多变量最值问题切入点的探究

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1、舞l l懿 高中擞学教与学 多变量最值问题切入点的探究 何振 华 ( 江苏省海门中学 ， 2 2 6 1 0 0 ) 一 、从条件式出发。 探究多变量最值问题 的切入点 1 消元法 多变量最值 问题 的难 点在于变量的个 数 ， 如果研究条件等式 ， 发现可以对变量个数 做个减法， 化归为可 以解决单元 函数的最值 问题 ， 那么就容易人手了 例 1 已知 ， Y ， ZR， +Y+ Z=1 ， + Y + Z 2= 3 ，则 x y z 的最大值是 _ 分析 思维障碍： 两个方程， 3 个未知数， 不好直接求解； 突破： 从方程的角度思考， 若将条件理解 成关于 ， Y的方程组 ， 将 ，

2、Y用Z 表示出来 ， 化 归为关于 Z的函数 问题处理 解 由 吖 。 得 L +Y +Z = 3 的 两 根 ， 由 0 得 一 1 z x y z = ( 一 一 1 ) z ， 一 1 z ， 可 运 用 导 数 ， 求 得 y z 的 最 大 值 为 寺 例 2 设 ， ) ， 均为正实数 ， 且 + 芝 _ =1 ， 则 x y的最小值为 _ 分析 根据条件等式可以将Y 用 表示， 则x y 变成与 有关的单值函数问题， 运用不等 式处理 解由 + -l 得 = 旱- z ， y = 【 一 2 】 9 = +9 + l 由 + = ， 且 x y0 ， 知0 l y = +9 +

3、= 一 + 枷 1 6 ( 当且仅当 =4等号成立) ， y的最小值为 1 6 反思 消元法把多变量问题逐步化归成 我们熟悉的函数 问题 ( 要注意变量的取值范 围) ， 是处理多变量最值问题的主要切入策 略 2 换 元 法 如果多变量最值问题的条件不具备消元 的可能性或消元 的运算量 比较大， 那么可 以 分析条件是否具备换 元的特征 如果可以通 过换元 ( 三角换元、 整体换元)来间接实现变 量个数 的减少 ， 就容易入手 了 例3等差数列 。 中， 对于给定的正整 数 m， 若 n +口 2 + l=1 ， 贝 0 S=a + I +a + 2 + +0 的最大值为 一 分析 障碍突破：

4、 由条件。 ： + o 2 =1 ， 联想 到三角换元 ， 快速切人 略解 令 口 l=C O S a， 0 =s i n ， 则 S = 0m + l+ 口 m + 2+ + 口 2 J，l + l ( ， n+1 ) ( n m + I +n 2 m + t ) 一 1 9 一 l l 2 2 2 ， 一 ， Z I 一 3 1 = 胜 高中数学教 与学 2 0 1 4年 2 = i n 一 ： s i n ( 一 )， ! Q ( ) 反思 三 角换 元起 到 了 间接 消 元 的作 用 ， 将多变量问题 化归为 三角 问题处理 是 多 变量问题的重要切入策略 例 4 不 等 式 + c

5、 + 对任意正实数 ， y恒 - 舭一- 2， 则 正数 c=一 分析 恒成立问题化归为最值问题： ( 南 + ) ( 南 + 2 x + y ) 思维障碍： 如何求最值， 部分学生感觉无 法人手 ， 突破 ： 一般而言， 分母简单时容易操作， 如果将分母作为整体 ， 换元处理， 就能快速切 一2x +，r=m 则 d, m- , 二 一一 一 一 2 x+ Y +2 y 一 。 m 。 n =了 4 一 3( + 詈 ) 3 m。 n ， 了 2( m ：n时等号成立)， ( 南 + y 一 - ) 了2 二 二 又 + 赤 ： + = 3(+ 詈 ) 一 2 一 了2 ， 一 I + i

6、广 一 了 m =n时等号成立 _( + 2上 x + y ) = 了2 ， c = 了2 反思 整体换元将复杂问题简单化 ， 陌 生问题熟悉 化 ， 是 迅 速找 到 多变 最值 问题 的 切入的重要策略 二 、 从 已有 的数 学模型联 想 ， 探 究多元变 量最值的切入点 1 运用不等式模型( 基本不等式、 柯西不 等式) ， 找到多元变量最值的切入点 例 5 设实数 a ， b ， c 满足口 +b C 1 ， 贝 9 a+b+c 的最， j 、 值为 - 分析 障碍突破 ： a+b+ca+b+口 + b 2 利 用璺 二 ( ) 处理 解 口+b+c a+b+0 +b 。 + 6 +

7、 2 ( ) = ( n + 6 ) + 1 一 号 一 1 ， 当且仅当 口 + b =c ， 且 a=b ， a+b=一1 时 ， 即口 = b ： 一 ， c = 了 t 时， ( 0 + b + c ) = l 一 例6 已知a ， b ， c 均为正数， 且 a+ 2 6 + 4 c =3 ，求 + + 丢 。T 的 最 小 值 ，并 指 出 取得最小值时 。 ， b ， c 的值 分析 障碍突破： 对条件简单变形后 ， 发 现符合柯西不等式的模型， 从而找到切人点 解 口+2 6+4 c：3 ， 0+1+2 ( b+1 )+4 ( c+1 )=1 0 ， 1 1 1 + + 一 !

