《随机变量及其类型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量及其类型（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高校理科通识教育平台数学课程概率论与数理统计讲授孙学峰第二章 随机变量及其分布 随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 随机变量的函数的分布2.1 随机变量及其类型2.1.2 随机变量的分类2.1.3 离散型随机变量及其分布2.1.4 随机变量的分布函数2.1.1 随机变量 用样本空间的子集，即基本事件的集合来表示 随 机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随 机试验的统计规 律性及数学工具的运用存在较大局限 。为此，我们将随机试验结 果量化，即引入随机变量 的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观 存在的统计规 律性，而且可使我们用（数学分析）微 积分的方法来讨
2、论随机试验。 在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数 对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结 果，都有一个实数X()与之对应， 试验的结果实数X()对应关系X则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量 ，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也 就是说X是一个随机取值的变量。由此，我们很自然地 称X为随机变量。 2.1.1随机变量的概念定义2.1 设E是一个随机试验， =是试验E的 样本空间，如果对于 中的每一个样本点，有一 实数X()与之对应，这个定义在 上的实值函数 X()就称为随机变量。由定义可知，随机变量 X()是以样本空间为 定义域的一个单值实值函 数。有关随机变
3、量定义的几点说明： (1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点e的函数， 常用大写字母X、Y、Z 或小写希腊字母、 等表 示。 (2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验 结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预 知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“a0，n是正整数， 若npn=，则对任一固定的非负整数k，有 即当随机变量XB(n, p)，(n0,1,2,)，且n很 大，p很小时，记=np，则例2.10可用泊松定理计算。取 =np=4000.028, 近似地有P(X2)1 P(X0)P(X1)1(18)e80.996981 3、泊松(Poisson)分布 若随机变量X所有
4、可能取值为0,1,2,，且其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布 ，记为XP()。泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极 限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布。例2.11 某商店出售某种商品，具历史记录分析，每 月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时 ，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分 满足顾客的需要？ 解 用X表示每月销量，则XP()= P(5)。由题意，要 求k，使得P(Xk)0.999，即这里的计算通过查Poisson分布表(p.333-334)得到，=5 i=k+1=14时,i=k+1=13时,k+1=14，k=13即月初进
5、货库存 要13件。例2.12 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的 泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e -2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。解 由题意4、几何分布 设随机变量X的可能取值是1,2,3,且 P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3， , 其中01时，X的全部取值为：m,m+1,m+2,P(X=m+1)=P(第m+1次试验时成功，并且在前m次试验中成功了m-1次)2.1.4 随机变量的分布函数离散型随机变量可用分布律来完整地描述，而对 于非离散型随机变量则难以实现.由于许多随机变量 的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示， 因此我们往
6、往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b 上的概率(ab).由于a1000) ，所以不可能事件的概率为零，但概率为零的事 件不一定是不可能事件。同样，必然事件的概率为1，但概率为1的事件 不一定是必然事件。例2.15 设随机变量X具分布律如下表解 X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。例2.16 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐 标。假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率 与区间长成正比，求X的分布函数。解 F(x)=P(Xx) 当x1时,F(x)=1当0x1时,特别,F(1)=P(0x1)=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描
7、述方法？ab例1 有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机 抽取5件，以表示取到的次品件数，求X的概率分布及 分布函数.解 随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典 概率计算事件X=k（k=0,1,2,3）的概率，得的概率分 布为或写为：X 0 1 2 3P 0.6624 0.3011 0.0354 0.0011当x0时，当0x1时，当2x3时，当1x2时，当x3时，=0.6624+0.3011=0.9635;于是得的分布函数为:函数F(x)是阶梯形右连 续函数，其图像如右图， 在处有跳跃点. 课堂练习 设X的分布函数为求(1)常数A, B；(2)解 (1) 由分布函数的性质知故有解得(2)三、离散型随机变量的分布函数特点一般地，设离散型随机变量X的概率分布为pi = PX = xi (i=1, 2, )则其分布函数为这里和式是对所有满足xix的i求和。F(x)的图形是阶 梯形，在x = xi (i=1,2,)处具有跳跃，其跳跃值为:作业 P37 2. 4. 5. 6.
