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1、“ 方阵问题” 教学磨课及思考 口白 雷 一 、案例背景 数学模型是为了某种 目的， 用字母、 数字及其 他数学符号建立起来的等式或不等式 以及图像、 图表等描述客观事物特征及其内在联系的数学结 构表达式。 在小学数学的各个知识领域都有体现， 但不同知识内容其背后所蕴含的思想方法也不 同。 笔者在上学期的一次校际联赛和教坛新苗展 示活动中所执教的四年级下册数学广角中的“ 方 阵问题” ， 无疑是体现模型思想的一个典型素材。 “ 方阵问题 ” 是以现实生活中的方阵为题材， 对封 闭情况下 “ 植树问题” 的再研究和具体运用， 通过 对方阵中“ 每边数量。 边数 总数” 的自主探究， 探索出此类问
2、题中各数量之间存在的数量关系。 在 此过程中， 让学生充分体验模型思想建立的一般过 程， 感受数学模型的魅力。 以下是笔者两次磨课的 详细再现与反思。 二、 两次磨课过程 第一次教学实践 1 课前游戏， 渗透新知 游戏 ： 教师请8 位同学上讲台来排出几种不同 的正方形 ， 目的在于让学生排出以下两种正方形， 让学生初步感受站在四个角上的人有重复的情况。 口 口 2 创设情境， 感受新知 师 出示下图 ： 请按从左往右或从上往下的顺序读出下面的 各 句话。 黯 教师主要以“ 每句话4 个字， 4 句话应该一共有 44 ： 1 6 个字， 为何该处只有1 2 个字?” 为矛盾的起 点， 引导学生
3、思考、 分析， 进而按 自己的想法来列算 式计算这里的总字数， 并且结合圈一圈的方法解释 自己的算式。 例如 ： 算式 ： 444 1 2 。 图释 算式 ： 4 2 + 2 2 ， 3 4 ( 图略 ) 现场情况说明： 课前的游戏和情境所创设的游 戏学生都很喜欢， 而且参与的积极性也很高， 但是 学生对信息背后的数学知识并不太感兴趣， 导致该 环节花时1 7 分钟 ， 严重影响教学的进度以及学生思 d l k , 0 UE Y UE K ANXI AOUE BAN ， 、 、 一 2 5 置 维的速度与深度。 3 主动探究， 建构新知 在上述情境的基础上， 让学生先自主学习， 再 合作学习，
4、 要求如下 ： 一个围棋的棋盘， 当最外层每边放5 颗棋子时， 那 么这个棋盘的最外层一共放 了多少颗棋子? 圈 学习要求： ( 学具纸E圈一圈，要求自 E人一 眼意曙出错堤怎么想的。 (驰 你的想法用算式表示出来。 把你的想法和同桌交流交流。再 想想看还有没有不同的算法 。 该环节先让学生独立思考， 探究解决方法， 再交 流互动， 展示各种算式并让学生结合图来解释算理。 4 归纳总结 构建模型 上述活动完成 后， 在所得到的各种方法中让学 生说说 自己认为哪种方法更适合自己、 更加简便。 紧接着将每边的棋子数改为8 颗， 再进行尝试解决。 学生自主探究和合作交流完成后， 请多名学生 展示算式
5、， 并用图解释算理 ， 教师引导学生结合对 前面材料的思考， 归纳总结出解决该类问题的通用 方法。 所归纳总结出来的通法为 ： ( 1 ) 每边上的颗数 x 44=总数 。 ( 2 ) ( 每边 上的颗数 一 1) 4=总数。 5 拓展练 习， 巩 固模型( 略 ) 反思评析 1 在创设情境时， 教师采用游戏的形式开展教 学， 游戏对学生的课堂积极性有一定的促进作用， 但是部分学生沉浸在游戏之中， 导致不能很好地将 注意力集中到将要学习的知识上来， 游戏的热度减 缓了切入重点知识教学的速度， 冲淡了学生思考的 深度 。 2 本节课所选取的素材单一且雷同， 在课前游 戏和创设情境及主动探究环节，
