《中南大学工程力学、材料力学第11章(弯曲应力)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中南大学工程力学、材料力学第11章(弯曲应力)（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 zy d AA yM = Sd AAF = = dA纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲对称弯曲对称弯曲对称弯曲对称弯曲梁的变形对称 于纵向对称面梁的变形对称 于纵向对称面梁的变形对称 于纵向对称面梁的变形对称 于纵向对称面对称纯弯曲对称纯弯曲对称纯弯曲对称纯弯曲+ + FS 图图+ +M 图图一、截面的静矩与形心一、截面的静矩与形心CdyASz Az A= Ozy( , )y zdA 截面对截面对y轴的静矩轴的静矩CdzASy Ay A= 截面对截面对z轴的静矩轴的静矩ySCd Az A zA=d Az A=截面对形心轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零， 则该轴过截面形心。截面对形心轴的静矩恒等于
2、零；截面对某轴的静矩为零， 则该轴过截面形心。截面对形心轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零， 则该轴过截面形心。截面对形心轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零， 则该轴过截面形心。组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。= =C 11nnzziii iiSSA y= = 1nyyi iSS= =C 1nii iA zOzyCC(,)yzCCySz A= =C0z = =0yS = =C0ySz A= = =C0z = =例：计算图
3、示三角形截面对其底边重合的例：计算图示三角形截面对其底边重合的y 轴的静矩。轴的静矩。dyASz A= = 解：解：0()dhhz bzzh= 26bh= =CySAz= =23bhh=26bh= =三、惯性矩和惯性半径三、惯性矩和惯性半径1.惯性矩1.惯性矩2AdzIyA=2AdyIzA=二、极惯性矩二、极惯性矩2 Pd AIA= Ozy( , )y zdA 截面对截面对O点的极惯性矩点的极惯性矩截面对截面对y轴的惯性矩轴的惯性矩截面对截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩2.惯性半径2.惯性半径y yIiA= =z zIiA= =222zy=+=+ 22 PA()dIzyA=+=+pzyIII= =
4、+ +Ozy( , )y zdA 惯性矩与极惯性矩的关系惯性矩与极惯性矩的关系2 Pd AIA= 22AAddzAyA=+=+截面对截面对y、z轴的惯性半径轴的惯性半径三、惯性积三、惯性积dyzAIyz A=y、z轴之一为截面对 称轴，则轴之一为截面对 称轴，则Iyz= 0 。y、z轴之一为截面对 称轴，则轴之一为截面对 称轴，则Iyz= 0 。截面对截面对y、z轴的惯性积轴的惯性积Ozy( , )y zdAOzy( , )y zdAdA (, )y zOzybh四、常见截面的惯性矩和惯性半径四、常见截面的惯性矩和惯性半径1.矩形截面1.矩形截面2AdzIyA=222( d )hhyb y =
5、312bh= =312zbhI = =z zIiA= =3/12bh bh= =2 3h= =2 3zhi = =Ozyydy2.圆形截面3.圆环截面2.圆形截面3.圆环截面464zyDII= 444 4()(1)6464zDdDI= 4zyDii= = =224zDdi+=+=zyII= =4p32DI = = OzyDpzyIII=+=+OzyDd2d zAIyA=21+ 2+nd AAAyA =12nzzzIII= =+n1yyi iII= = = n1zzi iII= = = 22212nddd AAAyAyAyA=+=+截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同 一轴的惯性矩或惯性
6、积代数和。截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同 一轴的惯性矩或惯性积代数和。截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同 一轴的惯性矩或惯性积代数和。截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同 一轴的惯性矩或惯性积代数和。五、组合截面的惯性矩和惯性积五、组合截面的惯性矩和惯性积n1yzyzi iII= = = 六、惯性矩的平行移轴定理六、惯性矩的平行移轴定理2AdyIzA=2 CA() dzaA=+=+22 CCAAAd2ddzAazAaA=+=+C2 yIa A=+=+截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴 的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。截面对任一坐标轴的惯性矩
7、，等于对其平行形心轴 的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴 的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴 的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。C2 yyIIa A=+=+Ozy( , )b adACzCy(0,0)( , )y zCC(,)yzC例：计算图示例：计算图示T 形截面对其形心轴形截面对其形心轴yC的惯性矩。的惯性矩。解：确定形心轴的位置，坐标系如图截面对形心轴解：确定形心轴的位置，坐标系如图截面对形心轴yC的惯性矩的惯性矩C(0.14 0.02) 0.08(0.1 0.02) 0
