《具临界指数和临界非线性边界条件的拟线性椭圆型方程neumann问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《具临界指数和临界非线性边界条件的拟线性椭圆型方程neumann问题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第41卷第4期 1998年7月数 学 学 报 ACTA MATHEMATICA SINICAVol. 41 , No. 4 July , 1998具临界指数和临界非线性边界条件的 拟线性椭圆型方程Neumann问题张桂宜收稿日期:1996 - 07 - 11 ,修改日期:1998 - 02 - 04 ,接受日期:1998 - 02 - 12(广西科学技术出版社 南宁 530022)沈尧天(华南理工大学应用数学系 广州 510641)摘 要 本文给出RN( N3)中有界光滑区域上的拟线性椭圆型方程:-Ni =15 5xi| Du |p-25u 5xi,=|u |p3-2u + a( x) |u
2、|p-2u + f ( x , u) , x(0, p3=N p/ ( N - p) ,2p 0,2p 0,( x)C(5 ) .(P1)f ( x , u)C(? R1) , f ( x ,0) =0.(P2) limu f ( x , u) / |u |p3-2u =0关于x一致.(P3) limu0f ( x , u) / |u |p-2u =0关于x一致.(P4)存在u00和常数A 0,使得当|u |u0时有1 quf ( x , u) -F( x , u)-A , 其中F( x , u) =u0f ( x , t) dt.关于临界增长的半线性椭圆型方程的Neumann边值问题近年来得
3、到了广泛的研究,但我们注意到临界增长的拟线性椭圆型方程Neumann边值问题尚未得到充分的讨论,对临界非线 性边界条件之Neumann问题多解性的研究至今少见.主要困难在于:第一是众所周知的由于嵌入W1, p()(Lp3 ()不紧所带来的困难;第二是由于对Neumann问题我们所考虑的函数空间是W1, p() ,这时相应的最佳嵌入常数与区域 以及范数的选取有关,因此适用于Dirichlet问题的方法不能直接应用于Neumann问题. 本文首先在W1, p()上建立一个嵌入常数不依赖于区域和范数选取的不等式,并对第二 集中紧性原理1做了适当的修改,使之适用于W1, p()中的函数.然后我们证明了
4、问题(1. 1) 相应的变分泛函在某范围内满足(PS)C条件.最后利用对偶变分原理得到问题(1. 1)的多解性 结果.u称为问题(1. 1)的非平凡弱解,如果u0, uW1, p()且成立 Ni =1| Du |p-25u 5xi55xi-| u |p3-2u-a( x) |u |p-2u-f ( x , u)iodx+5 ( x) |u |q-2uds =0 W1, p() .(1.2)在W1, p()上我们定义泛函I( u) =1 p(| Du |p-a( x) | u |p) dx +p3| u |p3 dx -F( x , u) dx +1 q5 ( x) | u |qds.(1.3)
5、由通常标准的方法不难证明泛函I( u)C1.根据临界点理论,问题(1. 1)的弱解相应于泛函I( u)的临界点.258 数 学 学 报41卷 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.在以后的讨论中,我们取W1, p()的一个等价范数为u=| Du |pdx -a( x) |u |pdxx1/ p .2 预备记Sp( CN/2) = NC1/ N N/21/ NB1/ p3 ,其中CN为RN中单位球的测度,B为Bliss常数,即B =p3p -11-1 p其p3+1 pp3p3-pD/p3p3-
6、p)假设p( p3-1) p3-px(-1+( p/ p3),Sp( CN/2)和B的意义可见文2 ,而且由文2 ,第307页我们还有Sp( CN/2) = S/21/ N,其中S为Sobolev最佳嵌入常数.引理2. 1 对于uW1, p()以及 0,成立如下不等式 |u |p3 dx,当p/ p3 ( Sp( CN/2) p-)-1(1+)| Du |pdx + C|u |pdx ,其中常数C与u无关.证明 利用边界的光滑性及 “展平” 技巧并结合单位分解原理不难给出本引理的证明.证毕.引理2. 2(集中紧性引理) un为W1, p()中一有界序列,我们可设un在W1, p()中弱收敛于u
7、并且在测度意义下| un|p3, | Dun|p,其中,为两个非负测度.那么存在一个至多可数指标集J以及 xjjJ0,C() 0使得| f ( x , un) |un|p3-1+ C() |F( x , un) | p3|un|p3 + C()(2.5)结合(2. 4)和(2. 5)即知 un在W1, p()中有界.于是存在 un的子列(仍记为 un)以及uW1, p()使得un_nu 在W1, p()中弱收敛un_nu 在Lr()及Ls(5 )中强收敛( pr 0, zRN.利用Holder不等式我们有- p|u ( x)( x -xj) |pdxRN| D|pp3/ ( p3- p)dx(