6、 均采用四边形这样 单调的材料， 只在 “ 每边上的数量” 这个单一的维度 上进行变式， 能让学生感知规律和归纳总结的素材 不够多、 不够广， 说服力又不够强 ， 学生对于建模过 、 J I AOXUE YU EKA NXI AOXUE BAN E 2 6 丽 i i 程的体验自然也就不够丰富， 造成学生在根据所体 验的素材进行归纳总结建立数学模型之时显得吃 力， 且仅仅是归纳出每边上的颗数 X44 =总数 和( 每边上的颗数 一1)4=总数， 而不是 ： 每边 上的颗数 边数 一重复的数 =总数和( 每边上的 颗数一1)X边数=总数。 因此， 在学生解决如 “ 一 个五边形花坛， 每边上摆7
7、 盆花， 每个顶点摆1 盆， 请 问一共需要多少盆花” 时， 部分学生显得无从下手， 一些学生仍然是依葫芦画瓢地运用所建立的模型， 简单地将问题处理为( 7 - 1)x4 = 2 4 和7 x 4 - 4 = 2 4 ， 由此可见， 学生所建立的模型过于特殊 ， 过于单一， 不具有一般性。 3 本节课时间上的安排不合理， 轻重不得当， 原本应以探究与建模环节为重点的教学过程， 却因 受创设情境环节的影响， 使得建模过程不突出， 严 重影响本节课的质量。 鉴于此， 可以清晰地发现学生本次建模过程是 失败的， 大部分学生还未真正理解所建立的模型背 后所蕴含的知识、 方法。 综合上述种种不足， 笔者
8、通 过查阅课本和教参， 思考该课的问题所在， 渐渐地 有了些许的感悟， 于是进行 了修改， 在教坛新苗展 示课上再次实践。 第一次教学实践 再次教学实践前， 备课思考的焦点在于： 1 如何选取素材， 可以直接切入重点知识的教 学 ， 并且能让学生体验从现实生活或具体情境中抽 象出数学问题的过程? 2 如何用好素材， 通过对同一素材的变式， 能 让学生多层次、 多维度地充分体验建模的过程， 让 学生充分感受变量与不变量之间所存在的联系， 进 而思考、 分析、 归纳、 总结出解决该类问题的通用方 法( 即建模 ) ? 3 如何合理安排时间， 使得一节课的各个环节 轻重得当? 修改一 ： 情境引入，
9、 简明扼要， 直入主题 师 出示下图 ： 一 曲 教师出示广播操图片， 将其转化成方阵图， 让 学生提出数学问题， 进而引出空心方阵的问题。 修改二： 突出重点， 多重体验， 建立模型 在学生提出问题之后， 教师提供给学生自主探 学习纸： 请你算 一算这个空心方阵一共有多少人 。 ( 再想想看还骞 泣有不 翻 鼻法，恕毽出几种写几种 ) O 0 e e e 囊 勺 0 O e e 0 o e e o o e o o o o e 0 o o o o e 算法一： 算法二： 在学生完成列式之后， 请列出不同算式的学生 展示作品， 向同学讲出自己的想法， 大致方法有： 6 44 、( 61) 4 、
10、 62 +2 4 、 4 4+4 等， 然后引导学生利用数形结合的方法， 用圈一圈的形 式来解释算理。 在学生对以上图形彻底分析清楚的基础上， 为 使学生充分体验建模过程， 教师按 “ 每边上的人数” 这个维度进行变式 ： 变式1： 一个方阵， 最外层每条边上站5 6 人， 最 外层一共站了多少人? 变式2： 一个方阵， 最外层每条边上站1 1 1 人， 最外层一共站了多少人? 数一变大 ， 学生便自然选择前两种方法进行计 算， 如此不仅可以“ 水到渠成” 地优化算法， 还可以 为后续的建模埋下伏笔。 在经历第一个维度的变式之后， 教师提供素 材， 让学生经历第二个维度“ 边的数量” 的变式，
