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1、摘摘 目前 在求 种方 不仅 提高 行组 快、 关键关键 法。1法。估算即线 代计 过程 计算法是 移动 文不按照法不2力力要：要： 力学中非 前常用的解法 求解过程中线 方法总有误差 仅大大增加了 高的计算精度 组合， 推荐一种 、收敛范围大 键词键词：Euler-C 。 引言引言 目前力学中E-C 法是将算荷载加载步N-R 法是通iP =线性化的平衡 计算。这里的 程（2）代替， 算精度，同样 而工程实际 是用固定的 L 动的 Euler 动坐 不作详细描述 本文的宗旨照梯形公式法不仅收敛快、Euler-Cau 以 Fig.2 所PPFig.1. P力力学中学中非非中交第非线性问题， 法有
2、 Euler-Ca 线性化，用一系 差存在。为了减 了计算工作量 度也是有限的 种基于梯形公 大，而且计算 Cauchy 法；N中最常用的两将线性化的平步长Pi末点通过迭代计算iBuK 衡方程建立在 的ui或者uB 所以 N-R 法 样也有步长误 际中常用的各 agrange 坐标 坐标去描述， 述。 旨是对以上两法的思路对常收敛范围大uchy 及及 Ne 示的结构为例BAKAui P- 非线性本构非非线性线性方方 及及杨杨 第一公路勘察设 E-mail： yue， 尤其是几何 auchy 及 New 系列线性方程 减少误差，人 量， 而且由于每 的。 本文详细分 公式法的改良 算精度高。 N
3、ewton-Raph两种非线性问衡方程建立在B 的状态。，在每一加载 或者 P在加载步长末B与初刚度 K 法不可避免地 误差累计问题 各种 T.L 及 U.L 标去描述，类 ，类似于有限两种方法进行常用的N-R法进大，而且通过ewton-Raph 例。各杆的特CKB构关系-1-方方程常程常用用 及及其改其改进进杨杨岳民岳民 设计研究院 min_yang1何非线性问题， wton-Raphson 程去逼近原非 人们就得缩小 每一步长误差 分析了上述两 良算法。 在不hson 法；梯形题解法， 一是在加载的初始即有14：P长末 过程 从而 们只 每一 也是载步长内认为BBuKP= 点 B。由于末
4、KA及Pi加载 地也有误差存 。 L 法，均是 N 类似于有限元 限元法中的局行详细分析，进行改进。在分析计算得知hson 法的法的 特性为 EA=1用用解法解法的的 进进 西安 (7100 ， 最后总要求 n 法。但这两 非线性问题。 小加载步长， 差的累计， 这 两种算法的优 不增加计算工形公式；线性是 Euler-Cauc始起点 A，利AiuKP=这里认为位 末点刚度 KB 程无关，完全 而必有误差存 只能减小P 一步长误差的 是有限的，这为14： 末点 B 事先 载过程的非线 存在。如果想N-R 法在不同 元法中的整体 局部坐标。两指出各种方法在不增加计算知，至少比N比较及误比较及误
5、差差 1.0X105kN。http的的比较比较 075) 求解一系列非 两种方法均是 。而正是由于 ，或者说增加 这种增加计算 优缺点。 将两 工作量的前提性化平衡方程chy 法, 二是利用 A 点的刚iu Bu=位移增量u 及Pi加载 全被线性化方 存在。为了提 Pi，增加加载 的累计， 该法 这是算法本身先未知，所以 线性过程无关 想通过缩小加同坐标下的具 体坐标。U.L 法 两者实质上均法的实质及误算量的前提下N-R法高一个差差产生的原产生的原 状态 I 定义p:/www.paper.e非线性方程 （组 是将原非线性 于这种线性化 加计算节点数 算节点的方法 两种算法的优 提下该法不仅程
6、；加权平均Newton-Rap刚度 KA或切iu （1） ui与每一加 载过程中的非 方程（1）代 提高计算精度 载节点数。但 法所能达到的 身的误差。 （2）以通常必须通 关，完全被线 加载步长Pi具体实现14 法用随结构一 均基于 N-R 法误差产生的原下，本文的改个代数精度。因因 义为无重杆处 组） 。 性方程 化，各 数。这 法能够 优点进 仅收敛均刚度 phson线去） 载步 线性 替， 度，人 但由于 精度通过迭 性化 提高。T.L 一起 法，本原因,改进方于自由状 高 f，其中则 C当结其中如果如果对 (线性C 伸长状态。在载荷 f，C 点竖向刚)0(uK=中： cosSl =C
7、 点在荷载 P01KPu =结构产生线性(uuK=中： l =对于几何非 果认为(2)式恒1R =果令 f =f+u， f = (9) 进行微分 l=性化后的杆件lEAN=点的平衡要2NP =如果令 u= 长量为： A荷 P=300kN 的 刚度为： 20lEAK =tgP 作用下产生sin22EAPl=性位移u1到达2)11Ku=cosS非线性问题通 恒成立，则 C)(1uuKP =从 Fig. 2 显 sinl分，或者说线 sinf 件轴向力为：flEAl=要求： 2sinlEA =f ，则 (12S=5F的作用下，Csin2ASftg=生的线性位移2达 C点时，结sin2lEASftg+
8、=通常认为 l =l， C点的节点不21lEPu=而易见: 线性化，则可sinf sin2fA 2) 式的结果EAI II50.0mP=300kFig.2 非线-2-点产生位移移u1为： 结构的刚度为u两者的最大差 不平衡力为：sin12ulEA可得到线性增与（8）式完CCS=kNfu线性结构示u，这时的状为： 差异不超过材1量关系： 完全相同。而EAIS=50.0m示例http状态定义为 II材料的线弹性而实际上在状Bp:/www.paper.eI。对于任意）（3 ）（4 ）（5 ）（6 ）（7 性极限应变）（8 ）（9 （10）（ 11 ）（ 12 状态时，各 的矢max。杆的各杆这时应满
