误差理论与数据处理总结

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1、第一章第一章 绪绪 论论 第一节第一节 研究误差的意义研究误差的意义 一、研究误差的意义 1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少 误差。 2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定 条件下得到更接近于真值的数据。 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法， 以便在最经济条件下，得到最理想结果。 4、研究误差可促进理论发展。 （如雷莱研究：化学方法、空气 分离方法。制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。 ） 第二节第二节 误差基本概念误差基本概念 一、误一、误差定义及表示方法差定义及表示方法 （一）定义：被测量的值与真值差异在数值上的表现误差。误

2、 差=测得尺寸真实尺寸 （二）误差表示方法（测量误差可用绝对误差表示，也可用相对 误差表示） 1、绝对误差（测量误差） 方向（+ ） 、单位、大小。 绝对误差绝对误差=测得值测得值真值真值 在实际工作中常用到修正值：为减少或消除系统误差一种处理方法。 修正值修正值=真值真值测量值测量值=绝对误差绝对误差 2、绝对误差绝对误差相对误差真值测量值相对误差： （1）有大小、方向（+ ） 、无单位。常用%表示。（2）对于相同的被测量，可用绝对误差评定精度。对于不同的被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。 3、引用误差：指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表示 值误差=示值真值 引用误差引用误差

3、=示值误差示值误差/测量范围上限测量范围上限 rm=X Xm / X Xm 仪器标称范围或量程内的最大绝对误差 / 该标称范围（或量程）上限 有大小，有方向，无单位，相对量程而言。 等级 S 级：rmS% 所产生的最大绝对误差：X Xm=X XmS% 最大相对误差为：rx=X Xm / X X=X Xm/xS% 说明： （1）量程相同的表，精度等级高，测量精度高。 量程不同的表，精度等级高，测量精度不见得高。 （2）仪表量程选用最好测量值在量程 2/3 左右为好，能充分发挥仪表精度等级作用。 二、误差来源二、误差来源 在测量过程中，按误差产生的原因可归纳为： （一）测量装置误差（一）测量装置误

4、差 1、标准量具误差 2、仪器误差： 3、附件误差： （二）环境误差（二）环境误差 测量时各种环境因数与规定的标准状态不一致造成的误差 （三） 、方法误差（三） 、方法误差 由于测量方法不完善所引起的误差。 （四） 、人员误差（四） 、人员误差 分辨能力、视觉器官的生理变化、习惯、疏忽等引起的误差。 三、误差分类三、误差分类 按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差（也 称偶然误差）和粗大误差三类。 （一）系统误差（一）系统误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差系统 误差。 如标准量值不准、一起刻度不准确引起的

5、误差。 系统误差又可按下列分类： 1、按对误差掌握的程度分 （1）已定系统误差：指误差的绝对值和符号已确定 （2）未定系统误差：指误差的绝对值和符号未确定，但可的出 误差范围。 2、按误差出现规律分 （1）不变系统误差： （指绝对值和符号一定）相当于以定系统误 差。 （2）变化系统误差： （指绝对值和符号为变化）相当于未定系统 误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。 （二）随机误差（二）随机误差（random error） 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可 预定方式变化的误差随机误差。 （三）粗大误差（三）粗大误差 指明显超出统计规律预期值的误差粗大误差。又称为疏忽误

6、 差、过失误差、寄生误差或简称粗差。 第三节第三节 精精 度度 定义：反映测量结果与真值接近程度的量。与误差的大小相对 应，因此可用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误 差大则精度低。 精度可分为： （1）准确度：系统误差 （2）精密度：随机误差 （3）精确度：系统误差和随机误差。其定量特征可用测量的不 确定度（极限误差）来表示。 精度在数量上可用相对误差表示，如相对误差为 0.01%，可 以说精度为410。 a：弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差 大，即精密度低，正确度高。 b：弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大 而随机误差小，即精密度高，正确度低

7、。 c：弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密 度、正确度都高，从而准确度亦高。 第四节第四节 有效数字与数据运算有效数字与数据运算 一、有效数字一、有效数字 含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个 单位，那么从这个近似数左方起的第一个非 0 的数字，称为第一 位有效数字。从第一位有效数字起到列最末一位数字止的所有数 字，无论 0 或非 0，都是有效数字。 二、数字舍入规则（凑整）二、数字舍入规则（凑整） “四舍六入逢五取偶” 三、数据运算规则三、数据运算规则 在有效数据后多保留一位参考（安全）数字。 （1）近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数 相同。