8、 ( ) ( ! 1 2 1 0 ( + + ) = ， 当且仅当( 0+1 ) =2 ( 6+1 ) =4 ( c+1 ) 。 第 1 1朝 时 ，即 。 ： ， 6 ： ， 。 ： 垫 时等号成立 反思 不等式模型解题， 只要满足不等 式 成立 的条件 ， 不 需考虑 变量 的个数 多少 ， 所 以是多变量最值问题的重要切入策略 2 运用 向量模 型 ， 找 到 多元 变 量最值 的 切 入 点 例 7若 口+b+C=1 ， 则 丽+ 2 6+2+ ， c+1的最大值为 解 令 m ： (e -f ff+1 ， 6+2， 2 c+1 ) ， = ( 1 ， 1 ， 1 ) ， 贝 0 ，

9、2 0+1 + + = J ， l n 。I J ， l， l I I J ， l I I， l 1 万+ + 丽 =, 6 , 3=3 4 2 当且仅当o = ， b = 0 ， c = 时， 等号成立 ( 口+1+ 6+2 + c+1 ) = 6 反思 运用向量模型， 只要满足向量模 型的条件 ， 不需考虑变量的个数多少 ， 所以是 多元变量最值的常用切人策略 三、 从结论 出发 。 探 究 多变量 最值 问题 的 切入点 多变量最值问题的难点在于变量的个数 多了 ， 可 研究 的 目标 多 ， 不知道 从那 入 手 ， 我 们可以从结论出发， 研究 目标式的变量特征， 确定主要研究对象

10、例 8 已知 函数， ( )=3 x+与 函数 g ( )=3 x+2 在区间( b ， c )上都有零点 ， 则 的最 J 、 值为一 分析 由于条件给出了关于 。 ， b ， c 的不 等式组， 所以很容易联想到线性规划处理 但 目标式比较繁琐， 几何特征难以发现， 所 以人 手有困难 如果从结论的变量特征出发 ， 以 “ 高中数学教与学 为主元 ， b ， c 为参 数 ， 就会 发 现 实质 是一 个关 于 n的二次函数的最值问题 ， 就容易入手 解 1 2 2 ( b+c )4 b c 。+ 苛 。 + 。 +2 ( b+c ) n+( 6+c ) 一1 。+( 6+c ) _l 当

11、 n=一( b+c ) ( 可验证， 符合题意) 时 ， ( ) 一 反思 主元法通过确定主要研究对象， 忽略其他变 量对 问题 的干 扰 ， 剖析 问 题 的实 质， 是多变量最值问题的常用切入策略 四、 从数 形结合 的角度 ， 找 到多元变 量的 最值问题的切入点 如果多变量最值问题的图形特征比较明 显 ， 这时往往 可 以利 用 数形 结合 来探 究 多 变 量最值问题 例 9 函数 )= 。 + +删 + d在区 间 一1 ， 2 上是减函数 ， 则 b+C 的最大值为 分析 首 先通 过 导数 研 究 函数 的单 调 性， 得到关于 b ， c 不等式组， 可以用图象表示 ， 运用

12、数形结合( 线性规划)处理( 如图 1 ) L 、 5 1 0 托 l 1 2 + 4 b + c = 0 图 1 解f ( )=3 +2 b x+c 函娄 厂 ( )= 。 + 6 + c +d 在区间 一l ， 2 上是减函数， ， ( )0在 一1 ， 2 上恒成立， 2l 高中文学教与学 2 0 1 4聋 例谈稿 题【 l 】 “ 辅助元“ 硇构造 郭 建华 ( 江苏省南京市第二十九中学 ， 2 1 0 0 3 6 ) 辅助元是为 了解决某个 问题而 构造 的一 种数学形式 ( 如线、 角、 平面、 函数、 方程、 数 列、 圆等 ) ， 用辅助元解题 ， 体现 了数学 中类 比， 化

13、归的思想， 不仅使问题 变得更直观明 了， 容易找到解决 问题 的思路 和方 法 ， 同时也 是一种富有创造性的解决问题的一种方法 一 、构造辅助函数 构造辅助函数是一种重要的解题思想方 法 函数是整个高中数学的核心知识， 它具有 工具性 和导 向性许 多 问题都 可 以通过 巧妙 地构造辅助 函数 ， 使得原本扑朔迷离的问题 变得直观明了 因此， 在教学中应该重视这种 方法的引导和渗透 ， 同时还要加强训练 ， 及时 归纳总结， 才有利于方法的掌握和运用 例 1 已知 函数 )= a l n 一1 ， g ( x )= e X , ，其 中 口0 在 3 ， 4 上 恒成立 ， 所以， (

14、) 在 3 ， 4 上为增函数 设 ) ，则 ( ) = 0 在 3 ， 4 上恒成立， Nt：2h ( 戈 ) 在 3 ， 4 上为增函数 设 2 l ， 则 f (X 2 ) 一 A x , l志 一 I 等价于 )- f ( 。 )h ( x ： )一h ( x ， ) ， 最 口 ： )一h ( ) )=h ( 。 ) 构造函数 u ( x )= )一h ( ) = 一 n 1 n 一 1一 一 则 ( ) 在 3 ， 4 上为减 函数 所 ： 1 一 詈 e 0 在 一 ( 3 ， 4 )内恒成立， 所 以 口 e +旦 _ - 恒成立 设 ( )： e 一 + ， 因为 ， ( )：1一e ： - I+ - - -