 问题“ 备考与探究 楼肇庆 引子先从一个高考题谈起 已知函数 f ( ) 的定义域 为 R， 若 厂 ( +1 ) 与 一1 ) 都是奇函数 ， 则 ( ) A ) 是偶函数 B ) 是奇函数 C ， ( )= +2 )D ， ( X+ 3 ) 是奇函数 ( 2 0 0 9年全国数学高考试题) 这是一道常规题， 涉及函数的奇偶性 、 对称性、 周期性 ， 若了解一些最基本的函数“ 四性” 的结论， 则此题不难获解 但教学反馈表明， 学生普遍不得要 领 大多数学
2、生从条件仅能推得 Y= ， ( ) 的图像既 关于点(一1 ， 0 ) 对称 ， 又关于点 ( 1 ， 0 ) 对称， 再往下 便一筹莫展 鉴于函数在高考中的重要地位， 以及函 数“ 四性” 考题得分普遍欠佳的实际情况， 笔者寻思 有必要在备考中提高函数性质复习的深度， 增强对 函数“ 四性” 相互联系的认识 本文就函数“ 四性” 的 备考与探究略作剖析 ， 以期抛砖引玉 一、考查要求与命题走势分析 对函数“ 四性” ， 考纲要求 多在理解 这一层面： 理解函数的奇偶性 、 单调性 对于周期性 ， 则更着重 于理解三角函数的周期 问题； 对 于对称性， 除掌握 奇 、 偶函数图像的对称性外，
3、对一般的轴对称 、 中心 对称问题也都有所涉及 ， 尤其对于， ( a+ )= _ 厂 ( a ) 等对称问题， 屡屡考查 从高考走势看 ， 函数“ 四 性” 重点考查单调性 ， 近几年尤其是利用导数研究 单调问题似成考查趋势 ， 并且多为解答题 而对于函 数“ 四性” 的交叉联系这几年更多见于客观小题， 并 且题 目灵活 、 富有 内涵 二、 函数的奇偶性 、 周期性、 单调性、 对称性探究 对于函数“ 四性” 问题， 通常可从相应的定义人 手 ， 解题关键是要熟悉和掌握一些基本性质 ， 并灵活 处理“ 四性” 的相互关系与综合应用 1 抓住 3条主线， 理清奇偶性试题高考脉络 奇偶性是函数
4、中最基础的性质， 分析近几年的 高考试题发现， 通常奇偶函数的定义、 性质、 与单调 性结合问题是高考奇偶性问题的主考方面 ( 1 ) 抓住奇偶定义 定义应用基本可以分 2个层面 ： 一是直接用定 义 ， 再结合， (一 ) + _厂 ( )= 0及， ( )一 ， ( 一 )= 0这 4 6 一变式 ； 二是构造函数 ， 利用奇偶性解决求值 、 求参 数范围等问题 1 例 1 若-厂 ( )= 十n是奇函数， 求实数 。 一1 的值 分析此类问题若用 一 )=一 f ( ) 求解 ， 则 1 显得繁琐； 若用 一 ) + _厂 ( ) = 0 ， 则易得o ： 二 值得注意的是 ， 很多时候
5、当， ( ) 在 =0有定义 时， 由， ( 0 )： 0求参数的值 ， 往往显得简捷 ( 2 ) 抓住奇偶性质 对奇偶函数的性质 ， 直观的有 ： 奇函数图像关于 原点对称 ， 偶函数的图像关于 Y轴对称 除此 以外， 若能利用一些延伸性质， 如 ) 为偶函数且_厂 ( ) 在 ( 0 ， + ) 上为增函数， 则 ) 在(一 ， 0 ) 上为单调 减函数； 奇 +奇 =奇， 偶 +偶 =偶； 若 f ( X ) 为奇 函 数， 在( 0 ， +0 0)j 二 有最大值 ， 则 ) 在(一o 。 ， 0 ) 上有最小值 一M； 等等 若能 灵活应用， 则解题时往 往事半功倍 例 2 已知 )