11、 目 的在于让学生充分感受建模的过程， 以便准确地建 立数学模型。 变式3： 一个三角形， 顶点上站1 人， 每边上站6 人， 一共站了多少人? 变式4： 一个五角形， 顶点上站1 人， 每边上站6 A 、 e ； - e e i 。 。 。 i 。 J I A0UE YUE KANl A0X UE BA N ， 、 、 羁 2 7 专 0 移 e 尊 移 尊 e e 囊 毒 西 受和体验， 并且分配好变量变化的顺序， 按 “ 每边上 的数量” 和 “ 边的数量” 两个维度由浅入深逐一进 行变化， 让学生充分感知当一个量不变、 另一个量 发生变化时所引起的变化， 透析变与不变之精髓。 学生通过
12、 比较 、 分析 、 综合、 归纳 、 总结等思维活动， 将本质属性抽取出来， 进而逐步过渡到复杂的、 更 一般的情境， 最终自主归纳、 概括出不同形状 “ 方阵 问题” 的解决办法。 这一环节的设计， 不仅让学生学 到了相关知识， 同时让学生经历猜测与验证、 分析 与归纳、 抽象与概括的数学思维过程。 3 本次教学在练习的设计上先让学生运用模 型解决问题， 再让学生感知其实在生活中也是存在 许多的方阵问题， 只要认真去观察就能发现； 并且 以五边形花坛和棋盘问题为代表， 让学生运用自己 亲自建立的数学模型来解决生活中的数学问题， 即 让学生体会到数学知识所带来的成功的喜悦， 又体 现所建立的
13、数学模型的应用价值和简捷性。 三、 案例反思 ( 一 ) 提出问题， 感知模型 新课标从原先的“ 两能” 扩充到现在的“ 四能” ， 明确指出了提出问题、 发现问题的重要性。 因此， 在 教学中教师就应根据学生的年龄及心理特征， 为儿 童提供 有趣 的、 可探 索的、 与学 生生活密切联 系的 现实情境， 引导他们有兴趣地走进情境中， 去发现 数学问题， 并提出数学问题， 进而引起学生求解的 欲望； 同时在利用原有的生活、 知识经验来感受其 中隐含数学问题的过程中， 促使学生将生活问题抽 象成数学问题， 感知数学模型的存在。 如情境引入 时， 通过观察体操队列引导学生提出问题、 发现问 题，
14、进而将体操队列抽象成圆点图展开探究。 ( 二 ) 充分体验， 建立模型 在本课教学实践过程中， 教师提供丰富的体验 材料， 通过对 “ 每边上的数量 边的数量” 等变量 的改变， 引导学生通过观察、 分析、 讨论、 建模、 解决 实际问题， 使学生在充分体验和感 的基础上透过 - r ， JI AO UE YUEK ANI AOXU EB AN E 2 8- 瓢 j 纷繁复杂的现象， 抽象、 概括其本质， 从而建立起某 种特定的数量关系， 使 “ 方阵问题” 完成从几何图形 到直观的数学模型、 再到抽象的数学模型的建构 过程。 通过数学建模使学生体会到数学的应用价 值 ， 培养学生的数学应 用
15、意识 ， 增强对数学的学 习兴趣， 使学生真正了解数学知识的发生过程， 体 验数学模型的建立过程， 提高学生分析问题和解决 问题的能力。 ( 三 ) 享受成果， 运用模型 运用所建立的模型解决问题， 让学生感知其实 在生活中也是存在许多与所建立的模型相关的问 题 ， 只要认真去观察就能发现。 如巩固练习中在 “ 花 坛上摆花” 蛋糕上放置水果” 以及“ 棋盘中的问题” 等现实问题的解决过程中， 通过 “ 现在的小圆点代 表什么” 这一问题， 帮助学生发现在课堂中所构建 的数学模型不仅适用于队列方阵， 其实还适用于生 活中其他很多方面， 从而感受数学模型的一般性和 应用的广泛性。 再者， 通过一些练习的变式， 如“ 棋 盘有一层上一共摆了4 8 颗围棋， 那么它每条边上摆 了多少颗棋子” 等需要逆向思考的题 目， 学生在用 自己亲自建立的数学模型来解答问题时， 不仅可以 进一步巩固所学知识， 而且还能充分体会到数学模 型的实际应用价值 ， 体验到数学模型的便利性， 进 一步培养学生运用数学的意识和综合运用数学知 识解决问题的能力。 总之， 在小学数学教学中， 应充分重视渗透模 型化思想， 利用合适的素材帮助小学生建立并把 握有关数学模型， 有利于学生把
