5 8 数学通报 2 0 1 5年 第 5 4卷 第 1 O期 有多少个凸多边形能 由一副七巧板 或其一部分来拼成 郝 四 柱 ( 江苏 省盱眙县第三中学2 1 1 7 o o ) 1 问题 发现 在一次动手操作实践课上 ，我利用一副七巧 板( 如图 1 ) 让同学们拼图 ；聪明的杜春磊同学居 然用其中的六块板拼出了七边形 ( 如图 2是利用 点 阵作 的七 巧板 七边形 的 拼 图示 意 图 ，后 面 作 图 均用点阵) ．这与传统的七巧板最多拼成六边形 的结 论并 不矛 盾 ． 图 I 图 2 7 0多年前浙江大学王福 春、熊全 治老师撰 写并且发表在《 美 国数学月刊》 韵文章《 一 副七巧 板能拼成多少个凸多边形 》 ，被《 高中数理化》 杂 志译后刊登出来 ，并加 了编者按 ：“ 该文是七巧 板 问题具有里程碑意义的文章，此后所有关于七 巧板的论著几乎 无一例外 的引用该文” ．该文 的 最 后结 论是 ：“ 一副七 巧 板可 以拼 成 四个六 边 形 、 二 个 五 边 形 、6个 四边 形 、一 个 三 角 形 ” _ 1 ] ，其 前 提是 ：明确 要求 “ 把 一 副 七 巧 板 的七 块 板 全 部 用 上 ” ；然 而从 广义 上讲 ，用 更少 的七 巧板 拼 块 ， 能够拼成边数更 多的多边形 ，这 应该是有 创意 的． 中 国科 学 院院 士张 景 中教 授 在他 主编 、吴 鹤 龄编著的《 七巧板、九连环和华容道》 一书中收编 了包括原文[ 1 ] 在 内的关于 中国古代 以来七巧板 的很多成果 ，但没有涉及广义凸多边形 的问题 ． 书中指出：“ 七巧板还有不少问题 至今还没有解 决 ，有待人 们进 一步 去 研究 ．有 些问题 涉及 组 合 学 ，即使 用 计 算 机 恐 怕 暂 时 也 难 以 得 到 解 决 ．” l_ 2 从 这个 角度来 看 ，进～ 步探 究 广义 的七 巧 板 拼凸多边形问题 ，这是一件很有价值的事情 ． 那么从广义来讲 ，到底还有多少凸多边形能 由一 副 七 巧 板 或 其 一 部 分 来 拼 成 ? 问题 又 如 何 构思 ? 思路一：原文[ 1 ] 是用所有的七块板获得各 种凸多边形 的 ．如果首先确定使 用七巧板 的块 数 ，然后用确定的七巧板块数拼出凸多边形 ，那 么会有 不 多于 C ； + +C ； +C ； +C ； +C ； + C { 一 1 2 7种分类 情况 ，而每种情 况涉及各 种组 合 问 题 ，情况 比较复杂 ． 思路二：换个思考角度：首先确定凸 边形 的边 数 ( 一3 、4 、5 、6 、7 、8 ) ，然 后 利 用 七 巧板来 拼 出凸 边形 ；经 过长 时间 的思考 发现 这 种思路 可 行 ；同 时 为 了减 少 误 解 ，让 问 题 简 化 ， 对于全等的凸多边形同图异构的情况 ( 即：两个 七巧板凸多边形全等，但七巧板组合时的结构、 顺序等组合方式不同，我们暂时称之同图异构) ， 我们只算作一种情况 ；画图时选择用七巧板块数 最少 的那 一种 ，以下 是探 究 的过 程 ． 2预 备定 理 首先明确几个基本概念及其关 系 1 ．基本三角形和基本多边形 容易 看 出七 巧 板 其 实 可 以进 一 步 切 割 成 1 6 块 大小 形状 完全 相 同的等腰 直角 三角形 ．为方 便 讨论 ，我们把这些小直角三角形的直角边叫做有 理边 ( 假设 直 角边 为 单 位 1 后 文 均 如 此 假 设 ) ， √ 2 的斜边叫无理边 ，这 类小三角形叫基本 三角 形，我们用基本三角形拼成的多边形叫做基本多 边 形 ( 如 图 4 — 2 就 是一 种基 本八边 形 ) ． 2 ．七 巧板 多边形 七 巧板 是 由七块板 组成 的 ；整个七 巧板 的七 块板 中含有基本三角形 2个 、直角边为√ 2 的等腰 直 角三 角形 1 个 ( 是 两个 基 本 三 角 形拼 成 的 三 角 形) 、直角边为 2的等腰直角三角形 2个( 是 四个 基 本三 角形 拼 成 的 三角 形 ) 、一个 边 长 为 1的 正 2 0 1 5年 第 5 4卷 第 1 0期 数学通报 5 9 方 形 、一个 内角为 4 5 。