6、= 在 一1 ， 1 上的最大值为 肘， 最小值为 r n ， 求 +m 分析初一看无法判断其奇偶性 ， 需进行变形 设 ) ： 1 + f t a n x + 1 ， 易 知 若 令g ( ) ： ta n x + u 5 ， 孚， 则g ( ) 为奇函数 不失一般性， 设当 0 ， C OS 1 时， g ( ) 存在最大值且最大值为 P ， 则 g ( ) 在 一1 ， O 上的最小值为 一 P， 所以 M =1 p， r r , =1一P， 故 + m=2 注奇偶函数的性质应用是灵活的 很多时候 需要对所给函数进行变形 ， 才能发现其中的奥妙 ( 3 ) 抓住奇偶性与单调性的关系 历年
7、的高考题多将奇偶性与单调性综合在一起 考查 ， 此时若能灵活应用奇偶性的若干结论与性质 ， 会大大地简化解题 例3 已知定义在一2 ， 2 上的偶函数， ( ) ， 当 0 时 2 7 ) 单调递减 ， 若， ( 1 一 r n ) 60) ， 若 ) 在 2 ， 4 上的最大值为 3 2 ， 最小值为 2 ， 试求 n 和 b的值 解当 b 1时 ， y ： n 一 6 = 6 ( ) 一1 任取 l 、 2 2 ， 4 ， 且 1 1 ， 所以 0 1 ， 所以 l 1 b 0时 ， y=n 一b 也为增函数 ， 但此 时无解 当 1 0 b 0时， 因为2 4， 所以 口 一b O， 因
8、此 u=2一似 为减函数 ， 故由复合 4 8 函数为减函数， 必须 ， ， ：l o g “为增函数， 所以 o1 再 由 。 ， 1 时 ， “ = 2 一 一 等 价 于 ： 。 ， 得 10 ， 6 O 4 把握点轴 对称 ， 拓展 对称 内涵 高考对称性考查多注重点对称 、 轴对称考查 ， 奇 函数图像关于原点成 I f 1 心对称 ， 偶函数 图像关于 ) ， 轴成轴对称是最常见的对称结论 ， 但这是不够的， 还 须对一般的点对称、 轴对称、 泛对称有所 了解 ， 并且 熟悉一些常见的对称结论是十分必要的 ( 1 ) 点对称 若 函数 y= ， ( ) 的图像关于点 M( o ，
9、b ) 成 中心 对称 ， 则_厂 ( ) 满足 )+ _厂 ( 2 a )= 2 b ， 反之亦然 利用解析几何方法极易说明 一般地 ， 高考中更多时 候会考查关于点( l ， 0 ) 的对称问题， 此时有 )十 2 m )= 0 例 1 O 若_厂 ( ) 对一切实数 都有f ( +8 )= 一， (一 2一 ) ， 且 当 3时 ， f ( )= 一7 +4 ， 求 ) 的解析式 解因为， ( ) 满足 +8 ) + 一 2一 )= 0， 所以， ( ) 的图像关于点( 3 ， 0 ) 成 中心对称 当 3 ， 从而 )=- f ( 6一 )： 一 ( 6一 ) 一 7 ( 6一 )+
10、4 = 一 +5 +2 故 f ( x = ( 2 ) 轴对称 2 0 1 0 7 高 中 数 学 教 与 学 I l i A 7 7 6 Cl t I W G A 口 LEA, R , V I Ar , G 正V SEWI OR H I GI ISCH OOL e 若 函数 ) 满足， ( 。一 )= 。+ ) ， 则 ) 图 像关于直线 =n对称 ， 这是最常见阻重要的对称性 结论 除此以外， 根据高考的需要还应 了解以 F 一些 重要结论： 函数 Y= o ) 与函数 = -厂 ( 。一 ) 的图 像关于直线 =o对称； 若函数 Y-_ f ( ) 的图像关于 直线 ： o和 = b (