8、 (0.14 0.02)(0.1 0.02)z +=+=+CCC12yyyIII=+=+3210.02 0.14(0.080.0467)0.02 0.1412=+=+3210.1 0.020.04670.02 0.112+6412.12 10 m =0.0467m= =例：单臂液压机机架的横截面尺寸如图，计算该截面对形心 轴例：单臂液压机机架的横截面尺寸如图，计算该截面对形心 轴yC的惯性矩。的惯性矩。解：确定形心轴的位置，坐标系如图截面对形心轴解：确定形心轴的位置，坐标系如图截面对形心轴yC的惯性矩的惯性矩C(0.86 1.4) 0.7( 0.828 1.334) 0.717 (0.86 1
9、.4)( 0.828 1.334)z+ =+ + =+ CCC12yyyIII=+=+3210.86 1.40.190.86 1.412=+=+321 (0.828 1.3340.2070.828 1.334)12+40.029m= =0.51m= =一、纯弯曲时的正应力一、纯弯曲时的正应力1.变形几何关系1.变形几何关系纵向线弯成弧线，且上半部分缩短，下半部分 伸长纵向线弯成弧线，且上半部分缩短，下半部分 伸长纵向线弯成弧线，且上半部分缩短，下半部分 伸长纵向线弯成弧线，且上半部分缩短，下半部分 伸长横向线保持为直线，相对旋转一个角度，垂直 于变形后的纵向线横向线保持为直线，相对旋转一个角度
10、，垂直 于变形后的纵向线横向线保持为直线，相对旋转一个角度，垂直 于变形后的纵向线横向线保持为直线，相对旋转一个角度，垂直 于变形后的纵向线变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面 ，垂直于变形后的纵向线，绕截面的某一轴旋转一 个角度变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面 ，垂直于变形后的纵向线，绕截面的某一轴旋转一 个角度变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面 ，垂直于变形后的纵向线，绕截面的某一轴旋转一 个角度变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面 ，垂直于变形后的纵向线，绕截面的某一轴旋转一 个角度中性轴垂直于横截面纵向对称轴中性轴垂直于横截面纵向对称轴中性轴垂直于横截面纵向对称轴
11、中性轴垂直于横截面纵向对称轴中性轴中性轴中性轴中性轴中性层中性层中性层中性层纵向纤维缩短纵向纤维缩短纵向纤维伸长纵向纤维伸长纵向纤维长度不变纵向纤维长度不变y2O1O12abO O= =? 12O O =d = =?()da by =+ =+?a bab ab = =()dd dyy +=+=ydxabdab2O1Oy = =纵向纤维线应变与该纤维 到中性层的距离成正比纵向纤维线应变与该纤维 到中性层的距离成正比纵向纤维线应变与该纤维 到中性层的距离成正比纵向纤维线应变与该纤维 到中性层的距离成正比横截面上点的正应变与该 点到中性轴的距离成正比横截面上点的正应变与该 点到中性轴的距离成正比横截
12、面上点的正应变与该 点到中性轴的距离成正比横截面上点的正应变与该 点到中性轴的距离成正比d0xyydab2O1ObE = = y = =yE = =中性轴与横截面纵 向对称轴垂直，但位置 无法确定中性轴与横截面纵 向对称轴垂直，但位置 无法确定中性轴与横截面纵 向对称轴垂直，但位置 无法确定中性轴与横截面纵 向对称轴垂直，但位置 无法确定中性层曲率半径中性层曲率半径 未知未知中性层曲率半径中性层曲率半径 未知未知横截面上点的正应 力与该点到中性轴的距 离成正比横截面上点的正应 力与该点到中性轴的距 离成正比横截面上点的正应 力与该点到中性轴的距 离成正比横截面上点的正应 力与该点到中性轴的距
13、离成正比tmax cmax 问题:问题:Ey = = Ey = =yE = = Ey = =2.物理关系2.物理关系xyd0 AA = = d AEy A 0zS = =中性轴必过截面形心中性轴必过截面形心中性轴必过截面形心中性轴必过截面形心d AEy A = = zES = =0= =xzy yE = =d AA dA d AEy A = = z横截面上无轴力横截面上无轴力横截面上无轴力横截面上无轴力dAC3.静力关系3.静力关系xyxzy zdA( , )y z2dAEyA =1zM EI = =d AA yM =d AEy A y zEI = =M= =yE = =dA dA y d A
14、A y 2dAEyA = = 横截面上有弯矩横截面上有弯矩M横截面上有弯矩横截面上有弯矩MEIz：抗弯刚 度，构件抵抗弯曲 变形的能力。：抗弯刚 度，构件抵抗弯曲 变形的能力。EIz：抗弯刚 度，构件抵抗弯曲 变形的能力。：抗弯刚 度，构件抵抗弯曲 变形的能力。1zIM E = =zMyI = =yE = =1zM EI = =M + +M 拉压拉压拉压拉压zyM I = =zMyI = =zyM I = =纯弯正应力公式纯弯正应力公式xzy ( , )y z横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲( )zM xyI = =lh二、横力弯曲时的正应力二、横力弯曲时的正应力tmax cmax 三、最大弯曲正应力三、最大弯曲正应力maxz zIWy= =maxmax zMyI = =max zM W = =Wz：抗弯截面系数，反映构件 抵抗弯曲破坏的能力。：抗弯截面系数，反映构件 抵抗弯曲破坏的能力。Wz：抗弯截面系数，反映构件 抵抗弯曲破坏的能力。：抗弯截面系数，反映构件 抵抗弯曲破坏的能力。max zWM = =26zbhW = =332zdW = =3 4(1)32zDW =矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面max2hy= =312zbhI = =max2Dy= =464zDI = =max2Dy= =44