8、 p3- p) / p3B( xj) |u |p3 / p3uW1, p() ,(2.10)其中Br( xi) = xRN| x -xi|r .现在考虑( x -xj) un( x) ,这里xj固定.不难证明( x -xj) un0, C1=li m n | Dun|pdx , C2= C2( ) .在(2. 2)式中取=( x -xj) un,结合(2. 6) ,(2. 8) ,(2. 11)和(2. 12)得 ( x -xj)dx( x -xj)dx +( x -xj) uf ( x , u) dx +a( x)( x -xj) | u |pdx+ C1+ C2B( xj) |u |p3
9、dx则p/ p3.5584期张桂宜等:具临界指数和临界非线性边界条件的拟线性椭圆型方程Neumann问题 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.由( z)的定义以及Dirac测度的意义,在上式中令0得j j+ C1,再令 0得j j,结合(2. 9)之第二式有Sp( CN/2)()中pp/ p3j j即jSp( CN/2)N/Np.(2.13)从| Dun| 在Lp()中有界知| Dun|p-25un 5xi)在( Lp() )3中有界,不失一般性可设存在Ti( Lp() )3使得| Dun
10、|p-25un 5xi在( Lp() )3中弱收敛于Ti,在(2. 2)式中令n 得Ni =1Ti55xi-|u |p3-2u-a( x) |u |p-2u-f ( x , u)dx+5 ( x) |u |q-2uds =0 W1, p() ,(2.14)经过若干推导可得dx =Ni =1Ti5u 5xdx + jJj+5 ( x) |u |qds -lim n 5 ( x) |un|qds.(2.15)类似于(2. 11)可得F( x , un) dxnF( x , u) dx ,在(2. 1)式中令n ,并由(2. 8)和(2.9)得C =1 pdx - p3|u |p3 dx + jJj
11、-1 pa( x) | u |pdx -F( x , u) dx+lim n 1 q5 ( x) |un|qds.(2.16)在(2. 14)式中取= u得Ni =1Ti5u 5xidx -| u |p3 dx -a( x) | u |pdx -f ( x , u) udx +5 ( x) | u |qds =0.(2.17)(2. 16)-1 q(2. 17) ,结合(2.15)和(P4)得(注意到p 0,0使得I ( u)在B00上大于零而且I( u) |5B 0 0,其中 B0= u |uX ,uX0;(I3)I ( u)在00,我们有b m=infKPmmax uKI( u) 1kk+
12、1,使得当 (k,k-1时,问题 (1. 1)至少存在k对非平凡弱解. 证明 在引理3. 1中取X = W1, p() , I( u) = I( u) .由定理条件我们不难证明I( u) 满足(I1) ,(I2)和(I4) .现选取k0使得01 kk+1,并且使得Ak+11 q-1 p3称的Sp( CN/2)=,IN/ k(N p-1)+ A, k =0,1,2,其中Ak和A 分别为引理3. 2和定理2. 1中的常数.那么,当 (k,k-1时,我们有0b 1b 2 b k Ak1 q-1 p3-)=Sp( CN/2)在N/(N p-1) k-1+ A1 q-1 p3中BSp( CN/2)XN/
13、(N p-1)+ A, k =1,2,由定理2. 1知I( u)在0 C 1 q-1 p3inSp( CN/2)IN/(N p-1)+ A 上满足(PS)C条件,从而由引理3. 1可知I( u)至少存在k对非平凡临界点,即问题(1. 1)至少存在k对非平凡弱 解.定理证毕.参 考 文 献1 Lions P L. The concentration - compactness principle in the calculusof variations ,the limits case ,Part I. Revista Matematica Iber2americara ,1985 ,1(1)
14、:145 - 2012 LionsPL , Pacella F , Tricarica M. Best constants in Sobolev inequalities for functions vanishing on some part of the boundary andrelated questions. Indi Univ Math J , 1988 , 37(2) : 301 - 3243 Strauss W. Existence of solitary waves in higher dimensions. Comm Math Phys , 1977 , 55 : 149 - 1624 Ambrosetti A , Rabinowitz P H. Dual variational methods in critical point theory and application. J Funct Anal , 1973 , 14 : 327- 381858 数 学 学 报41卷 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