11、 。 b ) 对称 ， 则_厂 ( ) 是周 期 函数 ， 周 期 T= 2 。一b l ， H直线 =0+ 1( Z) 是 函 二 数 y= -厂 ( ) 图像 的对 称轴 ； 函数 Y= _厂 ( ) 与函 数 Y= f ( ) 图像关于直线 Y= 对称， 等 例1 1 若， ( ) 对一 切实数 都有 ( + ) = 厶 1 _厂 ( 一 ) ， 且I厂 ( 一 1 ) = 4 ， 求八3 ) 的值 分析 由题意可知 ，f ( ) 图像关于直线 =1对 称 ， 于是 3 )= 一1 )= 4 ( 3 ) 泛对 称 高考对称性问题 除丫函数图像关于点、 轴 自对 称以外， 很多时候还有函数
12、 图像的互对称、 “ 镜像” 对称 、 “ 首尾” 对称 、 对偶对称等， 为方便起见我们称 为泛对称 2 ， 例1 2 已 知函 数厂 ( ) = ， 那么 ( ) + j 1_ _ r 1 1 ) + f ( 了 1 ) + f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) ( 2 0 0 2年全 国数 学 高考试题 ) 分析， ( ) 本身是偶 函数 ， 关于 Y轴对称 ， 但对 解题没有作用 若强行代人逐一计算， 射项数很多的 情况并不适合 考虑到首尾、 次首尾、 的对偶对称： 1 1 ) 十 4 ) = 一) 十 -厂 ( 3 ) ， 思路立显 - J 5
13、熟 悉四性交 叉， 强化 综合能 力 函数的奇偶性、 周期性、 单调性、 对称性并不是 孤立存在的， 它们之间是互相联系的 在近J L 年数学 高考中， 很多时候函数的性质都是综合 出现在 同一 道题 目中， 这就要求学生熟悉它们的相互关系 ， 提高 综合解题能力 例 1 3 定义在 R上的奇函数 ) 满足厂 ( 一 4 ) = 一 ) ， 且在 0， 2 上单调递增 若方程 f ( )=m ( m 0 ) 在一8 ， 8 上有 4个互不相 同的根 ， ， 3 ， 4 ，贝 U l + 2 + 3 + 4 = ( 2 0 0 9年山东省数学高考试题) 分析由奇函数性质且 一 4 )=一 -厂
14、( ) ， 可得 厂 ( 一 4 )= 厂 (一 ) ， 则其对称轴为直线 =一 2 又由 ( 一 4 )一4 =- f ( 一 4 )= ) ， 可知周期为 8 而 ) 在 0， 2 上单调递增 ， 据此可 构造符合题意的图形， 如图 2 J 对 ， = m i i i x a 2 图2 若方程 )：m( m0 ) 在 一 8， 8 上有 4个不 同的根 l ， 2 ， ， 4 ， 不妨令 1 0 ， 且 l 0 B -厂 ( 1 )一 ， ( 2 ) 0 D ， ( 1 ) 十 2 )0 ， 若方程 3 f ( x )= 恰有 5个实数解， 则 m 的取值范围是 ( ) A _ ( 孚号，
15、 ， c ( 手 ， 孚 ) D ( ， ) 4 已知定义在 R上的奇函数 ) 满足， ( 一 4 )= 一， ( ) ， 且在区间 0 ， 2 上是增函数 ， 则( ) A 一 2 5 )0时 ( ) 0 ， 所以八 ) 在 ( 0， + ) 上 是增函数 由于_厂 ( ) 在 =0处连续 ， 且f ( 0 )=0 ， 因此我 们得到一个非常有用的不等式 ： i n ( 1+戈 )0) 结论 2 数_厂 ( )： 在( 0 ， +o 。) 上是 减 函数 结论 3 函数-厂 ( )= 在( o ， e ) 上是增函数， 在( e ， + ) 上是减函数 结论 2 、 结论 3叮仿结论 1 证明( 略) 下面以几道高考