9、 足力 足。步骤 所谓NeEu（ 平计算 得的 程中E-C 1/10 而且计算 工程 非线 要组平方 而 N 各近 逐点 3co l =杆的非线性真=lEAN时杆端真正的2= PR实际上（8） 满足的非线性 力的平衡条件 E-C 法是采 非线性迭代 骤，直到 R1 谓的残余力，真实解 ewton-Raphsonuler-Cauchy 后文论述的） 平均刚度法 真实解是以K(算所得的结果 的结果。从表 中常把这种现 本例是一个 法在每一加 00 时，由于 且计算量增加 若对于复杂 算过程将变得 程中常对于非 线性程度较大 组成部分8。 如果认为 C 方向增加水平 N-R 法的解为 近似法不仅误
10、点判断其残余 N-R 法的法的改改cososSS真实轴力为：=SlEAlA的不平衡力为sin2= N）式就是（1 性变形相容条 件及其本构关 采用起始点 A 代求解过程是 （或 R2）小于 进行迭代求 表 f u N n u N 误差 u N 误差 u N 误差 以 R2作为残余iiPuu=)(果。表中结果 表中可以看出 现象称之为解 个典型的逐步 载步长Pi 于每一步长误 加很大。 杂多自由度结 得十分复杂。 非线性程度不 大的柔索结构C 点有两个自 平力 PH=30kN 为：NAC=765. 误差增加，而 余力是否收敛 改改进进 ccos1(S： 2=SlEAP5）式在 条件，即通常所 关
11、系。而 N-R A 的线性化本 是将 R1（或 R 于要求为止。 求解时系统均 表 1 图示结 10 1.611511 663.0993 1.525487 625.5588 6.00% 1.725909 713.3879 7.58% 1.6995 701.7608 5.83% 余力， N-R 法是iP ui=果的加载步长 随着 f 的减小 解的飘。 步硬化问题。 内采用初刚度 误差的累计，结构要写出类 且计算量很大 不大的有限位 构， 则其误差较自由度，一个 N。 以 f=6.0m .65216kN，N 而且收敛范围 敛到零，所以-3-)cos1 ccos1(S附近的一阶线 所说的本构关 R
12、法的本构关 本构关系。二 R2）作为新的 计算结果表 能收敛。各种 结构几何非 8 2.153481 753.7393 1.99172 691.5608 8.99% 2.382038 843.0916 11.85% 2.3197 818.5644 8.60% 是用 R1作为残 ui 为总荷载的 小，非线性程N-R 法相当 度，其值偏大 其解与表中所似于（15）的 大，收敛困难 移问题采用线 较大。 由于柔个为竖向自由 为例， 精确解 NBC=734.9027 缩小。同时 其收敛性相对sin)cos1线性展开式。 关系。对于任 关系是用线性 二者的解均依 的节点力，以 表明，用 R2或 种算法的
13、结果 非线性解 （ 6 2.93385 852.799 2.630564 750.2769 13.665% 3.38469 1011.121 18.56% 3.2271 954.974 11.98% 残余力。 E-C1/10。所有 程度的增大，当于用末刚度 大。当 E-C 法 所给结果相差的非线性节点 难，同时需要 线性化的（8 柔索的非线性由度，另一个 解为： NAC=86 7kN。计算结 N-R 法由于 对要差些13http 。 （14）式是 任何力学问题 性化的近似关 依赖于其线性化 以 C作为新的 或 R1作为节 果如表 1 所示 （kN,m） 4 4.021099 946.98913
14、 3.4717304 782.19558 21.06% 4.8554 1217.811 28.60% 4.44921 1082.893 14.35% 法则是通过有杆端内力均 各近似解迅度计算的结果 法的加载步长 差甚微，完全点不平衡力的 要保存的信息 8）式，以简 性刚体位移始为水平自由度 68.034kN， NB 结果表明随着 于是逐点计算 3。 p:/www.paper.e(13) (14) (15) 是杆件内力与 题，其解应同 关系（11）式 化的近似程度 的起始点重复 节点不平衡力 示。 3 4.69558 986.0600不收敛5.82872 1346.294 36.53%不收敛控制
15、微分方程(16) 均为按（14） 迅速远离真值果，其值偏小 长缩小到总荷 全可以忽略不的精确表达式 息量也很大。 简化计算。但 始终是其变形度。并在 CBC=837.5673k 着自由度的增 算节点不平衡 位移 时满 去满 度。 以上 ，即89 04 敛 2 45 % 敛 程： 式求 值。工。而 载的 不计,式，其 所以 对于 的主点水 kN； 加， 衡力，步法 线性 于任 程或 在着 所以 比 E 能否逼近 次迭的计 再将 不平 序列 式迭 后一 其计 二阶 收敛平以能 相当 步长方程 线性 况下 数值4. 加加分函其中其中从前边的分 法36。即从已 性增量去计算 任何问题总能 或迭代求解。 着是否收敛问 以 Euler 向后一 E-C 法略高， 否有一种方法 从表 1 的结 近真值。所以 迭代结果末值K用（17）式 计算量基本上 将 K 作为 KB值 平衡力 R。而 列稳定即可。 而 迭代时收敛速 一栏显而易见 计算精度愈高 阶 Runge-Kutt 敛快。其结果表 2 f= N-R 法迭代 平均刚度方法迭对于任一力 能达到的最高 当于力学中把 长误差的累计 从力学的角 程相当于数值 性平衡方程。 下割线刚度更 值计算的角度加加权平均权