且 最 小 边 长 为 1的平 行 四 边 形 ；这 七 块 板 是 拼 七 巧 板 多 边 形 的 材 料 和 前 提 ．用 七巧 板 或其 一部 分 拼成 的多 边形 我们 称 之 为 七 巧板 多边 形 ，显然 七 巧板 多边 形 的面 积不 大 于 8 ． 3 ．基本多边形和七巧板多边形的关系 ． 尽管它们是不 同的概念 ，但是我们从概念的 内容 可 以知道 ：它们 有一 个共 同 之处 是 ：七 巧板 的任意一块板都是由基本三角形组成的 ；从这个 角度来讲 ，七巧板多边形就是特殊的所谓基本多 边形 ．因此在 以下预备定理证 明及其之后的求解 过 程 中 ，本 文都 是先 从基 本 多边 形 出发 ，得 出理 论 上 的所 有情 况 ；然 后再 进一 步 用七 巧板 对 于 这 些情况逐个核实 ，看看能否用七巧板或其一部分 拼出来 ，进而得 出明确的结论 ． 预备定理 1 七巧板 凸多边形 内角是 4 5 的 整数倍 ，其边数不能超过 8 ． R E —R F 一 + 、s G —s H一 + 厄 易知 ≥ ( P A+ HS) 的有 理 数 部 分 一n + 口 4 ；同理 l ≥ a 2 + n 3 、 2 ≥ 口 1 +n 2 、Y 2 ≥ n 3 + a ，且 ≥( P A+HS ) 的无理数部分除 以 一 b !十, b 4，同 理 ≥ + 每 ， 。
≥ + ， ： ≥ 每 + ⋯⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ① ‘ n、 ( i i ) 基本 凸八 边形面积 S一 ( 4 -f x 1 + y 1 )· 4 ( + ： ) 一∑ 1( + ) 一S + ( s 、 S 均 为有理 数 ) ， 由于 基 本 凸 多 边 形 是 由基 本 三 角形组 成 ， 其 面积 为有 理 数 ， 因而 一定 有 S > 0 ， S，一0 ． 证 明 如 果用 1 6块 全 等 的 等腰 直 角 三 角 形 2 ．+ -v 或其 一 部分 拼 成 凸多边 形 ，易 知其 内、外角 均 为 为 4 5 整数倍 ．而 凸多边形外角 和为 3 6 0 ，故边 数的最大值 为 一8 ，所 以七 巧板拼 图得 到 的 U 凸多边 形边 数 不可 能超 过 8 ． 预备定理 2 七巧板 凸多边形每边必是 由基 本 三 角形 的 同类 边 组 成 的 ( 即 ：同是 有 理 边 或 无 理 边 ) 证 明思路首先从 基 本 凸八边 形 人手进 行 证 明该 定理 ，然 后 把 凸八 边 形通 过条 件 变换 ，转化 为 基 本 凸七 边 形 、基 本 凸六 边 形 、基 本 凸 五 边 形 、基本凸四边形和三角形 ，进而得出全部七巧 板 凸 多边 形都 具 有相 同 的结论 ． ( 1 ) 当基 本 多边形 是 八边 形 时 ( i ) 假 如 AB C DEF GH 是基 本 凸八边 形 ( 如 图 3 ) ，由 于每个 基 本三 角形 面 积是 有理 数 ，所 以基 本 凸八边 形 面积 也一 定是 有理 数 ．由于 凸八 边形 每个内角为 1 3 5 。
