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1、第二章随机变量及其概率分布Date12.1 离散型随机变量2.2 随机变量的分布函数2.3连续型随机变量及其概率密度2.4 随机变量函数的分布Date2例1 掷一枚骰子，样本空间=1，2，6.对于每次试验结果 ，都有一个数值与之对应. 我们可引进一个变量 X “出现的点数 ”,X的可能取值为1，2，3，4，5，6. 2.1 离散型随机变量一、随机变量的概念若随机试验的结果带有明显的数量标识，则可用数量值来表示事件若试验的结果不带有明显的数量标识，也可以用数量表示事件.例2 掷一枚硬币，样本空间 =正，反.引进变量X，并规定正面出现时，X=1；反面出现时，X=0. X表示“正面出现的次数”类似的
2、例子如：射击、抽检产品如：( X= i )代表相应的基本事件（样本点），事件A “点数超 过3”，可用(X3)表示.事件可用变量X表示.X= X() X= X() Date3例3 电话台单位时间内收到的用户呼唤次数。记呼唤次数为 X，则 X 是一个变量，取值为0，1，2，,( X =i)代表相应的基本事件 （样本点）.变量X的取值取决于试验的结果，具有随机性；且取任一值都有确定的概率.我们把具有上述性质的 X 称为随机变量.引进一个变量X，对于E的每一可能结果 ，都有一个确定的实数X()与之对应，而试验的结果是随机的，所以变量X的取值也是随机的，这就是随机变量.例4 某地区某段时间内的气温.记
3、X表示任一时刻的气温值，则X的取值为a，b.（ X=i）即为一基本事件（样本点）.Date41.随机变量的定义定义2-1 设试验E的样本空间为，对于任一样本点 ,都有唯一确定的实数 X()与之对应，即 X=X()是定义上的一个实值函数，且对于任意实数 x , ( X( ) x )是一随机事件，有确定的概率，则称 X=X()为随机变量.注:(1) 随机变量通常用大写字母X，Y，Z或希腊字母 , 等表示. 而表示随机变量所取的值时，采用小写字母 x , y , z 等 .(2)随机变量的取值有一定的概率（随机变量与普通函数的本质 差异）.由此可知,对随机变量的研究，不仅要搞清楚随机变量取 值的范围
4、，还要搞清楚取相应值的概率.Date5例2 在 n 重贝努里试验中， X “事件A出现的次数” ，则X=0，1 ，n. 则“在 n 重贝努里试验中，事件A恰好出现k次”，记作（ X = k），且例1 单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示，则“呼叫不少于一次”（X1），“没收到呼叫”（X = 0）.( q=1-p )按照随机变量的取值情况可把其分为两类： 离散型随机变量：随机变量X的全部取值只有有限个或 无 限可列个. 非离散型随机变量：随机变量X的全部取值不能一一列举. 其中 ，只研究连续型随机变量（随机变量X取值于某个区间或整个数 轴的所有实数）.2. 随机变量的分类Date6二、离散型
5、随机变量的概率分布对于离散型随机变量X，它的取值有限个或无限可列个. 我们关心的问题是：X的所有可能的取值是什么？取每一 个值的概率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分 布. 1.概率分布的定义定义：若离散型随机变量X所有可能的取值为x1,x2, 对应的概率为 p1 , p2 , 称P(X= xk ) = pk , k = 1, 2, (1) 为随机变量 X的概率分布或概率函数或 分布律.注（1）为了直观，概率分布表示为： X x1 x2 xn P p1 p2 pn (2) (X=x1 ), (X=x2 ), , (X=xn) ,构成完备事件组.Date72.概率分布的性质(1) pk0，
6、k = 1,2, ； 例2-2 掷一枚骰子，求出现的点数的概率分布及P(X3) .解：设X表示出现的点数，则 X=1，2，3，4，5，6. P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6. 所以，X的概率分布为： P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.或X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 3.会求概率分布及相关概率P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, (非负性)(归一性)P(1 0 为常数，则称 X 服从参数为
7、的普哇松分布， 简记为X P( ).随机变量 X的概率分布为普哇松分布常用于稠密性的问题中.如：炸弹爆炸时的 碎弹片数；显微镜下某种微生物的数目；某段时间内到达公 共汽车站的乘客数；某电话交换台单位时间内收到的呼唤次 数；宇宙中单位体积内星球的个数；耕地上单位面积内杂草 的数目，害虫数；织机上断头的数目；原子放射离子数等， 都服从或近似服从泊松分布.普哇松分布的优点：有关计算可查表.3. Poisson分布Date13例 某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数X服从参数 =3的普哇松分布，写出X的概率函数，并求一分钟内 呼唤5次的概率.解： X的概率函数为例2-10 (P34)设X 服从泊松分布
8、，已知P(X=1)=P(X=2),求P(X=4). 解：(舍去)Date14（2）二项分布的泊松逼近Poisson定理理论上可证明泊松分布P()是二项分布B(n, p)的极限.设X B(n, p)，当 n 较大，p 较小， 而 = n p大小适中，则X近似地服从参数为 = n p 的泊松分布.解： X “该单位患有这种疾病的人数”，则X B(5000,0.001) .P(X2)= X可以近似地服从参数为 = n p=5 的泊松分布 P(X 2） 例8 已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位至少有2人患有这种疾病的概率有多大？所求的概率为：=1-0.006738-0.