8、 （2）近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一 位，结果位数相同。 （3）近似平方或开方运算。 按乘除运算处理。 （4）对数运算。 n 位有效数字的数据该用 n 位对数表，或 （n+1）位对数表。 （5）三角函数。角度误差 10 1 0.1 0.01 函数值位数 5 6 7 8 第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理 第一节第一节 随机误差随机误差 定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的 方式变化的（但具有统计规律的）测量误差随机误 差。 （在等精度等精度测量条件下） 一、随机误差产生的原因一、随机误差产生的原因 1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零

9、部件的变形， 零件表面油膜不均匀，摩擦等。 2、环境方面：温度、气压、 ，光照强度、灰尘及电磁场变化。 3、人员方面：瞄准方向的不稳定，读数的不稳定。 二、随机误差的统计特性二、随机误差的统计特性正态分布正态分布 多数随机误差服从正态分布（不含系统误差和粗大误差） ， 有以下四个特征； 1、对称性： 2、单峰性： 3、有界性： 4、抵偿性： 随机误差的正态分布规律： 设被测量的真值为0L，一系列测得值为il。则测量列中的随 机误差i为 0iilL 式中1,2,in。 正态分布密度 2221 2fe 分布函数 2221 2Fed标准差（方均根误差） e自然对数的底=2.7182。 。 。 数学期

10、望 0Efd方差 22fd 平均误差 40.79795fd此外由 21 2fd 可解得或然误差为 20.67453 正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。 曲线上拐点 A的横坐标 曲线右半部面积重心B的横坐标 右半部面积的平分线的横坐标。 三、算术平均值三、算术平均值 1、公理：一系列等精度测量，则 0iilL。 0L真值 随机误差的代数和 00 111nnniii iiilLlnL11 0nnii iil Ln 根据正态分布随机误差的对称性，当n，0i n所以 1 0ni il xLn即无限多次测量的算术平均值即为真值 2、残余误差=测量值平均值 即 iiVlx 3、算术平均值的校核方法：

11、 （1） 1niil xn， 而1110ninn i ii iil Vlnnn （2）残余误差代数和绝对值1ni iV 应符合： 当 n 为偶数时，则 12n iinVA ； 当 n 为奇数时，则10.52ni inVA ； A 为x 末位数的一个单位。 多数情况下用规则（2）来校核。 四、测量的标准差（方均根误差）四、测量的标准差（方均根误差） 0cxxx 0xxx 2 定义： 2 222 121ni ni nnn测量次数充分大 0iilL（真值） （1） 贝塞尔公式贝塞尔公式 21 1ni iVn评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差和平均误差 ，用残余误差表示 212 31ni iVn2

12、14 51ni iVn测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差 xn （2）别捷尔斯法别捷尔斯法 11.253 1ni iVn n （3）极差法极差法（简便） 极差maxminnxx（两者从服从正态分布的1nx x中选出。 ） nnd 其中 nd极差系数（查表） （4）最大误差法最大误差法（可应用于单次测量） 真值未知，选取残余误差maxiV，当服从正态分布。max inVK （ maxiiVxx）1nK1nK（查表） 五、测量的极限误差五、测量的极限误差 P置信概率，1P=a显著度，显著水平 （一）单次测量的极限误差（一）单次测量的极限误差limx 220222ttPedtt 不同t

13、的 t概率积分值可由附录表 1 查出。 （二）算术平均值的极限误差（二）算术平均值的极限误差limx 正态分布正态分布： limxxt t 由 P 决定 t=2.6，P=99% 当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布“学生氏”分布或称 t 分分 布布计算。即 limaxxt （式中at置信系数，由给定的置信概率1Pa 和自由度 1Vn来确定，具体数值将附表 3（t 分布表） ，a为超出误 差 的 概 率 （ 称 显 著 度 或 显 著 水 平 ） 常 取 0.01,0.02,0.05a 。n 为测量次数。 ） 对同一测量列，按正态分布和t分布分别计算，即使置信概率的 取值相同，但由于置信系数不同，求出的limx也不同。 测量结果测量结果 ： X= +limx 六、不等精度测量六、不等精度测量（测量次数不同引起的不等精度） n 精度 可信赖程度 P n=P 第二节系统误差第二节系统误差 一、系统误差产生的原因一、系统误差产生的原因 （1）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