，故可构造 出内接于 ，贴合于如 图 3的矩 形 PQ RS；由于 基本 三角 形 边长 分 别 为 1 、1 、√ 2 ，故可假设矩形 PQ R S的一边长 Ps一 √ 2 + ，另一边长 P Q=√ 2 + ；和矩 形边 相交的边长分别为√ 2 “ +b 、√ 2 n +b 、√ 2 n + b 、√ 2 n + ( 其 中 口 、b 、z 、Y 均为 自然数) ； ￡ t 可 知 P A=P B=a + 、Q C=QD=a + 、 图 3 得S z 一 ( - z + - ) 一 4 专1 n 易 — o ； 利用 ① 可知 2 ≥ 每 + + 每 + 等 且 2 x z ~ b l 十 , b z 十 , b 3 十 , b 4 ； 所 以 0 — 2 s ≥ ( 每 + 十 等 十 每 ) ( 十 ) 一 2 4 1 n 一每 [ ( Y l -- a 1 ) + ( Y z -- a 1 ) ] + 等 [ ( 一 “ ) + ( Y 2 ma z ) ] + ( Y l --a 3 ) +( Y z --a 3 ) ] + ( Y l --a 4 ) + ( Y 2 --a 4 ) ] ≥ 0， 故 该式 为 0 ． 把 中括 号 的相 应表 达式 依 次设 为 c ，c ，如，c ， 有 b 1 c l +6 2 c 2 + c 3 +6 4 c 4 —0 ⋯ ⋯⋯⋯ ⋯⋯ ② 同样我们可以得到 0—2 S 2 ≥( “ l +口 2 +口 3 +n 4 ) ( l +z 2 ) 一2 ∑寺Ⅱ b1 4 一 n [ ( 一 ) + ( 一 每 ) ] + n I- ( 一 ) 6 O 数学通报 2 0 1 5年 第 5 4卷 第 1 0期 +( 5 1 7 2 一 ) ] +口 。
[ ( 一 ) +( 一 ) ] + [ ( z ～ _ } I 一 j ] ≥ 0 假 设 中括 号 内分 别设 为 ，d ，d ，d ，有 a l d l +口 2 d 2 +n 3 d 3 +口 4 d 4 —0⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ③ 易知 a + ≠ 0 ，i = = = 1 ，2 ，3 ，4 ( 不 妨设 n +b ； 一0 ，此 时 可 得 口 一b 一0说 明线 段 AB 退 化 为 点 P，这与八 边形 矛盾 ) ． 从 ② 、③结 论 可 以得 出 c +d ≠ 0 ，i 一 1 ， 2 ，3 ，4 ．( 不妨 设 i 一1 ， c ； +d 一0 ，也 就是 说 ： L c 1 = = = 1 —0 ，可知 z 1 一 2 一百o “1 ， l — 2 = = ： n 1 ．根 据 图 3 ，AS —B Q一0 ，且 AB 退 化 为 S Q，凸 八 边 形 退化 为等腰 直角 三角 形 ，与 凸八 边形 矛盾 ．事 实上，退一步说 ，即使七巧板拼成三角形，那么 这个 三角 形一 定是 等腰 直角 三角形 ，假 如此 三 角 形直角边为 + ，则其面积为 ( + ) = = = ( +÷ ) +,／ g ；由于其面积是有理数，故 有 一0或 一0 ，说明七巧板或其一部分拼成三 角形时 ，它们的直角边要么都为有理边 ，要么都 为√ 2 型无理边) ． ( i i i )根 据② 可知 ：b i c 一0 ，i 一1 、2 、3 、4 ． 当 i 一 1时 ，有 b C = = = 0 ；可 以得 到 c 一0或 bl 一 0 ． · 情况 1 ：当 C l 一0 ，那么 d 1 ≠0且 C 1 一( j ， l — n 1 ) + ( 2 ma 1 ) 一0 ；根 据 ③ 可知 a l 一0 ；且 l — 2 一n 1 =0 ； 所 以 P S =√ 2 z l + l 一√ 2 z l ，P Q=, ／ g z +．y 2 一√ 2 ．因而 AS、BQ以及 P A、PB均 为√ 2 型无理线段 ( 是 自然数 ) ．所 以 AH 和 B C~,／ g m无理线段，此时A B是有理线段 ． 情况 2 ：如 果 b 一0那 么 a ≠ 0 ；根 据 ③ ， d l 一0也 。