9、03369=0.959572Date15例2-5 (P31)对某一目标不断进行射击，直到命中目标为止，如果每次射击命中率为p，求射击次数的分布.解：X表示“命中目标时的射击次数”，则X=1，2，(X=k)表示射击到第k次才命中目标，即前k-1次不中，第k次击中.则称 X 服从参数为 p 的几何分布.Date16一、分布函数的概念2.2 随机变量的分布函数1.定义 设X为一个随机变量，对任意实数 x，函数F(x) = P(X x)称为随机变量 X的分布函数.注 (1)F(x)表示随机变量X的取值落入区间(-，x的概率.(2)F(x) 的定义域为D(F)=(-,+), 值域为Z(F)=0, 1.
10、X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.4F(1)=P(X1) =P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.6F(1.5)=P(X1.5) =0.6F(2)=P(X2) =1Date172.分布函数F(x)的性质(3) F(x)是x的不减函数,即对x1 0 为常数，则称X服从参数为 的指数分布.指数分布常可作为各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间等都常被假定服从指数分布.其分布函数为2. 指数分布记作XE().Date28习题2.3 7. 设修理某机器所用的时间X服从参数 =0.5( 小时)指数分布，求机器出现
11、故障时在1小时内可以修 好的概率.X的密度函数解：Date29(1)定义 若X 的概率密度为其中 为常数， 0 为常数,则称X服从参数为 , 的 正态分布,记为 X N( , 2 ).注 10其分布函数为3. 正态分布(Gauss分布)Date302Ox (x)1正态分布 N ( , 2 )的密度函数图形如 右图所示，正态密度曲线呈古钟形曲线.(1) (x) 图形关于直线 x = 对称.(4) 参数 决定曲线 (x)的位置，参数 决定曲线 (x)的形状.固定 而改变 值，则曲线沿着x 轴左右平移但形状不变；固定 而改变 值，则曲线形状改变而位置不 变. 值越大时曲线越扁平， 值越小曲线越尖窄.
12、(3) 在 x = 处， (x)取得最大值：Ox (x)Ox (x)其特点如下：30正态分布的密度函数的特性(2) (x)在 x 轴上方，且以 x 轴为渐近线.Date31Oxy标准正态分布密度函数参数 = 0, =1的正态分布称为标准正态分布 其密度函数为：（2）标准正态分布记为X N(0, 1).(x)的性质(1) (x) 是偶函数，即有 (-x) = (x). 在x=0处 (x) 取最大值 (2) (x) 在（-，0）内单增，在（0，+）内递减.(4) (x)在x=1，-1点取得拐点，且以x轴为水平渐近线.Date32重要公式：(3) P ( |X| x) = 2(x)- 1 (2)(-
13、 x) = 1- (x) ; (0) = 0.5其分布函数为：(x)的几何意义：曲线 (x)与x轴之间在直线t=x左边图形的面积Ox (x)(x)的几何意义xy若 X N(0,1)，密度函数为 (4) P (aXb) = (b) - (a)设XN(0,1)，则(1) (-x)= (x)Date33有关标准正态分布的概率计算 例2-21 (P47)已知X N(0,1)， 求：(1)P(X2.35)；(2) P(X-3.03)；(3)P( |X| 1.54)；(4) P( |X| 1.84). 解： (1) P(X2.35) = (2.35)=0.9906;(2) P(X-3.03) = (-3.
14、03)=1- (3.03)=1-0.9995=0.0005(3)P( |X| 1.54)=2(1.54)-1=20.9382-1=0.8764(4) P( |X| 1.84)=1-P(|X| 1.84)=1-2(1.84)-1=0.0658.Date34(3) 一般正态分布与标准正态分布的关系设X N( , 2 ), 分布函数为F(x), 则例2-22 (P47)已知X N(1.5, 4)， 求：(1)P(X3.5 )；(2) P(1.5X3.5)；(3)P( |X| 3). 解：(1) P(X3.5)=F(3.5) (2) P(1.5X3.5)=F(3.5)-F(1.5) =0.3413(3
15、)P( |X| 3)=F(3)-F(-3)Date35练习：设XN(1, 4), 求：P(-1X2);P(|X|1);P(0X3).P(-1X2)= F(2)-F(-1)P(|X|1)=P(-1X1) =F(1)-F(-1)P(0X3)=F(3)-F(0)P(X1)=F(1)=0.5Date36定义 设X是随机变量, y=g(x)是连续函数.Y = g(X)也是随机变量,称Y = g(X)为随机变量X的函数.有些随机变量的分布往往难以直接得到，但与它们有关的另一些随机变量的分布却容易得到.这就要研究随机变量之间的关系，通过它们之间的关系，由已知随机变量的分布求出另一个随机变量的分布.如何根据X 的分布求出 Y=g(X)的分布？2.4 一维随机变量函数的分布什么是随机变量的函数？Date37一、离散型随机变量函数的分布设随机变
